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1、第十八講 平面向量的數(shù)量積及應用
一、知識整合：
1．向量的數(shù)量積
（1）兩個非零向量的夾角
已知非零向量與，作＝，＝，則叫與的夾角；
說明：當θ＝０時，與同向；當θ＝π時，與反向；
當θ＝時，與垂直，記⊥；
注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍。
（2）數(shù)量積的概念
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內積）。規(guī)定；
向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；
（3）數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。
（4）向量數(shù)量積的性質
①向量的模與平方的關系：。
②乘法公式成立
；
；
2、
③平面向量數(shù)量積的運算律
交換律成立：；
對實數(shù)的結合律成立：；
分配律成立：。
④向量的夾角：cos==。
當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。
（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標運算
已知兩個向量，則·=。
（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。
兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O
（7）平面內兩點間的距離公式
設，則或。
如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式)。
2．向量的應用
（1）向量在幾何中的應用；
（2）向量在物理
3、中的應用。
二．典例精析
題型1：數(shù)量積的概念
例1．判斷下列各命題正確與否：
（1）；
（2）；
（3）若，則；
（4）若，則當且僅當時成立；
（5）對任意向量都成立；
（6）對任意向量，有。
例2．設、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
①（·）－（·）= ②||－||<|－|
③（·）－（·）不與垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有
題型2：向量的夾角
例3．=1，=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為
例4.已知 且關于的方程有實根, 則與的夾角的取值范圍是
4、
題型3：向量的模
例5．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。
題型4：向量數(shù)量積在處理夾角及長度問題上的應用
例6．已知，其中。
（1）求證：與互相垂直；
（2）若與（）的長度相等，求。
題型5：向量與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列解析幾何相結合的問題
例7.已知，存在實數(shù)，使得，且，若不等式恒成立，求的取值范圍。
例8、已知點，，O為坐標原點。
（1） 若時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；
（2） 若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范
5、圍。
例9、設,是平面直角坐標系內軸、軸正方向上的單位向量，若向量，，且。
（1） 求點的軌跡方程C；
（2） 過點作直線與曲線C交于A,B兩點，設,是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。
三．重點題型強化
1、若向量與不共線，，且，則與的夾角的大小為
2、設向量滿足，且，則
3、在邊長為1的等邊三角形中，設，則
4、已知向量與的夾角為，且，若向量與垂直，則
5、設向量，且
6、。求
（1）及，
（2）若的最小值是，求實數(shù)的值。
6、已知是的三個內角，向量，且，
（1）求角A；（2）若。求。
7、已知銳角三角形ABC中，內角的對邊分別為，，且。
（1）求角B的大??；（2）若，求AC邊上的高的最大值。
8、 已知向量，向量與的夾角為，且。
（1） 求向量；（2）若向量與向量垂直，向量,其中角A,B,C是的內角，且角A,B,C依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。
9、 設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A,B，點O是坐標原點，點P滿足,點的坐標為，當繞點M旋轉時，求:
（1）動點P的軌跡方程；（2）的最值。
第十八講平面向量的數(shù)量積及應用
