(課標(biāo)通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第2講 空間幾何體的表面積與體積檢測(cè) 文

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1、第2講 空間幾何體的表面積與體積 [基礎(chǔ)題組練] 1.(2019·安徽合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3,底面半徑為4,若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等,則該球的半徑為(  ) A.5    B. C.9 D.3 解析:選B.因?yàn)閳A錐的底面半徑r=4,高h(yuǎn)=3,所以圓錐的母線l=5,所以圓錐的側(cè)面積S=πrl=20π,設(shè)球的半徑為R,則4πR2=20π,所以R=,故選B. 2.《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為(  ) A.2 B.4+2 C.4+4 D.4+6 解析:

2、選C.由三視圖知,該幾何體是直三棱柱ABC-A1B1C1,其中AB=AA1=2,BC=AC=,∠C=90°,其直觀圖如圖所示,側(cè)面為三個(gè)矩形,故該“塹堵”的側(cè)面積S=(2+2)×2=4+4,故選C. 3.如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為(  ) A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3 解析:選A.設(shè)球的半徑為R,則由題意知球被正方體上面截得的圓的半徑為4 cm,球心到截面圓的距離為(R-2)cm,則R2=(R-2)2+42,解得R=5,

3、所以球的體積為= cm3. 4.(2019·福建市第一學(xué)期高三期末考試)已知圓柱的高為2,底面半徑為,若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積等于(  ) A.4π B.π C.π D.16π 解析:選D.如圖,由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心,于是,球的半徑r=OB===2.故這個(gè)球的表面積S=4πr2=16π.故選D. 5.(2019·武漢市武昌調(diào)研考試)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若π取3,其體積為12.6(單位:立方寸),則圖中的x為(  ) A.1.2

4、B.1.6 C.1.8 D.2.4 解析:選B.該幾何體是一個(gè)組合體,左邊是一個(gè)底面半徑為的圓柱,右邊是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5.4-x、3、1的長(zhǎng)方體,所以組合體的體積V=V圓柱+V長(zhǎng)方體=π·×x+(5.4-x)×3×1=12.6(其中π=3),解得x=1.6.故選B. 6.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn)分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1-EDF的體積為_(kāi)_______. 解析:三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積. 因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AA1,B1C上的點(diǎn),所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中,△EDD1的面積為定值,F(xiàn)到平面A

5、A1D1D的距離為定值1,所以VD1-EDF=VF-DD1E=××1=. 答案: 7.(2017·高考江蘇卷)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是________. 解析:設(shè)球O的半徑為r,則圓柱的底面半徑為r,高為2r,所以==. 答案: 8.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積. 解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S表面積=S圓臺(tái)側(cè)+S圓臺(tái)下底+S圓錐側(cè)=π(2+5)

6、×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,V=V圓臺(tái)-V圓錐=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π. [綜合題組練] 1.(2019·安徽合肥調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖圓弧部分為半圓,則該幾何體的表面積為(  ) A.4π+4 B.5π+4 C.6π D.7π 解析:選A.由三視圖知,該幾何體由一個(gè)半圓柱和四分之一球構(gòu)成,半圓柱的底面半徑為1,高為2,球的半徑為1,所以該幾何體的表面積S=2××π×12+×4π×12+×2π×2+2×2=4π+4,故選A. 2.(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面積為

7、,一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6,則正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為(  ) A.4π B.8π C.16π D.32π 解析:選C.如圖所示,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則底面面積為a2=,所以a=.又一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6,所以AA1=2.設(shè)E,D分別為上、下底面的中心,連接DE,設(shè)DE的中點(diǎn)為O,則點(diǎn)O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心,連接OA1,A1E,則OE=,A1E=××=1.在直角三角形OEA1中,OA1==2,即外接球的半徑R=2,所以外接球的表面積S=4πR2=16π,故選C. 3.(2019·福建泉州質(zhì)檢)如圖,在正方形網(wǎng)格紙上,實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖及其部分尺

8、寸.若該多面體的頂點(diǎn)在同一球面上,則該球的表面積等于(  ) A.8π B.18π C.24π D.8π 解析:選C.設(shè)球的半徑為R.多面體是兩個(gè)正四棱錐的組合體(底面重合).兩頂點(diǎn)之間的距離為2R,底面是邊長(zhǎng)為R的正方形,由R2+=32?R2=6,故該球的表面積S=4πR2=24π.選C. 4.(2019·遼寧五校協(xié)作體???一個(gè)長(zhǎng)方體被一平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A.36 B.48 C.64 D.72 解析:選B.由幾何體的三視圖可得幾何體如圖所示,將幾何體分割為兩個(gè)三棱柱,所以該幾何體的體積為×3×4×4+×3×4×4

9、=48,故選B. 5.(2019·洛陽(yáng)市第一次統(tǒng)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,圖中的三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2,則該幾何體的體積為(  ) A.8- B.4- C.8- D.4- 解析:選A.由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示,該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體上、下各挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓錐后剩余的部分,其體積為23-2××π×12×1=8-.故選A. 6.(應(yīng)用型)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少? 解:由PO1=2 m,知O1O=4PQ1=8 m. 因?yàn)锳1B1=AB=6 m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=·A1B·PO1=×62×2=24(m3); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3), 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3). 故倉(cāng)庫(kù)的容積是312 m3. 6

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