湖北省四校（宜昌一中 荊州中學(xué) 龍泉中學(xué) 襄陽四中）20132014學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）試卷 含答案

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1、荊州中學(xué)、龍泉中學(xué) 宜昌一中、襄陽四中 2013～2014學(xué)年度下學(xué)期 期中聯(lián)考 高二數(shù)學(xué)（理科） 命題學(xué)校：荊州中學(xué) 命題人：王書爽 審題人：鄢先進(jìn) 本試卷共4頁，共21題。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 ★ ?？荚図樌?★ 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷、草稿紙上無效。

2、 3．填空題和解答題的作答：用黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷、草稿紙上無效。 4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交。 第I卷 選擇題（共50分） —、選擇題 (本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1．橢圓的焦距比短軸長(zhǎng) ( ) A． B． C． D． 2．向量＝, ＝，若＝, 且，則的值為( ) A． B． C． D． 3．下列選項(xiàng)中，說法正確的是( ) A．若命題“”為真命題，則

3、命題p和命題q均為真命題； B．命題“若，則”的逆命題是真命題； C．命題“若，則” 的否命題是真命題； D．命題“若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底”的逆否命題為真命題； 4．一個(gè)質(zhì)量為的物體作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)距離（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系可用函數(shù)表示，并且物體的動(dòng)能，則物體開始運(yùn)動(dòng)后第時(shí)的動(dòng)能是( ) A． B． C． D． 5．下列命題中，真命題的是（ ） A．是的必要不充分條件 B．是的充分不必要條件 C．是的充要條件 D．是的必要不充分條件 A 第6題圖 C D B 6．如圖，已知

4、二面角為，點(diǎn)，，為垂足，點(diǎn)，，為垂足，且，，，則的長(zhǎng)度為 ( ) A． B． C． D． 7．設(shè)雙曲線C：的離心率為，則斜率為的直線與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是（ ） A． B． C． D． 8．曲線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線與軸、軸所圍成的三角形的面積為（ ） A． B． C． D． 9．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）

5、 A． B． C． D． F D A B C A1 B1 C1 D1 E G 第10題圖 10．已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線與，與．給出下列結(jié)論： ①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得； ②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得； ③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得； ④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 第II卷 非選擇題（共100分） 二、填空題(本大題共5小

6、題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置.) 11．命題“”的否定是 ． 第12題圖 12．右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米， 水位上升1米后，水面寬 米． 13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的的面積是 ． 14．為雙曲線右支上一點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)則的最小值為 . 15．已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．（寫出所有正確的序號(hào)） 三、解答題(本大題共6小題，滿分

7、75分.解答須寫出文字說明、證明過程和演箅步驟.) 16．（本小題滿分12分） 已知:“過定點(diǎn)的動(dòng)直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)”； ：“函數(shù)在上存在極值”； 若命題“且”是假命題，“或”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 17．（本小題滿分12分） A A1 D1 C1 C B D B1 第17題圖 如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，設(shè)，， （1）試用，，表示向量、； （2）若，求直線與所成的角. 18．（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)在軸的左側(cè)，且點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為. （

8、1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度. 19．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，為常數(shù)． （1）若，求函數(shù)在上的值域；（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，） （2）若函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 20．(本題滿分為13分) 如圖，已知矩形中，,為的中點(diǎn). 將沿折起，使得平面平面. （1）求證： ； （2）求與平面所成的角的正弦值； （3）若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角的余弦值為. A 第20題圖 21．（本小題滿分14分） 在橢圓中，過焦

9、點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦，叫做橢圓的通徑.如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，通徑長(zhǎng)為. （1）求橢圓的方程； （2）過的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)， （ⅰ）問在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 第21題圖 （ⅱ）延長(zhǎng) 交橢圓于點(diǎn)，分別為、的內(nèi)心，證明四邊形與的面積的比值恒為定值，并求出這個(gè)定值. 荊州中學(xué)、龍泉中學(xué) 宜昌一中、襄陽四中 2013～2014學(xué)年度下學(xué)期 期中聯(lián)考 高二

10、數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案 命題學(xué)校：荊州中學(xué) 命題人：王書爽 審題人：鄢先進(jìn) 一、 選擇題 1-5：DCDCD 6-10：BCBAC 二、 填空題 11、 12、 13、 14、8 15、②③⑥ 三、解答題 16、解：若為真， 則直線過的定點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，即 …3分 若為真，則有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根， 即得或 …………6分 由且為假，或?yàn)檎娴茫夯? …………10分 實(shí)數(shù)的取值范圍或

11、…………12分 17、解：（1）由向量的加減運(yùn)算法則知： …………4分 （2）由題意 …………7分 …………10分 即與所成的角為 …………12分 18、解： （1）依題意有：

12、 …………2分 平方化簡(jiǎn)得： ∴M點(diǎn)的軌跡方程為 …………4分 （2）設(shè)則， 即 …………8分 即線段的長(zhǎng)度為8 …………12分 19、 解：（1）由題意， 當(dāng)時(shí)， 在為減函數(shù)，為增函數(shù) …………4分

13、又 比較可得 的值域?yàn)? …………6分 （2）由題意得在恒成立 恒成立 …………8分 設(shè) 當(dāng)時(shí)恒成立 即實(shí)數(shù)的取值范圍是 …………12分 20、解：（1）由面平面.， 又在矩形中，連接知， 面平面=， 面， …………4分 （2）解法一：作交的延長(zhǎng)線于 由（1）知面，連 則為所求的線面角 ; 與面所成的角的正弦值為

14、 …………8分 解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則D z A B CC D E M x 面的法向量為；設(shè)與面所成的角為 與面所成的角的正弦值為 …………8分 （3）解：同（2）中建立空間直角坐標(biāo)系 面的法向量為 設(shè) 設(shè)面的法向量為 令 …………10分 由題意 解得： 即在中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為 …………13分 21、解：（1）由，得：又通徑長(zhǎng)為3，由代入橢圓方程得， 則，解得橢圓的方程為 …………4分 （2）（?。┘僭O(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). ①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)， 聯(lián)立方程 得 設(shè)， 則恒成立，，…………6分 所以 ， 因?yàn)榕c無關(guān)，則時(shí)， ②直線的斜率為0時(shí)，也成立 故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). …………10分 （ⅱ）橢圓的方程為，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則 ， 則，同理得，. 所以， 四邊形與的面積的比值為. …………14分 注：若考生有其他解法，請(qǐng)酌情給分。