專題一 第2講不等式與線性規(guī)劃
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1、2015屆高三直升班第二輪復習 專題一 集合與不等式
第2講 不等式與線性規(guī)劃
知識主干
1.四類不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系,確定一元二次不等式的解集.
(2)簡單分式不等式的解法
①變形?>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0);
②變形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)簡單指數(shù)不等式的解法
①當a>1時,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x);
②當0
2、af(x)>ag(x)?f(x) 3、問題的有關概念:線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.
(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟:①畫出可行域;②根據線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解;③求出目標函數(shù)的最大值或者最小值.
4.兩個常用結論
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是
熱點一 一元二次不等式的解法
例1?。?)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,則f(10x)>0的解集為( ?。?
A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1 4、x<-lg 2}
(2)已知函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增,則f(2-x)>0的解集為( )
A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2 5、下,某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數(shù),單位:輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為F=.
①如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時;
②如果限定車型,l=5,則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時.
(2)(2013·山東)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,+-的最大值為( ?。?
A.0 B.1 C. D.3
(3)已知關于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數(shù) 6、a的最小值為( ?。?
A.1 B. C.2 D.
熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題
例3 (1)已知實數(shù)x,y滿足約束條件,則w=的最小值是( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)(2013·北京)設關于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
(3)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分 7、別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為( )
A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元
新題型:
例1 記實數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.設△的三邊邊長分別為,且,定義△的傾斜度為.
(?。┤簟鳛榈妊切?,則______;
(ⅱ)設,則的取值范圍是______.
熱點一 一元二次不等式的解法
例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,則f(10x)>0的解集為( 8、)
A.{x|x<-1或x>-lg 2} B.{x|-1 9、lg=-lg 2.
(2)由題意可知f(-x)=f(x).
即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,
故2a-b=0,即b=2a,則f(x)=a(x-2)(x+2).
又函數(shù)在(0,+∞)單調遞增,所以a>0.
f(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.
故選C.
思維升華 二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學的基礎知識,也是高考的熱點,“三個二次”的相互轉化體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想方法.
?。?)不等式≤0的解集為( )
A.(-,1] B.[-,1] C.(-∞,-)∪[1,+∞) D.(-∞,-]∪[1,+∞) 10、
(2)已知p:?x0∈R,mx+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q為真命題,則實數(shù)m的取值范圍是( ?。?
A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.[0,2]
答案?。?)A?。?)C
解析?。?)原不等式等價于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0,即- 11、表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數(shù),單位:輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為F=.
①如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為________輛/時;
②如果限定車型,l=5,則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時.
(2)(2013·山東)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最大值時,+-的最大值為( )
A.0 B.1 C. D.3
思維啟迪?。?)把所給l值代入,分子分母同 12、除以v,構造基本不等式的形式求最值;(2)關鍵是尋找取得最大值時的條件.
答案 (1)①1 900?、?00 (2)B
解析?。?)①當l=6.05時,F(xiàn)=
=≤==1 900.
當且僅當v=11 米/秒時等號成立,此時車流量最大為1 900輛/時.
②當l=5時,F(xiàn)==≤==2 000.
當且僅當v=10 米/秒時等號成立,此時車流量最大為2 000 輛/時.比①中的最大車流量增加100 輛/時.
(2)由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)
則==≤1,當且僅當x=2y時取等號,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,
所以+-=+-=-2+1≤1,
所以當y=1時,+ 13、-的最大值為1.
思維升華 在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤.
?。?)若點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,則mn的最大值為________.
(2)已知關于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數(shù)a的最小值為( ?。?
A.1 B. C.2 D.
答案?。?)3?。?)B
解析 (1)因為點A(m,n)在第一象限,且在直線+=1上,所以m,n>0,且+=1.
14、所以·≤()2(當且僅當==,即m=,n=2時,取等號).所以·≤,即mn≤3,
所以mn的最大值為3.
(2)2x+=2(x-a)++2a
≥2·+2a=4+2a,
由題意可知4+2a≥7,得a≥,
即實數(shù)a的最小值為,故選B.
熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題
例3?。?013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為( ?。?
A.31 200元 B.36 000元 C.36 15、 800元 D.38 400元
思維啟迪 通過設變量將實際問題轉化為線性規(guī)劃問題.
答案 C
解析 設租A型車x輛,B型車y輛時租金為z元,
則z=1 600x+2 400y, x、y滿足
畫出可行域如圖
直線y=-x+過點A(5,12)時縱截距最小,
所以zmin=5×1 600+2 400×12=36 800,
故租金最少為36 800元.
思維升華?。?)線性規(guī)劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍.(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義,利用數(shù)形結合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解.(3 16、)對于應用問題,要準確地設出變量,確定可行域和目標函數(shù).
?。?)已知實數(shù)x,y滿足約束條件,則w=的最小值是( ?。?
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)(2013·北京)設關于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
答案?。?)D?。?)C
解析?。?)畫出可行域,如圖所示.
w=表示可行域內的點(x,y)與定點P(0,-1)連線的斜率,觀察圖形可知PA的斜率最小為=1,故選D.
(2)當m≥0時,若平面區(qū)域存 17、在,則平面區(qū)域內的點在第二象限,平面區(qū)域內不可能存在點P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,因此m<0.
如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域.
要使可行域內包含y=x-1上的點,只需可行域邊界點
(-m,m)在直線y=x-1的下方即可,即m<-m-1,解得m<-.
1.幾類不等式的解法
一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程的根,也是相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,即二次函數(shù)的零點;分式不等式可轉化為整式不等式(組)來解;以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調性進行轉化.
2.基本不等式的作用
二元基本不等式具 18、有將“積式”轉化為“和式”或將“和式”轉化為“積式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題.解決問題的關鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結構特點,選擇好利用基本不等式的切入點,并創(chuàng)造基本不等式的應用背景,如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧,改變原式的結構使其具備基本不等式的應用條件.利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件,三個條件缺一不可.
3.線性規(guī)劃問題的基本步驟
(1)定域——畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域,注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應;
(2)平移——畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l 19、,平行移動直線,讓其與平面區(qū)域有公共點,根據目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解,注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義;
(3)求值——利用直線方程構成的方程組求解最優(yōu)解的坐標,代入目標函數(shù),求出最值.
真題感悟
1.(2014·山東)已知實數(shù)x,y滿足ax 20、立.B中,當x=0,y=-1時,ln 1 21、與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P=3-,已知生產該產品還需投入成本(10+2P)萬元(不含促銷費用),產品的銷售價格定為(4+)萬元/萬件.則促銷費用投入
萬元時,廠家的利潤最大?( ?。?
A.1 B.1.5 C.2 D.3
答案 A
解析 設該產品的利潤為y萬元,由題意知,該產品售價為2×()萬元,所以y=2×()×P-10-2P-x=16--x(x>0),所以y=17-(+x+1)≤17-2=13(當且僅當=x+1,即x=1時取等號),所以促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大,故選A.
2.若點P(x,y) 22、滿足線性約束條件點A(3,),O為坐標原點,則·的最大值為________.
答案 6
解析 由題意,知=(3,),設=(x,y),則·=3x+y.
令z=3x+y,
如圖畫出不等式組所表示的可行域,
可知當直線y=-x+z經過點B時,z取得最大值.
由解得即B(1,),故z的最大值為3×1+×=6.
即·的最大值為6.
一、選擇題
1.(2014·四川)若a>b>0,c 23、B錯誤;
=-,=-,
所以<,
所以C錯誤.故選D.
2.下列不等式一定成立的是( ?。?
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
答案 C
解析 應用基本不等式:x,y>0,≥(當且僅當x=y(tǒng)時取等號)逐個分析,注意基本不等式的應用條件及取等號的條件.
當x>0時,x2+≥2·x·=x,
所以lg≥lg x(x>0),故選項A不正確;
運用基本不等式時需保證一正二定三相等,
而當x≠kπ,k∈Z時,sin x的正負不定,故選項B不正確;
由基本不等式 24、可知,選項C正確;
當x=0時,有=1,故選項D不正確.
3.(2013·重慶)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因a>0,所以不等式的解集為(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.
4.(2014·重慶)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是( )
A.6+2 25、 B.7+2 C.6+4 D.7+4
答案 D
解析 由題意得所以
又log4(3a+4b)=log2,
所以log4(3a+4b)=log4ab,
所以3a+4b=ab,故+=1.
所以a+b=(a+b)(+)=7++
≥7+2=7+4,
當且僅當=時取等號.故選D.
5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y-1的最大值為( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 約束條件所表示的區(qū)域如圖,
由圖可知,當目標函數(shù)過A(1,4)時取得最大值,故z=x 26、+2y-1的最大值為1+2×4-1=8.
二、填空題
6.已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點,則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________.
答案?。?,e2)
解析 ∵|f(1+ln x)|<1,
∴-1 27、3y過點A(a,a)時,z=2x+3y取得最大值5,所以5=2a+3a,解得a=1.
8.若點A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為________.
答案 +
解析 ∵點A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,
∴2m+n=2,
∵+=(+)=(2+++1)
≥(3+2)=+,
當且僅當=,即n=m時取等號,
∴+的最小值為+.
三、解答題
9.設集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的值域,集合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C??RA,求a的取值范圍.
解 28、 (1)由-x2-2x+8>0得-4 29、(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0 30、域為平面aOb上的三條直線:
2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所圍成的△ABC的內部,其三個頂點分別為
A,B(2,2),C(4,2).
z在這三點的值依次為,6,8.
所以z的取值范圍為(,8).
11.某工廠生產某種產品,每日的成本C(單位:萬元)與日產量x(單位:噸)滿足函數(shù)關系式C=3+x,每日的銷售額S(單位:萬元)與日產量x的函數(shù)關系式S=已知每日的利潤L=S-C,且當x=2時,L=3.
(1)求k的值;
(2)當日產量為多少噸時,每日的利潤可以達到最大,并求出最大值.
解?。?)由題意可得L=
因為當x=2時,L=3,所以3=2×2++2,
解 31、得k=18.
(2)當0 32、<
2.下列不等式一定成立的是 ( ?。?
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
3.關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于( ?。?
A. B. C. D.
4.若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是 ( ?。?
A.6+2 B.7+2 C.6+4 33、 D.7+4
5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y-1的最大值為 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6.已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點,則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________.
7.若x,y滿足條件且z=2x+3y的最大值是5,則實數(shù)a的值為________.
8.若點A(1,1)在直線2mx+ny-2=0上,其中mn>0,則+的最小值為________.
解答題
9.設集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的 34、值域,集合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C??RA,求a的取值范圍.
10.已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0
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