全國高考文科數學試題及解析 全國卷I

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1、 2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（大綱卷） 數學（文科） 一．選擇題：每小題5分，共60分．在每小題給出的四個答案中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合，，，，則 A． B． C． D． 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了集合的概念，集合的包含關系的運用。 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四邊形，矩形是特殊的平行四邊形，可知集合是最小的，集合是最大的，故選答案B。 2．函數的反函數為 A． B． C． D． 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了反函數的求解，利用原函數反解，再互換得到結論，同時

2、也考查了函數值域的求法。 【解析】由，而，故 互換得到，故選答案A 3．若函數是偶函數，則 A． B． C． D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了偶函數的概念與三角函數圖像性質，。 【解析】由為偶函數可知，軸是函數圖像的對稱軸，而三角函數的對稱軸是在該函數取得最值時取得，故，而，故時，，故選答案C。 4．已知為第二象限角，，則 A． B． C． D． 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了同角三角函數關系式的運用以及正弦二倍角公式的運用。 【解析】因為為第二象限角，故，而，故，所以，故選答案A。 5．橢圓的中

3、心在原點，焦距為4，一條準線為，則該橢圓的方程為 A． B． C． D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質的運用。通過準線方程確定焦點位置，然后借助于焦距和準線求解參數，從而得到橢圓的方程。 【解析】因為，由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣，所以。故選答案C 6．已知數列的前項和為，，，則 A． B． C． D． 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了數列中由遞推公式求通項公式和數列求和的綜合運用。 【解析】由可知，當時得 當時，有 ① ② ①－②可得即，故該數列是從第二項起以為首項，以為公比的

4、等比數列，故數列通項公式為， 故當時， 當時，，故選答案B 7．6名選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有 A．240種 B．360種 C．480種　　　D．720種 答案C 【命題意圖】本試題考查了排列問題的運用。利用特殊元素優(yōu)先安排的原則分步完成得到結論。 【解析】甲先安排在除開始與結尾的位置還有個選擇，剩余的元素與位置進行全排列有，故不同的演講次序共有種。 8．已知正四棱柱中，，，為的中點，則直線與平面的距離為 A．2　　　　B．　　　　C．　　　　　D．1 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質的運用，以

5、及點到面的距離的求解。體現了轉換與化歸的思想的運用，以及線面平行的距離，轉化為點到面的距離即可。 【解析】因為底面的邊長為2，高為，且連接，得到交點為，連接，，則點到平面的距離等于到平面的距離，過點作，則即為所求，在三角形中，利用等面積法，可得，故選答案D。 9．中，邊的高為，若，，，，，則 A．　　　　　B．　　 C．　　　　　D． 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了向量的加減法幾何意義的運用，結合運用特殊直角三角形求解點D的位置的運用。 【解析】由可得，故，用等面積法求得，所以，故，故選答案D 10．已知為雙曲線的左，右焦點，點在上，，則 A．　　　B．　　　C．　　　

6、　　D． 答案C 【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由題意可知，，設，則，故，，利用余弦定理可得。 11．已知，，，則 A．　　　　　　B．　　　C．　　　　　　D． 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了對數、指數的比較大小的運用，采用中間值大小比較方法。 【解析】，，，故選答案D。 12．正方形的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形

7、的邊碰撞的次數為 A．8　　　B．6　　　C．4　　　　D．3 答案B 【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結合圖像分析反射的次數即可。 【解析】解：結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞8次即可。 二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上． 13．的展開式中的系數為　　　?。? 答案 【命題意圖】本試題主要考查了二項式定理展開式通項公式的運用。利用二項式系數相等，確定了的值，然后進一步借助

8、通項公式，得到項的系數。 【解析】根據已知條件可得展開式的通項公式為，令，故所求的系數為。 14．若函數，則的最小值為　　　　?。? 答案： 【命題意圖】本試題考查了線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解的運用。常規(guī)題型，只要正確作圖，表示出區(qū)域，然后借助于直線平移法得到最值。 【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當目標函數過點時，目標函數最大，當目標函數過點時最小為。] 15．當函數取最大值時，　　　?。? 答案： 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數性質的運用，求解值域的問題。首先化為單一三角函數，然后利用定義域求解角的范圍，從而結合三角函數圖像得到最值點。 【解析】由

9、 由可知 當且僅當即時取得最小值，時即取得最大值。 16．已知正方形中，分別為，的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為　　　?。? 答案 【命題意圖】本試題考查了正方體中的異面直線所成角的求解問題。 【解析】首先根據已知條件，連接，則由可知或其補角為異面直線與所成的角，設正方體的棱長為2，則可以求解得到，再由余弦定理可得。 三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分10分） 中，內角A．B．C成等差數列，其對邊滿足，求． 【命題意圖】： 本試題主要考查了解三角形的運用。該試題從整體看保持了往年的解題風格，依然是通過邊角的轉

10、換，結合了三角形的內角和定理的知識，以及正弦定理求解三角形中的角的問題。試題整體上比較穩(wěn)定，思路比較容易想，先利用等差數列得到角，然后利用正弦定理與三角求解運算得到答案。 【解析】由A．B．C成等差數列可得，而，故且 而由與正弦定理可得 所以可得 ，由，故 或，于是可得到或。 18．（本小題滿分12分） 已知數列中，，前項和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的通項公式． 【命題意圖】本試題主要考查了數列的通項公式與數列求和相結合的綜合運用。 解：（1）由與可得 ， 故所求的值分別為。 （2）當時，① ② ①－②可得即 故有 而，所以的通項公式為 【點評

11、】試題出題比較直接，沒有什么隱含的條件，只要充分發(fā)揮利用通項公式和前項和的關系式變形就可以得到結論。 19．（本小題滿分12分） D A B P C E 如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）設二面角為90°，求與平面所成角的大?。? 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應的垂直關系和長度，并加以證明和求解。 解：設,以為原點，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則設。 （Ⅰ）證明：由得， 所以，，，所以， 。所以,，所以平面； （Ⅱ） 設平

12、面的法向量為，又，由得，設平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。 所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角為. 【點評】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個側面垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是點的位置的選擇是一般的三等分點，這樣的解決對于學生來說就是比較有點難度的，因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好。 20．（本小題滿分12分） 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分．設在甲．乙的比

13、賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球． （Ⅰ）求開始第4次發(fā)球時，甲．乙的比分為1比2的概率； （Ⅱ）求開始第5次發(fā)球時，甲得分領先的概率． 【命題意圖】本試題主要是考查了關于獨立事件的概率的求解。首先要理解發(fā)球的具體情況，然后對于事件的情況分析，討論，并結合獨立事件的概率求解結論。 解：記為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1,2,3，則。 （Ⅰ）事件“開始第次發(fā)球時，甲、乙的比分為比”為，由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法公式得 。 即開始第次發(fā)球時，甲、乙的比分為比 （Ⅱ）五次發(fā)球甲領先時的比分有：這兩種情況 開始第5次

14、發(fā)球時比分為的概率為： 開始第5次發(fā)球時比分為的概率為： 故求開始第5次發(fā)球時，甲得分領先的概率為。 【點評】首先從試題的選材上來源于生活，同學們比較熟悉的背景，同時建立在該基礎上求解進行分類討論的思想的運用。情景比較親切，容易入手，但是在討論情況的時間，容易丟情況。 21．（本小題滿分12分） 已知函數． （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）設有兩個極值點，若過兩點，的直線與軸的交點在曲線上，求的值。 【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一問就是三次函數，通過求解導數求解單調區(qū)間。另外就是運用極值概念，求解參數值的運用。 解：（1）依題意可得 當即時，恒成立

15、，故，所以函數在上單調遞增； 當即時， 有兩個相異實根且 故由或，此時單調遞增 由，此時此時單調遞增遞減 綜上可知 當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在單調遞增，在單調遞減。 （2）由題設知，為方程的兩個根，故有 因此 同理 因此直線的方程為 設與軸的交點為，得 而 由題設知，點在曲線的上，故，解得或或 所以所求的值為或或。 【點評】試題分為兩問，題面比較簡單，給出的函數比較常規(guī)，這一點對于同學們來說沒有難度，但是解決的關鍵還是要看導數的符號對函數單調性的影響，求解函數的單調區(qū)間。第二問中，運用極值的問題，和直線方程的知識求解交點，得到參數的值。 22

16、．（本小題滿分12分） 已知拋物線C：與圓：有一個公共點，且在處兩曲線的切線為同一直線上． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設是異于且與及都切的兩條直線，的交點為，求到的距離。 【命題意圖】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點處的切線的運用，并在此基礎上求解點到直線的距離。 解：（1）設，對求導得，故直線的斜率，當時，不合題意，所心 圓心為，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）設為上一點，則在該點處的切線方程為即 若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得 求解可得 拋物線在點處的切線分別為，其方程分別為 ① ② ③ ②－③得，將代入②得，故 所以到直線的距離為。 【點評】該試題出題的角度不同于平常，因為涉及的是兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，把解析幾何和導數的工具性結合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學習也是一個需要練習的方向。