4、，|PA-PB|=AB，故此時｜PA-PB｜最大。,解答題專項,常見模型二、垂線段最短 【問題情境】 1.如圖⑤，P為線段BC上一動點，當點P運動到何處時，AP最短？ 【通解通法】 知識必備：垂線段最短。 【問題解決】 垂線段最短 (1)找點。如圖⑥，過點A作AP⊥BC交BC于點P,點P即為所求。 (2)說理。垂線段最短。,解答題專項,(二)雙動點問題 常見模型三、軸對稱的性質、垂線段最短 【問題情境】 1.如圖⑦，在直線l1和l2上分別找兩點B，C,使△ABC的周長最??？ 2.如圖⑧，在△ABC中，AB=2,∠BAC=45，AD平分∠BAC,M，N分別為AD,AB上的兩個動點，怎樣確定點
5、M,N能使BM+MN的值最??？ 【通解通法】 知識必備：(1)軸對稱的性質；(2)垂線段最短。,解答題專項,【問題解決】 軸對稱的性質 (1)找點。如圖⑨，分別找出點A關于直線l1和l2的對稱點A1和A2,連接A1A2分別交直線l1和l2于點B,C,此時△ABC的周長最小。 (2)說理。由對稱性可知，AB=A1B,AC=A2C,故△ABC的周長為AB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2。根據“兩點之間， 線段最短”可知，此時△ABC的周長最小。 垂線段最短 (1)找點。如圖⑩，找出點B關于AD的對稱點B′,過點 B′作B′N⊥AB分別交AD于點M,交AB于點N。M，N即為 所求。 (2
6、)說理。∵AD平分∠BAC,∴點B關于AD的對稱點B′在線段AC上，∴B′M=BM。又∵B′N⊥AB于點N,∴BM+MN=B′M+MN=B′N。由垂線段最短可知，此時BM+MN的值最小。,解答題專項,常見模型四、平移+將軍飲馬 【問題情境】 1.如圖11，在直線l上找出兩個動點P，Q(P，Q兩動點之間的距離為定值)，使AP+PQ+BQ的值最小。 【通解通法】 知識必備：(1)平移的性質；(2)軸對稱的性質。 【問題解決】 (1)找點。如圖12,將點A沿過點A且與直線l平行的直線平移PQ長度得到定點A′,作定點A′關于直線l的對稱點A″,連接A″B,交直線l于點Q，將點Q沿直線l向左平移PQ長
7、度，得到點P，連接AP，則AP+PQ+BQ的值最小。 (2)說理。請自己完成證明過程。,解答題專項,常見模型五、動點定值模型 “平行定位”法 【問題情境】 1.如圖13，在△ABC中，BC=a，M是BC上一動點，連接AM,取AM的中點P，隨著點M從點B運動到點C,求動點P的路徑長。 【通解通法】 知識必備：(1)三角形中位線；(2)平行線間的距離處處相等。 【問題解決】 (1)如圖14，過點P作直線EF∥BC分別交AB，AC于點E，F。點P運動的軌跡在線段EF上。,解答題專項,(2)說理。由動點M找動點P的運動軌跡，過點P，點A分別作BC的垂線交BC于點G，H(如圖)，則PG∥AH?！逷為A
8、M的中點，∴PG= AH。又∵AH為BC邊上的高線，∴點P到BC的距離為定值。在△ABC中，EF= BC= a，故動點P的路徑長為 a。 “夾角定位”法(又稱“旋轉+直線型”) 理論依據：平面內，過定點并且與定直線的夾角為定值的點在直線上運動。如圖15，已知直線l與定點A，若直線BA與直線l的夾角α確定，則動點B始終在直線AB上。 如圖16，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90，點P為BC上一動點，AP=AD,∠PAD=90，線段BC長為定值，在點P從點B向點C運動的過程中，動點D運動的路線是什么，長度等于多少？,解答題專項,【問題解決】 易證△ABP≌△ACD，故動點D的運動軌跡是一條
9、線段，該線段所在直線垂直于BC，且點D運動的路線的長度為BC長。 此類問題分三步進行思考：(1)找準主動點、從動點以及繞哪一定點運動；(2)由旋轉不變性可知，主動點的軌跡和從動點的軌跡相同，位置不同。分析從動點、主動點與定點之間的數量關系(比值)，從而由一個動點確定另一個動點的運動軌跡的長度；(3)整體捆綁，畫出圖形，解決問題。,解答題專項,例1 (2018陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，在△ABC中，∠A=120，AB=AC=5，則△ABC的外接圓的半徑R的值為 。 【問題探究】 (2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB 的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值。 【問題
10、解決】 (3)如圖③，AB，AC， 是某新區(qū)的三條規(guī)劃路， 其中AB=6 km，AC=3 km，∠BAC=60， 所 對的圓心角為60。新區(qū)管委會想在 路邊建物資總站點P，在AB，AC路邊分別建物資分站點E，F，也就是，分別在 ，線段AB和AC上選取點P，E，F。由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE，EF和FP。為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本，要使線段PE，EF，FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值。(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計),解答題專項,解答題專項,解答題專項,類型2 探究圖形面積的最值問題 核
11、心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象。 2.數學思想方法：數形結合思想、分類討論思想、轉化思想。 3.常用解題方法：代數法和幾何法。 常見模型一 【問題情境】 1.如圖①，在△ABC中，BC=a,∠A=α，那么△ABC的面積和周長是 否有最值？ 【通解通法】 知識必備：(1)三角形的面積公式;(2)同弧所對的圓周角相等。 【問題解決】 如圖②，BC確定，BC邊所對的角確定，故點A在△ABC的外接圓的 上。因為BC為定值，所以當BC邊上的高最大時△ABC的面積最大，而當點A在 的中點A′時,△ABC為等腰三角形(BC為底邊)，此時BC邊上的高最大，則△AB
12、C的面積最大。,解答題專項,如圖③，延長BA到點C′,使AC′=AC,連接C′C,取BC的中點O,以O為圓心，OB長為半徑作⊙O，延長BO交⊙O于點D,連接DC，則∠D=∠C′,B，C，C′，D四點共圓。因為BD為直徑，所以當點A在點O時，△ABC為等腰三角形(BC為底邊)，此時△ABC的周長最大。 結論：定邊對定角，等腰時面積最大，周長最大。 常見模型二 【問題情境】 如圖④,在△ABC中，∠BAC=45，高AD=4，則線段BC的最小值為多少，△ABC的面積的最小值是多少？ 【通解通法】 知識必備：(1)三角形的面積公式；(2)同弧所對的圓周角相等；(3)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍；(4
13、)垂徑定理。,解答題專項,【問題解決】 如圖⑤，作△ABC的外接圓⊙O,連接OA，OB，OC,過點O作OE⊥BC交BC于點E。 設BC=2x,則在Rt△BOE中，BE=OE=x，∴OB=OA= x?！郞A+OE≥AD,即 x+x≥4,解得x≥4( -1)，即BCmin=8( -1)。 ∵高AD為定值，∴△ABC的面積的最小值為16( -1)，此時AB=AC, △ABC為等腰三角形，此時，易證△ABC的周長也最小。 結論：定角夾定高，等腰時面積最小，周長最小。 常見模型三 【問題情境】如圖⑥，在△ABC中，AB=c，BC=a,∠B=α，高AD=h, 求S△ABC的定值和最值。 【通解通
14、法】知識必備：解直角三角形及銳角三角函數。 【問題解決】如圖⑥，在Rt△ABD中，h=csin α，所以S△ABC= ah= acsin α。 所以S△ABC的定值為 acsin α，最大值為 ac。 注：sin α≤1,當sin α=1時，α=90。,解答題專項,常見模型四 【問題情境】 如圖⑦，在四邊形ABCD中，對角線AC=m,BD=n,∠AOB=α，求四邊形ABCD的面積的最大值。 【通解通法】 知識必備：(1)解直角三角形；(2)斜大于直。 【問題解決】 如圖⑧，分別過點A，C作AF⊥BD,CG⊥BD,垂 足分別為F，G，則S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD。 在Rt△AOF
15、和Rt△COG中，AF=OAsin α,CG=OCsin α, ∴S四邊形ABCD= BDAF+ BDCG= n(AF+CG)= (OA+OC)n sin α= mn sin α。 ∴四邊形ABCD的面積的最大值為 mn。,解答題專項,注：sin α≤1,當sin α=1時，α=90。 面積定值或最值問題常見其他考點：面積與圖形變換(旋轉、平移、對稱、位似)相結合；面積與函數相結合等等。 知識必備：(1)相似三角形的相似比等于對應高的比；,解答題專項,例2 (2016陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關于直線AC對稱的三角形。 【問題探究】 (2)如圖②，在矩
16、形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC，CD上分別存在點G，H，使四邊形EFGH的周長最?。咳舸嬖?，求出它的周長的最小值；若不存在，請說明理由。 【問題解決】 (3)如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3 m， AD=6 m?，F想從此板材中裁出一個面積盡可 能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90， EF=FG= m，∠EHG=45。經研究，只 有當點E，F，G分別在邊AD，AB，BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件。試問：能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積
17、；若不能，請說明理由。,解答題專項,解答題專項,解答題專項,解答題專項,類型3 探究圖形面積的分割問題 核心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象。 2.數學思想：數形結合思想、分類討論思想、轉化思想。 3.解題方法：代數法和幾何法。 (一) 過定點的三角形面積等分線 常見模型一 1.如圖①，在△ABC中 ，過點A作一條直線，將 三角形的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據：等底同高的三角形的面積相等。 (2)作法：如圖②，找出BC邊的中點D，過AD作一條直線即可平分△ABC的面積。,解答題專項,常見模型二 三角形等積變換(又稱“蝴蝶型”) 如圖③，已知
18、△ABC，求作△DBC，使S△ABC=S△DBC。 理論依據：同底等高的三角形的面積相等。 作法： 如圖③，過點A作線段BC的平行線l,直線l上(點A除外)的任何一點滿足題目要求。易證S△BOD=S△AOC。 模型拓展 中線+蝴蝶型1 如圖④，在△ABC中，D為BC上一點，過點D作一條直線，把△ABC的面積平分。,解答題專項,【通法通解】 (1)理論依據：①等底同高的三角形的面積相等；②同底等高的三角形的面積相等。 (2)作法：找出邊BC上的中線AE，連接AD，過點E作EF∥AD,連接DF，DF即為所求。 (3)說理:運用轉化思想，找出BC的中點E,則S△ABE=S△ACE。由EF∥AD，得
19、S△DEF=S△AEF，故S△FDC=S△ACE。即直線DF即為所求。 模型拓展 中線+蝴蝶型2 如圖⑤，在四邊形ABCD中，過點A作一條直線，把四邊形 ABCD的面積平分。 (1)理論依據：同上例。 (2)作法：連接AC,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，連接AE，作△ABE的邊BE上的中線AF，直線AF即為所求。 【結論】三角形的中線將三角形的面積平分，對于多邊形來說，經過特定點的一條直線將面積平分等問題往往是“中線+蝴蝶型”的應用，它是平面圖形面積平分的有效方法之一。,解答題專項,(二)中心對稱圖形的面積等分線 如圖⑥，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O,過點O作一
20、條直線，將四邊形ABCD的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據：①中心對稱圖形的性質；②全等三角形的 面積相等。 (2)作法:過點O任作一條直線，即可將其面積平分。 (3)說理：易證S△AOE=S△COF，S△DOE=S△BOF，S△AOB=S△DOC,故EF平分平行四邊形的面積。 【結論】平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點，過對角線交點的任何一條直線，都可以將平行四邊形的面積平分。矩形、菱形、正方形等特殊的平行四邊形，同樣可以采用此法將其面積平分。 模型拓展 組合圖形面積平分,解答題專項,【通法通解】 (1)理論依據：中心對稱圖形的性質。 (2)作法：對于組合圖形，只要
21、我們把它分割成兩個常見基本圖形，如圖⑦，可分割成兩個平行四邊形，分別找出每個圖形的對稱中心，然后過兩個對稱中心作直線，該直線即可將組合圖形的面積平分。 (三)軸對稱圖形的面積等分線 常見模型三 如圖⑧，正五邊形的對稱軸將正五邊形的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據：軸對稱圖形的性質。 (2)作法:根據圖形的特點，畫出它的對稱軸。 軸對稱圖形的對稱軸是它的面積平分線。,解答題專項,【模型特例】 等分積周線 軸對稱圖形：它的對稱軸既平分它的面積又平分它的周長；中心對稱圖形：過對稱中心的任何一條直線既平分它的面積又平分它的周長。這樣的線叫做這個圖形的等分積周線。 以三角形為例：一般三角形，是否
22、有等分積周線？ 如圖⑨，作△ABC的BC邊上的中線AD,由模型一可知，AD平 分△ABC的面積。又∵AB≠AC，BD=DC,∴△ABD與△ACD 的周長不相等。∴過定點不存在這樣的線。,解答題專項,分類討論思想： 如圖⑩，假設存在這樣一條直線EF,與邊BC，AB分別交于E，F兩點，并且平分△ABC的周長，作FG⊥BC，AH⊥BC。設△ABC的面積為S，AB=c，BC=a，AC=b，則周長C=a+b+c。 ∵EF平分△ABC的周長,∴BF+BE= ,AH= 。設BE=x，則BF= 。 易證△BGF∽△BHA,則 ,即 ，∴FG= ,當S△BFE= S△ABC時，
23、建立方程,即 。 若有解，則EF為等分積周線。若無解，則AB， AC上不存在等分積周線。同理在AB，AC；AC，BC邊上分別尋找 滿足條件的直線。其他兩種情況，請同學們自己完成求解過程。,解答題專項,例3 (2017陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點O是△ABC的內心，則OA的長為 。 【問題探究】 (2)如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果P是AD邊上一點，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由。 【問題解決】 (3)某城市街角有一草
24、坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭,解答題專項,來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水。于是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB(即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，再轉回，這樣往復噴灌)，同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。 如圖③，已測出AB=24 m，MB=10 m，△AMB的面積為96 m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交 于點E，又測得DE=8 m。 請你根據以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能
25、實現他的想法？為什么？(結果保留根號或精確到0.01 m),解答題專項,解答題專項,解答題專項,類型4 探究符合條件的點的問題 核心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象。 2.數學思想方法：數形結合思想、分類討論思想、轉化思想。 3.解題方法：代數法和幾何法。 (一)圖形中符合條件的點的問題 常見模型一 1.滿足最大張角(視野)的點的問題(米勒張角) 1471年，德國數學家米勒向諾德爾教授提出了一個有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿最長？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數學史上100個著名的極值問題中的第一個極值問題。因為德國數學家米勒曾
26、提出這個問題，所以最大視角問題又稱為“米勒問題”，更一般的米勒問題如下： 如圖①，已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，在OM邊上求作一點P，使得∠APB最大。,解答題專項,【通法通解】 (1)知識必備：①射影定理；②圓的切線判定；③圓中同弧所對圓內 角、圓周角、圓外角的關系。 (2)找點：①如圖②，以OB的長為直徑作圓;②過點A作ON的垂線交 前圓于點D；③連接OD，以點O′為圓心，以O′B的長為半徑畫弧， OM于點P;④連接PA，PB，則點P就是所要求作的點。 (3)說理：以P，A，B為三點作圓，連接BD，則∠ODB=90。又∵DA⊥OB,易證△OAD∽△ODB,∴OD2=OAOB。
27、又∵OD=OP,∴OP2=OAOB，得 。又∵∠POA=∠BOP,∴△OPA∽△OBP,∴∠OPA=∠PBO,∴OP為⊙O′的切線，P為切點，根據同弧所對圓周角大于圓外角，故∠APB最大。 【反思】最大視角問題在近幾年中考中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查，若能從題設中挖掘出其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸，大大減少運算量，降低思維難度，縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則,這類問題會成為學生的一道難題甚至一籌莫展，即使求得結果也費時費力，在此，我們繼續(xù)強化數學建模思想在壓軸題中的運用。,解答題專項,常見模型二 2.圖中符合條件的定
28、角問題 在矩形ABCD中，以AB為一邊，AB=a,AD≥a,在其他三邊上是否存在點P,使∠APB=45，若存在，請找出點P，若不存在，請說明理由。 【通法通解】 (1)知識必備：圓中圓心角與圓周角的關系。 (2) 找點：①如圖③，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO,使∠AOB=90;②過點A以點O為圓心，以OA的長為半徑畫弧，分別交AD,DC,BC于點P;④連接PA,PB，則點P就是所要求作的點。 (3)說理:(分類討論)∵AB=a，AD=BC≥a,故以點O為圓心， OA(或OB)為半徑的圓與AD,BC必有交點。當a＜AD＜ 時， 與BC邊有兩個交點P;當AD= 時，與DC邊有一個交點;
29、當 AD＞ 時，與DC沒有交點。,解答題專項,【反思】“數無形時難直觀，形缺數時難入微”，根據條件運用基本知識點借助“隱圓”找點，再通過相關數據準確地判斷滿足條件的點的個數，達到數形結合萬般好的效果，實現逢河架橋、逢山開路之境界！ 隱形圓的判定：1.到定點距離等于定長的點共圓；2.一組對角互補的四邊形共圓； 3.一個外角等于和它不相鄰的內對角的四邊形共圓；4.蝴蝶型對應角相等；5.定邊對定角、定高對定角必有隱形圓。,(二)平面中符合條件的其他圖形的點的存在性問題 符合條件的圖形的點及解的問題處理策略： 等腰三角形：利用“兩圓一線”法找點，建立坐標系或用方程解決問題； 直角三角形：“兩線一圓”
30、法找點，利用勾股定理或相似解決問題； 平行四邊形：“平行線構造”法或“對角線互相平分”法找點，利用平移規(guī)律、中點坐標公式、全等解決問題。 以上模型，前文已有詳細講解，此處不再贅述。,解答題專項,【小技巧】(1)60角考慮等邊三角形或特殊直角三角形，探究點的問題，常見“隱圓”常做腳手架；(2)當出現90角的問題，常與“隱圓”、相似、三角函數轉移角結合；(3)點的特殊性決定角或邊的情況，分類討論是靈魂。 相似三角形中的幾個重要結論和模型： 1.如圖④，普通母子型,結論：AC2 =ADAB。 2.如圖⑤，射影定理(特殊母子型) 結論：AC2 =ADAB;BC2 =BDAB;CD2 =BDAD。 3.
31、一線三等角 如圖⑥，三垂直(∠C=∠ABE=∠D),△ACB∽△BDE。 如圖⑦，三個60(∠B=∠ADE=∠C),△ABD∽△DCE。 如圖⑧，三等角(∠B=∠ACE=∠D), △ABC∽△CDE。,解答題專項,例4 【問題探究】 (1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,如果BC邊上存在點P，使△APD為直角三角形，那么請畫出滿足條件的一個直角三角形，并求出此時AP的長； (2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD,∠B=90,AD=10,AB=7,CD=1,點P在邊BC上，且∠APD=90，求BP的長。 【問題解決】 (3)如圖③，在平面直角坐標系中，點A，B，C分 別是某單位的門房及兩個倉庫，其中OA=100 m， AB=200 m，OC=300 m，單位負責人想選一點P安裝 監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控AB,使△APB的面積最大，且 ∠APB=2∠ACB,是否存在滿足條件的點P？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。,解答題專項,
2019屆中考數學復習 專項二 解答題專項 十一、幾何綜合探究題課件.ppt
