湘潭大學(xué) 劉任任版 離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案 習(xí)題17

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1、 第十七章（群） 1. 設(shè)是群，.試證： 證明：設(shè)是單位元（下同），直接根據(jù)定義即有： , 2. 試舉一個(gè)只有兩元素的群。 解：設(shè)，并且的單位元為0,則可以確定乘法表中的三個(gè)元素，00=0；01=1；10=1；由群的定義，任意元素都有逆元，0的逆元為0，1的逆元為1，因此11=0。因此乘法運(yùn)算有如下表： 0 1 0 0 1 1 1 0 易知，單位元，運(yùn)算滿足封閉性和結(jié)合律，且。 故是群。 3. 設(shè)的乘法表為 問：是否成為群？若不是群，結(jié)合律是否成立？有無單位元? 解：如果A是一個(gè)群，則

2、一定有單位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不變，而定義的乘法表不滿足此性質(zhì)。因此A無單位元，故A不成群。且,無結(jié)合律。 4. 設(shè)是群.試證：若對(duì)任何，均有，則是交換群. 證明：利用消去律，將各等式降階。 又 因此，, 于是， 得 , 再由(1)知，, 故有 . 5. 設(shè)是群.試證：若對(duì)任何，有，則是交換群。 證明：利用群的性質(zhì)(3),(4),對(duì)任意，有。故是交換群。 6. 設(shè)是群，是正整數(shù).試證：存在，使. 證明：任取。若，則和在中成對(duì)出現(xiàn)。注意到群的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)，因此，在中滿足即的元素個(gè)數(shù)也是偶數(shù)。但滿足. 故除之外，至少還有一個(gè), 使得 .

3、 7. 試證：1階群，2階群，3階群和4階群都是交換群，并構(gòu)造一個(gè)不是交換群的6階群. 證明：設(shè)至階群分別為 1) 顯然，是交換群。 2) 是交換群。 3) 對(duì)，若，則有，即, 從而 （矛盾）; 同理，若, 則有 （矛盾）。因此必有。又 故是交換群。 4) 對(duì)于。 (i) 若中兩個(gè)元素互為逆元，不妨設(shè)，則必有 且, 否則有或。同理可證 。 (ii) 若各自以自身為逆元，即，則必有 . 總之，是交換群。(其實(shí)可以用第5題的結(jié)論直接得出) 設(shè)。由上的所有3元置換所組成的集合對(duì)于置換的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。但它不是交換群，即

4、 8. 設(shè)是群，.試證： （1）有相同的周期； （2） 與 有相同的周期。 證明：（1） 因?yàn)閷?duì)任意整數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng) 。所以 的周期是無限的，當(dāng)且僅當(dāng) 的周期是無限的. 若的周期是（正數(shù)），則 的周期. 由對(duì)稱性有 . 因此，. 故與的周期相同。注意到，于是 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)。因此 與的周期相同。 （2） 由（1), 只須證對(duì)任意整數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng) . 當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。今設(shè)。則 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) . 再設(shè)。令，由上有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。注意到對(duì)任意, 當(dāng)且僅當(dāng)，于是 當(dāng)且僅當(dāng) . 故 當(dāng)且僅當(dāng) . 9. 設(shè)是群，令

5、 ，對(duì)任意 試證：是的子群.稱為的中心，的元素稱為的中心元素. 證明：任取,則對(duì)任意, 有，從而 因此，.故是的子群. 10. 設(shè)是一個(gè)群，且，和的周期分別為和，與互質(zhì)，證明：的周期等于. 分析：設(shè)周期為，利用定理17.2.5(2)，分兩步分別證明,. 證明：設(shè)的周期為。由 得 。于是 (定理17.2.5)。又。令。設(shè)的周期為. (定理17.2.5). 又 , 于是，。但,故 .從而 于是，有 。即,而 ，因此，, 故 . 11. 設(shè)是群的一個(gè)元素，其周期為是的子群，試證：如果，且與互質(zhì).則. 分析：因?yàn)?，互質(zhì)，利用整除性質(zhì)，見書定理16.1.3，易證. 證明：因?yàn)?/p>

6、,所以存在整數(shù)使得 .于是 . 但, 是的子群. 故 . 12. 設(shè)是群，且，和的周期分別為和.試證：若，則的周期等于與的最小公倍數(shù). 分析：設(shè)的周期為，和的最小公倍數(shù)為，要證明,只需證明，即可。利用定理17.2.5易證；利用整除的基本性質(zhì)，定理16.1.1，分別可以將表示成,的倍數(shù)與余數(shù)之和，利用，可得,即是,的倍數(shù)，. 證明（一）：設(shè)和的最小公倍數(shù)為。的周期為。因?yàn)?, 所以，，從而 . 又設(shè) 因?yàn)?，所以 。又，因此，，從而，。于是 , 即 。因此 . 故 . 證明（二）：設(shè)的周期為。 因?yàn)榍?，所?（否則，，從而得。此與的假設(shè)矛盾）。于是，，即是和的公倍數(shù)。若的最小公倍數(shù)

7、不是而是，則，且 此與的假設(shè)矛盾。得證。 13. 設(shè)是一個(gè)群，且，的周期為質(zhì)數(shù)，且.試證：. 分析：用反證法，則有非單位元，，利用為質(zhì)數(shù)，整除性質(zhì)有，容易推出矛盾。 證明：若,則存在 且, 即存在整數(shù)，使 且。因是質(zhì)數(shù)，所以存在整數(shù),使.于是，，即 , 矛盾。故 . 14. 寫出的群表. 解：設(shè) 于是，根據(jù)置換的乘法運(yùn)算規(guī)則，有 15. 證明：任何對(duì)換都是一個(gè)奇置換，又恒等置換是偶置換. 分析：根據(jù)對(duì)換的定義，命題17.3.4即可證。 證明：(1) 設(shè)為元對(duì)換，可分解成一些對(duì)換的乘積，顯然有，由命題17.3.4

8、可知，對(duì)換是一個(gè)奇置換。 (2) 設(shè)為元恒等置換，是元對(duì)換，顯然有，由命題17.3.4可知，對(duì)換是一個(gè)偶置換。 16. 設(shè)元置換，其中互不相交，且.試證：的周期（即滿足的最小正整數(shù)）等于的最小公倍數(shù). 分析：設(shè)周期為，最小公倍數(shù)為，根據(jù)定義易證；由互不相交，證。 證明：設(shè)的周期為. 的最小公倍數(shù)為。因互不相交，所以 . 于是 。另一方面，因?yàn)?且 互不相交，因此，。 于是，. 由最小公倍數(shù)的性質(zhì)知，,故 . 17. 設(shè) 是的兩個(gè)置換. （1）寫出的輪換表示，并求出和的周期. （2）計(jì)算. 解：(1) . 由題16有和的周期為。 (2)

9、 18. 試找出的所有子群. 解。設(shè) . 其子群有：, 19. 設(shè) 試判斷和是否是的子群，并說明理由. 解：因和均有限，且不難驗(yàn)證，和對(duì)乘法運(yùn)算均封閉。故由定理17.2.2知，和均為的子群。 20. 設(shè)和是群的子群，試證：是的子群當(dāng)且僅當(dāng). 分析：充分性證明分兩步，利用子群的性質(zhì)分別證明，；利用定理17.2.3證明是的子群。 證明：設(shè)是的子群。任

10、取, 有 。即存在 , 使， 于是，, 從而 。反之，任取 ,則 . 于是， 從而 。 總之， . 另一方面，設(shè).任取. 因是的子群。所以，. 又因。因此, 存在,使得 . 從而， 其中，。由定理17.2.3知，是的子群。 21. 設(shè)是群的子群，，試證：是的正規(guī)子群. 證明：因?yàn)? 所以H在G中只有兩個(gè)左陪集：和.也只有兩個(gè)右陪集:和.任取, 若，則.若， 則,故恒有.即H是G的正規(guī)子群。 22. 求對(duì)子群 的左陪集分解.稱為Klein四元群. 分析：根據(jù)定理17.3.2，的階為12，，，任意取，得左陪集，為另一左陪集。 解。令。共有三個(gè)

11、左陪集： 23. 證明：Klein四元群是的正規(guī)子群. 分析：利用22題結(jié)論，易證滿足正規(guī)子群定義17.4.4. 證明：注意到 因此，關(guān)于的左、右陪集分解相同，且此分解是一個(gè)等價(jià)類分解。所以，對(duì)任意，有, 其中 或或, 從而， ，故是的正規(guī)子群。 24. 設(shè)是群的子群.試證：在中的所有左陪集中恰有一個(gè)子群，即. 分析：利用群的性質(zhì)，是子群，則；如果陪集是子群，則有，由陪集的性質(zhì)5，可知。 證明：設(shè)是群的單位元。因，所以子群是的一個(gè)左陪集。若另有一個(gè)陪集也是的子群，則. 于是，. 由17.4節(jié)的性質(zhì)5知，。故結(jié)論成立。 25. 設(shè)是有限

12、群，是的子群，是的子群.試證：. 證明：由定理，有 , , 。于是，, 從而 26. 設(shè)是質(zhì)數(shù)，試證：階群中必含一個(gè)階子群，其中是正整數(shù). 分析：因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，階群的任意非單位元群的子群周期均可寫成。 證明：設(shè)是階群，任取。設(shè)的周期為，則，且。又因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，所以，. 若，則是階子群; 若，令, 則的周期為。 于是, 是階子群。 27. 設(shè)是群，.試證：. 分析：根據(jù)定義17.5.1即可證。 證明：顯然，是到上的復(fù)合映射，且對(duì)任意有 故 . 28. 設(shè)是群，，映射定義如下： 試證：是到的一個(gè)自同構(gòu). 分析：利用定義1

13、7.5.2，17.5.3，分別證明是到的同態(tài)，并且是雙射。 證明：對(duì)任意, 顯然 . 因此,是單射.又對(duì)任意, 有, 使. 故是滿射, 從而是到的雙射. 再任取.有 綜上可知, 是到的一個(gè)自同構(gòu). 29. 證明：循環(huán)群的同態(tài)象必是循環(huán)群. 分析：利用同態(tài)像的性質(zhì)以及循環(huán)群的定義可證。 證明：設(shè)是循環(huán)群，是生成元，是到的同態(tài)，且。令.于是，對(duì)任意，存在整數(shù)，使 這說明. 即是循環(huán)群。 30. 設(shè)群是的核，是的正規(guī)子群，并且.試證明： （第一同構(gòu)定理） 分析：利用定理17.4.2易證是的正規(guī)子群，由定理17.5.3知存在到的自

14、然同態(tài)，則有到的同態(tài)，利用同態(tài)定義17.5.4證明，根據(jù)定理17.5.4證明結(jié)論成立。 證明：先證是的正規(guī)子群。對(duì)任意有使。因?yàn)槭堑恼?guī)子群，所以，.于是, . 即 故是的正規(guī)子群。 設(shè)是到的自然同態(tài)。令.則～. 由 得 . 從而，由第三同態(tài)定理得 。 31. 設(shè)和都是群的正規(guī)子群，.由第一同構(gòu)定理證明： 分析：對(duì)照第一同構(gòu)定理形式，本題的證明關(guān)鍵是定義一個(gè)以為核的同態(tài)，令，容易驗(yàn)證滿足同態(tài)的性質(zhì)，并且。 證明：令.由不難知道, 是到的映射,且顯然是滿射。又, 對(duì)任意, 從而，. 同態(tài)核為： . 由第一同構(gòu)定理，得 . 32. 設(shè)是群的正規(guī)子群，是的任意子群，試證： （第二同構(gòu)定理） 分析：分別構(gòu)造兩個(gè)同態(tài)：到的滿同態(tài)以及到的同態(tài)；由子群的性質(zhì)是的正規(guī)子群，因此是自然同態(tài)。證明到的同態(tài)核，利用第三同態(tài)定理得證。 證明：可以證明是的子群，是的正規(guī)子群，顯然也是的正規(guī)子群。令 , . 不難驗(yàn)證，是到的滿同態(tài)。 又設(shè)是到的自然同態(tài)。于是，是從到的滿同態(tài)。并且，對(duì)任意 , 故. 由第三同態(tài)定理有，. 13