（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 簡單的三角恒等變換練習（含解析）

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1、第4講 簡單的三角恒等變換 [基礎達標] 1．計算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于(　　) A． B． C. D． 解析：選C.原式＝sin 15°cos 15° ＝×2sin 15°cos 15° ＝sin 30°＝. 2．已知f(x)＝2tan x－，則f的值為(　　) A．4 B． C．4 D．8 解析：選D.因為f(x)＝2＝2×＝2×＝，所以f＝＝8. 3．若sin＝，則cos等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選D.因為sin＝， cos＝sin 2α＝－cos ＝－cos 2 ＝－ ＝2sin2－1＝－.

2、4．已知α，β均為銳角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，則α＋β為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan(α＋β)＝＝＝1. 因為0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝. 5．(2019·臺州質檢)4sin 80°－等于(　　) A． B．－ C． D．2－3 解析：選B.依題意，因為sin 80°＝cos 10°， 所以4sin 80°－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝－，選B. 6．已知cos＋sin θ＝，則sin的值是(　　)

3、A． B． C．－ D．－ 解析：選C.因為cos＋sin θ＝，所以cos θ＋sin θ＝，即＝， 即sin＝，所以sin＝， 所以sin＝－sin＝－.故選C. 7.－＝________． 解析：原式＝ ＝＝tan 30°＝. 答案： 8．(2019·溫州中學高三?？?已知向量a＝(sin α＋cos α，1)，b＝(1，－2cos α)，a·b＝，α∈，則sin α＝________，cos α＝________． 解析：由題設可得sin α＋cos α－2cos α＝，即sin α－cos α＝，聯(lián)立sin2α＋cos2α＝1，由此可得sin α＝，cos α＝.

4、 答案：　 9．已知＝，tan(α－β)＝，則tan β＝________． 解析：因為＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因為tan(α－β)＝， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝. 答案： 10．(2019·浙江省重點中學高三月考)請利用圖1、圖2中大矩形內部陰影部分的面積關系，寫出該圖所驗證的一個三角恒等變換公式：________________________． 解析：兩個圖的陰影部分面積相等，題圖1中大矩形面積為：S＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，減去四個小直角三

5、角形的面積得S1＝S－sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，題圖2中陰影部分面積為S2＝sin αcos β＋cos αsin β. 答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 11．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cos β＝，β∈， 得sin β＝，tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝ ＝＝1. 因為α∈，β∈， 所以<α＋β<， 所以α＋β＝. 12．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，求的值． 解：原式＝＝， 又＋＝， 所以原式＝＝tan＝.

6、 因為tan 2θ＝＝－2， 解得tan θ＝－或tan θ＝， 又π<2θ<2π，所以<θ<π，所以tan θ＝－， 所以原式＝＝3＋2. [能力提升] 1．已知sin α＝且α為第二象限角，則tan＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：選D.由題意得cos α＝－，則sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以tan 2α＝－，所以tan＝＝＝－. 2．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝(　　) A．8 B．4 C．2

7、 D．1 解析：選C.因為m＝2sin 18°， 若m2＋n＝4， 則n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， 所以＝＝＝＝2. 3．(2019·臺州市書生中學檢測)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知a－b＝2，c＝4，sin A＝2sin B，則△ABC的面積為________，sin(2A－B)＝________． 解析：由sin A＝2sin B得，a＝2b，結合已知可知，a＝c＝4，b＝2，則cos A＝，sin A＝， S＝bcsin A＝， cos B＝＝， sin B＝， sin(2A－B)＝si

8、n 2Acos B－cos 2Asin B ＝2sin Acos Acos B－(cos2A－sin2A)sin B ＝2×××－× ＝. 答案：　 4．設α∈，β∈，且5sin α＋5cos α＝8，sin β＋cos β＝2，則cos(α＋β)的值為________． 解析：由5sin α＋5cos α＝8，得sin＝， 因為α∈，α＋∈， 所以cos＝. 又β∈，β＋∈，由已知得 sin＝. 所以cos＝－. 所以cos(α＋β)＝sin ＝sin ＝sincos＋cossin ＝－. 答案：－ 5．已知sin β＝msin(2α＋β)，求證：tan(α

9、＋β)＝·tan α. 證明：因為sin β＝msin(2α＋β)， 所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]， 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝m[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]， 所以(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝·tan α，所以原式成立． 6．廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣傳畫，根據(jù)該設施的外觀，設計成的平面圖由半徑為2 m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB＝，記該設施平面圖的面積為S(x)m

10、2，∠AOB＝x rad，其中