第十八講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

第十八講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 一、知識整合： 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個非零向量的夾角 已知非零向量與，作＝，＝，則叫與的夾角； 說明：當(dāng)θ＝０時，與同向；當(dāng)θ＝π時，與反向； 當(dāng)θ＝時，與垂直，記⊥； 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍。 （2）數(shù)量積的概念 已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影； （3）數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。 （4）向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立：； 對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夾角：cos==。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 （5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個向量，則·=。 （6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O （7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)，則或。 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。 2．向量的應(yīng)用 （1）向量在幾何中的應(yīng)用； （2）向量在物理中的應(yīng)用。 二．典例精析 題型1：數(shù)量積的概念 例1．判斷下列各命題正確與否： （1）； （2）； （3）若，則； （4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立； （5）對任意向量都成立； （6）對任意向量，有。 例2．設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有 題型2：向量的夾角 例3．=1，=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為 例4.已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是 題型3：向量的模 例5．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。 題型4：向量數(shù)量積在處理夾角及長度問題上的應(yīng)用 例6．已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長度相等，求。 題型5：向量與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列解析幾何相結(jié)合的問題 例7.已知，存在實(shí)數(shù)，使得，且，若不等式恒成立，求的取值范圍。 例8、已知點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （1） 若時，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2） 若不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 例9、設(shè),是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)軸、軸正方向上的單位向量，若向量，，且。 （1） 求點(diǎn)的軌跡方程C； （2） 過點(diǎn)作直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè),是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。 三．重點(diǎn)題型強(qiáng)化 1、若向量與不共線，，且，則與的夾角的大小為 2、設(shè)向量滿足，且，則 3、在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則 4、已知向量與的夾角為，且，若向量與垂直，則 5、設(shè)向量，且。求 （1）及， （2）若的最小值是，求實(shí)數(shù)的值。 6、已知是的三個內(nèi)角，向量，且， （1）求角A；（2）若。求。 7、已知銳角三角形ABC中，內(nèi)角的對邊分別為，，且。 （1）求角B的大??；（2）若，求AC邊上的高的最大值。 8、 已知向量，向量與的夾角為，且。 （1） 求向量；（2）若向量與向量垂直，向量,其中角A,B,C是的內(nèi)角，且角A,B,C依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。 9、 設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A,B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足,點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求: （1）動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最值。