（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何 第2講 空間幾何體的表面積與體積檢測 文

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1、第2講 空間幾何體的表面積與體積 [基礎題組練] 1．(2019·安徽合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3，底面半徑為4，若一球的表面積與此圓錐側面積相等，則該球的半徑為(　　) A．5　　　 B. C．9 D．3 解析：選B.因為圓錐的底面半徑r＝4，高h＝3，所以圓錐的母線l＝5，所以圓錐的側面積S＝πrl＝20π，設球的半徑為R，則4πR2＝20π，所以R＝，故選B. 2．《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側面積為(　　) A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．4＋6 解析：

2、選C.由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABC-A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝，∠C＝90°，其直觀圖如圖所示，側面為三個矩形，故該“塹堵”的側面積S＝(2＋2)×2＝4＋4，故選C. 3.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　) A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3 解析：選A.設球的半徑為R，則由題意知球被正方體上面截得的圓的半徑為4 cm，球心到截面圓的距離為(R－2)cm，則R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，

3、所以球的體積為＝ cm3. 4．(2019·福建市第一學期高三期末考試)已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于(　　) A．4π B.π C.π D．16π 解析：選D.如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝＝＝2.故這個球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D. 5．(2019·武漢市武昌調(diào)研考試)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為(　　) A．1.2

4、B．1.6 C．1.8 D．2.4 解析：選B.該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4－x、3、1的長方體，所以組合體的體積V＝V圓柱＋V長方體＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故選B. 6.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為________． 解析：三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積． 因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面A

5、A1D1D的距離為定值1，所以VD1-EDF＝VF-DD1E＝××1＝. 答案： 7.(2017·高考江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以＝＝. 答案： 8．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面積＝S圓臺側＋S圓臺下底＋S圓錐側＝π(2＋5)

6、×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圓臺－V圓錐＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π. [綜合題組練] 1．(2019·安徽合肥調(diào)研)一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，其中俯視圖和側視圖圓弧部分為半圓，則該幾何體的表面積為(　　) A．4π＋4 B．5π＋4 C．6π D．7π 解析：選A.由三視圖知，該幾何體由一個半圓柱和四分之一球構成，半圓柱的底面半徑為1，高為2，球的半徑為1，所以該幾何體的表面積S＝2××π×12＋×4π×12＋×2π×2＋2×2＝4π＋4，故選A. 2．(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面積為

7、，一個側面的周長為6，則正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為(　　) A．4π B．8π C．16π D．32π 解析：選C.如圖所示，設底面邊長為a，則底面面積為a2＝，所以a＝.又一個側面的周長為6，所以AA1＝2.設E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設DE的中點為O，則點O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半徑R＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝16π，故選C. 3．(2019·福建泉州質(zhì)檢)如圖，在正方形網(wǎng)格紙上，實線畫出的是某多面體的三視圖及其部分尺

8、寸．若該多面體的頂點在同一球面上，則該球的表面積等于(　　) A．8π B．18π C．24π D．8π 解析：選C.設球的半徑為R.多面體是兩個正四棱錐的組合體(底面重合)．兩頂點之間的距離為2R，底面是邊長為R的正方形，由R2＋＝32?R2＝6，故該球的表面積S＝4πR2＝24π.選C. 4．(2019·遼寧五校協(xié)作體?？?一個長方體被一平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．36 B．48 C．64 D．72 解析：選B.由幾何體的三視圖可得幾何體如圖所示，將幾何體分割為兩個三棱柱，所以該幾何體的體積為×3×4×4＋×3×4×4

9、＝48，故選B. 5．(2019·洛陽市第一次統(tǒng)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中的三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．4－ C．8－ D．4－ 解析：選A.由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體是一個棱長為2的正方體上、下各挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為23－2××π×12×1＝8－.故選A. 6.(應用型)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ 解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PQ1＝8 m. 因為A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)， 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． 故倉庫的容積是312 m3. 6