（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第二部分 專題六 函數與導數 第4講 導數與不等式練典型習題 提數學素養(yǎng)（含解析）

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1、第4講　導數與不等式 1．設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調區(qū)間與極值； (2)求證：當a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1. 解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當xln 2時，f′(x)>0，故函數f(x)在區(qū)間(ln 2，＋∞)上單調遞增． 所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值

2、f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，無極大值． (2)證明：要證當a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1，即證當a>ln 2－1且x>0時，ex－x2＋2ax－1>0. 設g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)． 則g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a. 又a>ln 2－1，則g′(x)min>0. 于是對?x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上單調遞增． 于是對?x>0，都有g(x)>g(0)＝0. 即ex－x2＋2ax－1>0， 故ex>x2－2ax＋1.

3、2．(2019·貴陽模擬)已知函數f(x)＝mex－ln x－1. (1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)若m∈(1，＋∞)，求證：f(x)>1. 解：(1)當m＝1時，f(x)＝ex－ln x－1， 所以f′(x)＝ex－， 所以f′(1)＝e－1，又因為f(1)＝e－1， 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x. (2)證明：當m>1時，f(x)＝mex－ln x－1>ex－ln x－1， 要證明f(x)>1，只需證明ex－ln x－2>0， 設g(x)＝ex－

4、ln x－2，則g′(x)＝ex－(x>0)， 設h(x)＝ex－(x>0)，則h′(x)＝ex＋>0， 所以函數h(x)＝g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上單調遞增， 因為g′＝e－2<0，g′(1)＝e－1>0， 所以函數g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上有唯一零點x0，且x0∈， 因為g′(x0)＝0，所以ex0＝，即ln x0＝－x0， 當x∈(0，x0)時，g′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，g′(x)>0， 所以當x＝x0時，g(x)取得最小值g(x0)， 故g(x)≥g(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2>0， 綜上可知，若m∈(1，＋∞)，則f(x

5、)>1. 3．(2019·濟南市學習質量評估)已知函數f(x)＝x(ex＋1)－a(ex－1)． (1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處切線的斜率為1，求實數a的值； (2)當x∈(0，＋∞)時，f(x)>0恒成立，求實數a的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝xex＋ex＋1－aex. 因為f′(1)＝e＋e＋1－ae＝1，所以a＝2. (2)設g(x)＝f′(x)＝ex＋1＋xex－aex，則g′(x)＝ex＋(x＋1)ex－aex＝(x＋2－a)ex，設h(x)＝x＋2－a， 注意到f(0)＝0，f′(0)＝g(0)＝2－a， (i)當a≤2時，h(x)＝x＋2－a

6、>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數， 所以g(x)>g(0)＝2－a≥0，所以f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數， 所以f(x)>f(0)＝0在(0，＋∞)上恒成立，符合題意． (ii)當a>2時，h(0)＝2－a<0，h(a)＝2>0，?x0∈(0，a)，使得h(x0)＝0， 當x∈(0，x0)時，h(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是減函數， 所以f′(x)在(0，x0)上是減函數． 所以f′(x)

7、)在(0，x0)上是減函數， 所以當x∈(0，x0)時，f(x)1時，f(x)<(1－m)x2恒成立，求m的取值范圍． 解：(1)函數g(x)的定義域為(0，＋∞)． 當m＝－時，g(x)＝aln x＋x2，所以g′(x)＝＋2x＝. (i)當a＝0時，g(x)＝x2，x>0時無零點． (ii

8、)當a>0時，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 取x0＝e－，則g(x0)＝g(e－)＝－1＋<0， 因為g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此時函數g(x)恰有一個零點． (iii)當a<0時，令g′(x)＝0，解得x＝.當0時，g′(x)>0，所以g(x)在上單調遞增． 要使函數g(x)恰有一個零點，則g＝aln －＝0，即a＝－2e. 綜上所述，若函數g(x)恰有一個零點，則a＝－2e或a>0. (2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋ln x， 根據題意

9、，當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0恒成立． h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋＝. (i)若00恒成立，所以h(x)在上是增函數，且h(x)∈，所以不符合題意． (ii)若m≥，則x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函數，且h(x)∈，所以不符合題意． (iii)若m≤0，則x∈(1，＋∞)時，恒有h′(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上是減函數，于是h(x)<0對任意的x∈(1，＋∞)都成立的充要條件是h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，故－1≤m≤0. 綜上，m的取值范圍是[－1，0]． - 4 -