2020版高考數(shù)學復習 第八單元 第45講 直線與圓錐曲線的位置關系練習 文（含解析）新人教A版

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1、 第45講　直線與圓錐曲線的位置關系 1.過點(0,1)作直線l,使l與拋物線y2=4x有且僅有一個公共點,則這樣的直線l有 (　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 2.已知對任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(0,1) B.(0,5) C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5) 3.已知F1,F2是橢圓x216+y29=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點.在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 4.[2018

2、·遼寧朝陽一模] 拋物線C:y2=2px(p>0)的準線與x軸的交點為M,過點M作C的兩條切線,切點分別為P,Q,則∠PMQ=　　　　.? 5.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線l,直線l與雙曲線C交于點P,若點P的橫坐標為2a,則雙曲線C的離心率為　　　　. ? 6.設拋物線C:x2=4y的焦點為F,A,B為拋物線C上縱坐標不相等的兩點,若|AF|+|BF|=4,則線段AB的垂直平分線在y軸上的截距為 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.[2018·四川雙流中學月考] 過拋物線y2=mx(m>0)的焦點作直線交拋物

3、線于P,Q兩點,若線段PQ的中點的橫坐標為3,|PQ|=54m,則m= (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 8.過拋物線y2=43x的焦點的直線l與雙曲線C:x22-y2=1的兩個交點分別為(x1,y1),(x2,y2),若x1x2>0,則直線l的斜率k的取值范圍是 (　　) A.-12,12 B.-∞,-12∪12,+∞ C.-22,22 D.-∞,-22∪22,+∞ 9.[2018·石家莊質檢] 若傾斜角為π4的直線經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F,與橢圓交于A,B兩點,且AF=2FB,則該橢圓的離心率為 (　　) A.23 B.22

4、 C.33 D.32 10.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點M,N是橢圓C上關于長軸對稱的兩點,若直線AM與BN相交于點P,則點P的軌跡方程是 (　　) A.x=±a(y≠0) B.y2=2b(|x|-a)(y≠0) C.x2+y2=a2+b2(y≠0) D.x2a2-y2b2=1(y≠0) 11.設直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是 (　　) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)

5、 12.[2018·云南紅河州模擬] 已知經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與該拋物線相交于A,B兩點,且|FA|=2|FB|,若直線AB被圓x2+y2=2p所截得的弦長為4,則p=　　　　.? 13.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線y=43x與雙曲線相交于A,B兩點,若AF⊥BF,則雙曲線的漸近線方程為　　　　. ? 14.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F. (1)點A,P滿足AP=-2FA,當點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程. (2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果存在,求出所

6、有滿足條件的點Q的坐標;如果不存在,請說明理由. 15.[2018·南昌質檢] 已知點P23,263是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與拋物線E:y2=2px(p>0)的一個公共點,且橢圓C的一個焦點F與拋物線E的焦點相同. (1)求橢圓C及拋物線E的方程; (2)設l1,l2為過F且互相垂直的兩條動直線,l1與橢圓C交于A,B兩點,l2與拋物線E交于C,D兩點,求四邊形ACBD面積的最小值. 16.[2018·遼寧凌源二中月考] 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63, 短軸長為2. (1) 求橢圓的標準方程; (2)

7、直線l:y=kx+m(k≠0)與y軸的交點為A(點A不在橢圓外), 且與橢圓交于兩個不同的點P,Q,若線段PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下頂點B, 且與線段PQ交于點C, 求△ABC面積的最大值. 8 課時作業(yè)(四十五) 1.C　[解析] 由題意可知,滿足題意的直線l共有3條:直線x=0,直線y=1以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0). 2.C　[解析] 若x25+y2m=1表示橢圓,則m>0且m≠5.直線y=kx+1過定點(0,1),由題意,只需點(0,1)在橢圓x25+y2m=1上或橢圓內部即可,則1m≤1, 解得m≥1,所以實數(shù)

8、m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞). 3.A　[解析] 根據(jù)橢圓的定義知△AF1B的周長為4a=16,故所求的第三邊的長度為16-10=6. 4.π2　[解析] 由題意得M-p2,0,設過點M的切線方程為x=my-p2(m≠0),代入y2=2px中,得y2-2pmy+p2=0,∴Δ=4p2m2-4p2=0,∴m=±1,即切線的斜率k=1m=±1,∴MQ⊥MP,因此∠PMQ=π2. 5.2+3　[解析] 不妨設直線l的方程為y=ba(x-c).∵直線l與雙曲線C的交點P的橫坐標為2a,∴(2a)2a2-y2b2=1,解得y=-3b或y=3b(舍去),∴-3b=ba(2a-c),整理得

9、c=(2+3)a,∴雙曲線C的離心率e=ca=2+3. 6.B　[解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2+2=4,即y1+y2=2, 由線段AB的中點M的坐標為x1+x22,y1+y22,可得Mx1+x22,1, 又kAB=y2-y1x2-x1=x22-x124(x2-x1)=x2+x14,所以線段AB的垂直平分線的方程為y-1=-4x1+x2x-x1+x22, 令x=0,得y=3,故線段AB的垂直平分線在y軸上的截距為3,故選B. 7.C　[解析] 設點P,Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),若線段PQ的中點的橫坐標為3,則x1+x22=3,由|PQ|

10、=x1+x2+m2=6+m2=54m,得m=8. 8.D　[解析] 易知直線l過點(3,0),雙曲線的漸近線方程為y=±22x,當k>22或k<-22時,直線l與雙曲線的右支有兩個交點,滿足x1x2>0,故選D. 9.A　[解析] 設直線的參數(shù)方程為x=c+22t,y=22t,代入橢圓方程并整理得12a2+12b2t2+2b2ct-b4=0,設點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-22b2ca2+b2①,t1·t2=-2b4a2+b2②,由AF=2FB得t1=-2t2,代入①②,化簡得8c2=a2+b2,即c2a2=29,所以ca=23.故選A. 10.D　[解析] 由題意

11、可知A(-a,0),B(a,0),設M(x0,y0),N(x0,-y0)(y0≠0),P(x,y)(y≠0). 可得直線PA的斜率k1=y0x0+a,則直線PA的方程為y=y0x0+a(x+a),① 同理,直線PB的斜率k2=y0a-x0,直線PB的方程為y=y0a-x0(x-a).② ①②兩式相乘得y2=y02a2-x02(x2-a2),③ 由x02a2+y02b2=1,得y02=b2a2(a2-x02),代入③式得y2=b2a2(x2-a2),整理得x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y≠0), 則點P的軌跡方程為x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y≠0). 11.D　[

12、解析] 當直線l與x軸垂直,且02. 因為M(5+rcosθ,rsinθ)在拋物線內, 所以r2sin2θ<4(5+rcosθ), 又rcosθ=-2,所以化簡得r<4, 故2

13、 拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,不妨設直線AB的方程為x=my+p2(m>0),代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=2pm①,y1y2=-p2②, 由|FA|=2|FB|可得y1=-2y2③, 由①②③可得m=24, 于是直線AB的方程為x=24y+p2,即4x-2y-2p=0, 從而圓心(0,0)到直線AB的距離d=2p18,又圓的半徑r=2p,弦長為4, 所以2p-4p218=4,解得p=3或p=6. 13.y=±2x　[解析] 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點在x軸上,右焦

14、點為F(c,0).由y=43x,x2a2-y2b2=1,消去y并整理得(9b2-16a2)x2=9a2b2,即x2=9a2b29b2-16a2. 由A與B關于原點對稱,可設Ax0,43x0,B-x0,-43x0, 則FA=x0-c,43x0,FB=-x0-c,-43x0,x02=9a2b29b2-16a2. ∵AF⊥BF,∴FA·FB=0,即(x0-c)(-x0-c)+43x0-43x0=0,整理得c2=259x02, ∴a2+b2=259×9a2b29b2-16a2,即9b4-32a2b2-16a4=0, ∴(b2-4a2)(9b2+4a2)=0. ∵a>0,b>0,∴9b2+4

15、a2≠0,∴b2-4a2=0,即b=2a, 故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±2x. 14.解:(1)設動點P的坐標為(x,y),點A的坐標為(xA,yA),則AP=(x-xA,y-yA). 因為點F的坐標為(1,0),所以FA=(xA-1,yA), 由AP=-2FA得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA). 即x-xA=-2(xA-1),y-yA=-2yA,解得xA=2-x,yA=-y. 因為點A在拋物線C上,所以(-y)2=4(2-x),整理得動點P的軌跡方程為y2=8-4x. (2)設點Q的坐標為(t,0),點Q關于直線y=2x的對稱點為Q'(x0,y0),

16、則y0x0-t=-12,y02=x0+t,解得x0=-35t,y0=45t. 因為點Q'在拋物線C上,所以點Q'的坐標滿足y02=4x0,可得4t2+15t=0, 解得t=0或t=-154. 所以存在滿足題意的點Q,其坐標為(0,0)或-154,0. 15.解:(1)∵點P23,263是拋物線E:y2=2px(p>0)上一點,∴2632=2p·23, 解得p=2,∴拋物線E的方程為y2=4x. 由題意可得F(1,0), ∴a2-b2=1, 又∵點P23,263在橢圓C:x2a2+y2b2=1上, ∴49a2+83b2=1,結合a2-b2=1得b2=3,a2=4, ∴橢圓C的

17、方程為x24+y23=1. (2)由題可知直線l2的斜率不為0,故直線l1的斜率存在,設直線l1的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). ①當k=0時,|AB|=4,直線l2的方程為x=1,|CD|=4,故S四邊形ACBD=12·|AB|·|CD|=8. ②當k≠0時,直線l2的方程為y=-1k(x-1),由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ∴x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2. 由弦長公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x

18、1+x2)2-4x1x2]=12(k2+1)4k2+3. 同理可得|CD|=4(k2+1). ∴S四邊形ACBD=12·|AB|·|CD|=12·12(k2+1)4k2+3·4(k2+1)=24(k2+1)24k2+3. 令t=k2+1,t∈(1,+∞),則S四邊形ACBD=24t24t-1=244t-1t2=24-(1t-2)?2+4,當t∈(1,+∞)時,1t∈(0,1),-1t-22+4<3,S四邊形ACBD>243=8. 綜上所述,四邊形ACBD面積的最小值為8. 16.解:(1)由ca=63,2b=2,a2=b2+c2得a=3,b=1,c=2,因此橢圓的標準方程為x23+y

19、2=1. (2)易得點A的坐標為(0,m),點B的坐標為(0,-1).設P,Q的坐標分別為(x1,kx1+m),(x2,kx2+m). 由y=kx+m,x23+y2=1,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0,則x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3(m2-1)1+3k2. 易知線段PQ的中點C的橫坐標為x1+x22=-3km1+3k2. 縱坐標為kx1+x22+m=-3k2m1+3k2+m=m1+3k2, 因此點C的坐標為-3km1+3k2,m1+3k2. 由題意知BC⊥PQ,即m1+3k2-(-1)-3km1+3k2-0=-1k,從而1+3k2=2m. 因為

20、直線l與橢圓有兩個不同的交點,所以Δ=12(1-m2+3k2)>0,即m2<1+3k2,從而有m2<2m,即012,因此120,所以f(m)在12,1上單調遞增, 所以S△ABC≤34×f(1)=34×4=32,所以△ABC面積的最大值為32.