《高等數(shù)學》例題解析-第九講 定積分的概念與微積分基本定理

上傳人:痛*** 文檔編號:134706807 上傳時間:2022-08-13 格式:PDF 頁數(shù):5 大?。?03.36KB
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1、 1第九講:定積分的概念與微積分基本定理 一、單項選擇題單項選擇題(每小題 4 分,共 24 分)1 設初等函數(shù) f x在區(qū)間,a b有定義,則 f x在,a b上一定 (C)A可導 B可微 C可積 D不連續(xù) 解:初等函數(shù)在定義區(qū)間內必連續(xù),連續(xù)必可積。2若f連續(xù),下列各式正確的是 (D)A badf x dxf xdx B df x dxf x dxdx C bxdf t dtf xdx D xadf t dtf xdx 解:xaddf t dtF xf xdxdx 選 D 3下列關系式中正確的是 (B)A B 21100 xxe dxe dx21100 xxe dxe dxC D以上都不對

2、 21100 xxe dxe dx解:(1)在0,1區(qū)間內:22xxxxee(2)由比較定理:21100 xxe dxe dx 選 B 4下列各式中,正確的是 (B)A B21001xe dx2101xe dxe C D以上都不對 2120 xee dxe解:(1)令 2xf xe,22xfxex 0 xf0,1x (2)01,0Mfe mfe12101xe dxe由估值定理:5下列函數(shù)在區(qū)間1,1上可用牛頓萊布尼茲公式的是 (A)A21xx B1x C31x D21xx 解:2112 11221111122211d xxdxxxx0,選 A 6 設在,a b上,0,0,0f xfxfxdx

3、記,110Sf x 2Sf bba f a32baSf b,則有 (B)A12SSS3 B 213SSSC31SSS2 D 23SSS1解:選 B 二、填空題(每小題 4 分,共 24 分)7020sinln 1 4limtan1 21xxtt dxxt 解:原式=002sinln 1 4lim122xxttxx 2dt 3044lim3xxxx 8設 f x 連續(xù),且,則 xexF xf t dtFx 解:xxFxf eef x xxef ef x 9設 fx連續(xù),則102xfdx 解:11100022222xxxxfdxfdf =202xff 10設 120121f xfxx dx則 10

4、f x dx 解:令 10f x dxA,1112000121f x dxdxAdxx 10arctan2Ax A ,12A 11 設 f x 8連續(xù),且則 21301,(1xf t dtxx 解:22231 23,12f xxxf xx,令218,3xx,故 982f 12設,則y的極小值為01xytdt 解:(1)1yx0駐點1x,(2)10.1yx 為極小值點,()極小值 101111122yxdx 三、計算題(每小題 8 分,共 64 分)13 方 程00cos0yxte dttdt,確 定 yy x,求0 xdydx 解:(1)cos0ye yx(2)當0 x 時,00yte dt,

5、00tey(3)000cos00,1e yy0,故有01xdydx 14 設 f x在0,1 10連 續(xù),且 滿 足 3243f xx xx dfx,求 f x 解:(1)f x在0,1連續(xù),令 10f x dxA(2)1113200043f x dxx dxAx dx 4 13 100,1AxAxAA 故有)f 121,2AA(3)32342f xxx 15討論方程4013101xxdt 3t在區(qū)間內實根的個數(shù) 0,1解:(1)令 401311xf xxdt t 41301fxf xx 故至多有一實根 0f x(2)f x在0,1連續(xù),且 01f0 140113 12 1101fdtt 由零

6、點定理,至少有一實根(3)綜上所述:0f x 在0,1有且僅有一個實根 16設 f x在,a b連續(xù),且在,a b單調減少,討論 t dt1xafxaF x 在區(qū)間的單調性,a b解:2xaf xx af t dtF xx a,由積分中值定理 xaf t dtfxa ax 2f xfxaFxxa f x在,a b,ff x,故 0Fx 在,a b17求2220020limxtxxte dttedt 解:原式=2222002limxtxxxxe dt exee =22202lim2xxxxeexex202lim212xx 18 設 2xaxF xf t dtxa其中f為連續(xù)函數(shù),求 limxaF

7、 x 解:22limlimxxaaxaxaf t dtxf t dtaxaxa 22limxafaf xa f連續(xù)a 19 設 01122xf t dtf x,且 f x可導,0f x,求 f x 解:(1)12f xfx且 01f(2)2f xf x,1ln2f xx c,2xf xce 由 01f得1c,故有 2xf xe 20 若 f x為連續(xù)的奇函數(shù),判別 0 xf t dt的奇偶性 解:令 0,xF xf t dt x 單調減少 00 xxtuFxf t dtfudu 4 00 xxff u duf t dtF x為奇函數(shù) 故 0 xf t dt為偶函數(shù) 同理:若 f x為連續(xù)偶函數(shù)

8、,則 0 xf t dt為奇函數(shù) 四、綜合題(每小題 10 分,共 20 分)21設 2021cos01012 1 cos0 xt dtxxF xxxxx 討論 F x在處的連續(xù)性和可導性 0 x解:(1)2220022 1 cos2limlim1xxxxxx 22000coslimlimcos1xxxt dtxx且 01F 故 F x在處連續(xù) 0 x(2)223002 1 cos12 2cos0limlimxxxx xxFxx 2002 sin2 cos1limlim33xxxx2xxx 2022lim03xxx 220200coscos10limlim2xxxt dtxxFxx00 00F

9、F,故 F x在0 x 處可導 22利用拉格郎日中值定理的推論,計算 22sincos00arcsinarccosxxtdttdt之值,其中02x 解:(1)令 22sincos00arcsinarccosxxF xtdttdt 22arcsin sinsin arccos coscosFxxxxx sin2sin20 xxxx 由拉格郎日中值定理的推論知:F xC 0,2x(2)確定常數(shù) C,0,42x 112200arcsinarccostdttdtC 120arcsinarccosCtt dt 120arcsinarccos22xxdt 12024t 故有22sincos00arcsin

10、arccos4xxtdttdt 五、證明題(每小題 9 分,共 18 分)23證明21224022xxeedxe 證:(1)令 2,0,2xxf xex 221xxfxex(2)。令 50 fx,駐點12x 選作題:若 f x為連續(xù) 偶函數(shù),判 別 xaf t dt的奇偶性,(a 為常數(shù))(3),0(0)1fe4 22(2)fee 解:(1)當0a 時,0 xf t dtF x 1 114 2412fee 00 xxtuFxf t dtfudu (4)比較上述函數(shù)值大小:124,meMe,由估值定理知:0 xff u duF x 為偶函數(shù) 21224022xxeedxe 證畢 F x為奇函數(shù) 24若 f x在,a b連續(xù),且,又 0f x 1xxabdt(2)0a 時,00()()xxaaf t dtf t dtf t dt F xtdtff t,a b,證明在有且只有一實根 F x0=偶函數(shù)+奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù) 證:(1)10Fxf xf x xF在單調增,故,a b 0F x 在至多有一實根,a b(2)F x在,a b連續(xù),且 10abF adtf t,10abF bdtf t 由零點定理知:0F x 在至少有一實根,a b(3)綜上所述:0F x 在,a b有且只有一實根 證畢

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