專題一 第2講不等式與線性規(guī)劃
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1、2015屆高三直升班第二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合與不等式
第2講 不等式與線性規(guī)劃
知識(shí)主干
1.四類不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集.
(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法
①變形?>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0);
②變形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法
①當(dāng)a>1時(shí),af(x)>ag(x)?f(x)>g(x);
②當(dāng)0
2、af(x)>ag(x)?f(x) 3、問(wèn)題的有關(guān)概念:線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.
(2)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟:①畫出可行域;②根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解;③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.
4.兩個(gè)常用結(jié)論
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是
熱點(diǎn)一 一元二次不等式的解法
例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,則f(10x)>0的解集為( ?。?
A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1 4、x<-lg 2}
(2)已知函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增,則f(2-x)>0的解集為( ?。?
A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2 5、下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=.
①如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時(shí);
②如果限定車型,l=5,則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時(shí).
(2)(2013·山東)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),+-的最大值為( ?。?
A.0 B.1 C. D.3
(3)已知關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù) 6、a的最小值為( ?。?
A.1 B. C.2 D.
熱點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
例3 (1)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則w=的最小值是( ?。?
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)(2013·北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
(3)某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分 7、別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為( )
A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元
新題型:
例1 記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.設(shè)△的三邊邊長(zhǎng)分別為,且,定義△的傾斜度為.
(?。┤簟鳛榈妊切?,則______;
(ⅱ)設(shè),則的取值范圍是______.
熱點(diǎn)一 一元二次不等式的解法
例1?。?)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,則f(10x)>0的解集為( 8、)
A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1 9、lg=-lg 2.
(2)由題意可知f(-x)=f(x).
即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,
故2a-b=0,即b=2a,則f(x)=a(x-2)(x+2).
又函數(shù)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以a>0.
f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.
故選C.
思維升華 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),也是高考的熱點(diǎn),“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.
?。?)不等式≤0的解集為( ?。?
A.(-,1] B.[-,1] C.(-∞,-)∪[1,+∞) D.(-∞,-]∪[1,+∞) 10、
(2)已知p:?x0∈R,mx+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ?。?
A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.[0,2]
答案?。?)A (2)C
解析?。?)原不等式等價(jià)于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0,即- 11、表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=.
①如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時(shí);
②如果限定車型,l=5,則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時(shí).
(2)(2013·山東)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),+-的最大值為( ?。?
A.0 B.1 C. D.3
思維啟迪?。?)把所給l值代入,分子分母同 12、除以v,構(gòu)造基本不等式的形式求最值;(2)關(guān)鍵是尋找取得最大值時(shí)的條件.
答案?。?)①1 900?、?00 (2)B
解析?。?)①當(dāng)l=6.05時(shí),F(xiàn)=
=≤==1 900.
當(dāng)且僅當(dāng)v=11 米/秒時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)車流量最大為1 900輛/時(shí).
②當(dāng)l=5時(shí),F(xiàn)==≤==2 000.
當(dāng)且僅當(dāng)v=10 米/秒時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)車流量最大為2 000 輛/時(shí).比①中的最大車流量增加100 輛/時(shí).
(2)由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)
則==≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),把x=2y代入(*)式,得z=2y2,
所以+-=+-=-2+1≤1,
所以當(dāng)y=1時(shí),+ 13、-的最大值為1.
思維升華 在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.
?。?)若點(diǎn)A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,則mn的最大值為________.
(2)已知關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為( ?。?
A.1 B. C.2 D.
答案?。?)3?。?)B
解析 (1)因?yàn)辄c(diǎn)A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,所以m,n>0,且+=1.
14、所以·≤()2(當(dāng)且僅當(dāng)==,即m=,n=2時(shí),取等號(hào)).所以·≤,即mn≤3,
所以mn的最大值為3.
(2)2x+=2(x-a)++2a
≥2·+2a=4+2a,
由題意可知4+2a≥7,得a≥,
即實(shí)數(shù)a的最小值為,故選B.
熱點(diǎn)三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
例3?。?013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為( )
A.31 200元 B.36 000元 C.36 15、 800元 D.38 400元
思維啟迪 通過(guò)設(shè)變量將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題.
答案 C
解析 設(shè)租A型車x輛,B型車y輛時(shí)租金為z元,
則z=1 600x+2 400y, x、y滿足
畫出可行域如圖
直線y=-x+過(guò)點(diǎn)A(5,12)時(shí)縱截距最小,
所以zmin=5×1 600+2 400×12=36 800,
故租金最少為36 800元.
思維升華?。?)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.(3 16、)對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題,要準(zhǔn)確地設(shè)出變量,確定可行域和目標(biāo)函數(shù).
?。?)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則w=的最小值是( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)(2013·北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
答案?。?)D?。?)C
解析 (1)畫出可行域,如圖所示.
w=表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P(0,-1)連線的斜率,觀察圖形可知PA的斜率最小為=1,故選D.
(2)當(dāng)m≥0時(shí),若平面區(qū)域存 17、在,則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限,平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,因此m<0.
如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域.
要使可行域內(nèi)包含y=x-1上的點(diǎn),只需可行域邊界點(diǎn)
(-m,m)在直線y=x-1的下方即可,即m<-m-1,解得m<-.
1.幾類不等式的解法
一元二次不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根,也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即二次函數(shù)的零點(diǎn);分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來(lái)解;以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
2.基本不等式的作用
二元基本不等式具 18、有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問(wèn)題.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn),并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景,如通過(guò)“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧,改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件.利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的條件,三個(gè)條件缺一不可.
3.線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟
(1)定域——畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域,注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng);
(2)平移——畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l 19、,平行移動(dòng)直線,讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解,注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義;
(3)求值——利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù),求出最值.
真題感悟
1.(2014·山東)已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax 20、立.B中,當(dāng)x=0,y=-1時(shí),ln 1 21、與銷售量相等)與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足P=3-,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(10+2P)萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為(4+)萬(wàn)元/萬(wàn)件.則促銷費(fèi)用投入
萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?( ?。?
A.1 B.1.5 C.2 D.3
答案 A
解析 設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為y萬(wàn)元,由題意知,該產(chǎn)品售價(jià)為2×()萬(wàn)元,所以y=2×()×P-10-2P-x=16--x(x>0),所以y=17-(+x+1)≤17-2=13(當(dāng)且僅當(dāng)=x+1,即x=1時(shí)取等號(hào)),所以促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,故選A.
2.若點(diǎn)P(x,y) 22、滿足線性約束條件點(diǎn)A(3,),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則·的最大值為________.
答案 6
解析 由題意,知=(3,),設(shè)=(x,y),則·=3x+y.
令z=3x+y,
如圖畫出不等式組所表示的可行域,
可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取得最大值.
由解得即B(1,),故z的最大值為3×1+×=6.
即·的最大值為6.
一、選擇題
1.(2014·四川)若a>b>0,c 23、B錯(cuò)誤;
=-,=-,
所以<,
所以C錯(cuò)誤.故選D.
2.下列不等式一定成立的是( ?。?
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
答案 C
解析 應(yīng)用基本不等式:x,y>0,≥(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析,注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件.
當(dāng)x>0時(shí),x2+≥2·x·=x,
所以lg≥lg x(x>0),故選項(xiàng)A不正確;
運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證一正二定三相等,
而當(dāng)x≠kπ,k∈Z時(shí),sin x的正負(fù)不定,故選項(xiàng)B不正確;
由基本不等式 24、可知,選項(xiàng)C正確;
當(dāng)x=0時(shí),有=1,故選項(xiàng)D不正確.
3.(2013·重慶)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于( ?。?
A. B. C. D.
答案 A
解析 由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因a>0,所以不等式的解集為(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.
4.(2014·重慶)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是( ?。?
A.6+2 25、 B.7+2 C.6+4 D.7+4
答案 D
解析 由題意得所以
又log4(3a+4b)=log2,
所以log4(3a+4b)=log4ab,
所以3a+4b=ab,故+=1.
所以a+b=(a+b)(+)=7++
≥7+2=7+4,
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào).故選D.
5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y-1的最大值為( ?。?
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 約束條件所表示的區(qū)域如圖,
由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)A(1,4)時(shí)取得最大值,故z=x 26、+2y-1的最大值為1+2×4-1=8.
二、填空題
6.已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn),則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________.
答案?。?,e2)
解析 ∵|f(1+ln x)|<1,
∴-1 27、3y過(guò)點(diǎn)A(a,a)時(shí),z=2x+3y取得最大值5,所以5=2a+3a,解得a=1.
8.若點(diǎn)A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為________.
答案?。?
解析 ∵點(diǎn)A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,
∴2m+n=2,
∵+=(+)=(2+++1)
≥(3+2)=+,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即n=m時(shí)取等號(hào),
∴+的最小值為+.
三、解答題
9.設(shè)集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的值域,集合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C??RA,求a的取值范圍.
解 28、?。?)由-x2-2x+8>0得-4 29、(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0 30、域?yàn)槠矫鎍Ob上的三條直線:
2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所圍成的△ABC的內(nèi)部,其三個(gè)頂點(diǎn)分別為
A,B(2,2),C(4,2).
z在這三點(diǎn)的值依次為,6,8.
所以z的取值范圍為(,8).
11.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每日的成本C(單位:萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位:噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C=3+x,每日的銷售額S(單位:萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S=已知每日的利潤(rùn)L=S-C,且當(dāng)x=2時(shí),L=3.
(1)求k的值;
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí),每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
解?。?)由題意可得L=
因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí),L=3,所以3=2×2++2,
解 31、得k=18.
(2)當(dāng)0 32、<
2.下列不等式一定成立的是 ( ?。?
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
3.關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于( ?。?
A. B. C. D.
4.若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是 ( ?。?
A.6+2 B.7+2 C.6+4 33、 D.7+4
5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y-1的最大值為 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6.已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn),則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________.
7.若x,y滿足條件且z=2x+3y的最大值是5,則實(shí)數(shù)a的值為________.
8.若點(diǎn)A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為________.
解答題
9.設(shè)集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的 34、值域,集合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C??RA,求a的取值范圍.
10.已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0
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