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1、1,第4章數值積分,2,1引言,1.數值求積的基本思想,依據微積分基本定理，對于積分,只要找到被積函數的原函數，便有下列牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,但對于下列情形：,3,（1）被積函數，諸如等等，找不到用初等函數表示的原函數；,（2）當是由測量或數值計算給出的一張數據表.這時，牛頓-萊布尼茨公式也不能直接運用.,因此有必要研究積分的數值計算問題.,由積分中值定理知，在積分區(qū)間內存在一點，成立,4,圖4-1,5,將稱為區(qū)間上的平均高度.,,是梯形公式(幾何意義參看圖4-2).,6,圖4-2,用區(qū)間中點的“高度”近似地取代平均高度，則又可導出所謂中矩形公式(簡稱矩形公式)
2、,,7,一般地，可以在區(qū)間上適當選取某些節(jié)點，,然后用加權平均得到平均高度的近似值，這樣,,式中稱為求積節(jié)點；稱為求積系數,亦稱伴隨節(jié)點的權.,權僅僅與節(jié)點的選取有關，,構造出的求積公式具有下列形式：,k,A,8,這類數值積分方法通常稱為機械求積，其特點是將積分求值問題歸結為函數值的計算，這就避開了牛頓-萊布尼茨公式需要尋求原函數的困難.,9,2.代數精度的概念,定義1,則稱該求積公式具有次代數精度.,梯形公式和矩形公式均具有一次代數精度.,數值求積是近似方法，為保證精度，自然希望求積公式對盡可能多的函數準確成立.,10,欲使求積公式具有次代數精度，則只要令它,對都準確成立，就得到,,11,如
3、果事先選定求積節(jié)點，譬如，以區(qū)間的等距分點作為節(jié)點，這時取，求解方程組即可確定求積系數，而使求積公式至少具有次代數精度.,構造求積公式，原則上是一個確定參數和的代數問題.,12,,例求a,b,c的值使下列求積公式的代數精度達到最高。,,13,3.插值型的求積公式,設給定一組節(jié)點,且已知函數在這些節(jié)點上的值，,作插值函數.,取,作為積分的近似值，,,這樣構造出的求積公式,14,稱為是插值型的，式中求積系數通過插值基函數積分得出,,由插值余項定理(第2章的定理2)即知，對于插值型的求積公式，其余項,式中與變量有關，,,15,余項為零，,16,定理1,注意到,上式右端實際上等于,因而,成立.,這樣，
4、有下面定理.,17,4.求積公式的收斂性與穩(wěn)定性,定義2,其中,在求積公式中，由于計算可能產生誤差，,實際得的將是，,即,在求積公式中，若,則稱求積公式(1.3)是收斂的.,記,18,如果對任給小正數,只要誤差充分小就有,,則表明求積公式計算是穩(wěn)定的，,由此給出下面定義.,定義3,就有成立，則稱求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,若,只要,,19,定理2,證明,取,若求積公式中系數,則此求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,都有,若對,則當時有,20,由定義3知，求積公式是穩(wěn)定的.,21,2牛頓-柯特斯公式,1.柯特斯系數,設將積分區(qū)間劃分為等分，,選取等距節(jié)點構造出的插值型求積公式,,稱為牛頓-柯特斯公式，,
5、式中稱為柯特斯系數.,引進變換,步長,則利用等距節(jié)點的,插值公式，有,22,,當時，,這時的求積公式就是梯形公式,23,當時，,相應的求積公式是辛普森(Simpson)公式,,柯特斯系數為,24,的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，,,這里,可構造柯特斯系數表.,其形式是,25,26,從柯特斯系數表看到時，柯特斯系數出現負值，,特別地，假定,于是有,且,則有,27,它表明初始數據誤差將會引起計算結果誤差增大，即計算不穩(wěn)定，故的牛頓-柯特斯公式是不用的.,28,2.偶階求積公式的代數精度,由定理1，階的牛頓-柯特斯公式至少具有次的代數精度.,先看辛普森公式，它是二階牛頓-柯特斯公式，因此至少具有二
6、次代數精度.,用進行檢驗，,本節(jié)討論代數精度的進一步提高問題.,按辛普森公式計算得,29,另一方面，直接求積得,這時有，,而它對通常是不準確的，,辛普森公式實際上具有三次代數精度.,因此，,定理3,30,證明,由于這里,引進變換并注意到有,按余項公式,有,31,因為被積函數,若為偶數，則為整數，,為奇函數，所以,再令,進一步有,32,3.幾種低階求積公式的余項,按余項公式，梯形公式的余項,這里積分的核函數在區(qū)間上保號(非正)，,,應用積分中值定理，在內存在一點使,，,33,,,34,3復化求積公式,復化求積的基本思想是把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間(通常是等分)，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式，目的
7、是提高精度.,1.復化梯形公式,分點,將區(qū)間劃分為等分，,,35,,記,稱為復化梯形公式.,,36,其余項,由于,且,所以使,于是復化梯形公式余項為,37,,誤差是階，,且當時有,即復化梯形公式是收斂的.,,38,此外，的求積系數為正，由定理2知復化梯形公式是穩(wěn)定的.,只要則當時，上式均收斂到積分所以復化梯形公式收斂.,將Tn改寫為,39,,對復化梯形公式，還有如果f(x)在a,b上有2r+2階連續(xù)導數，余項,,,40,,定義設,41,2.復化辛普森求積公式,記,,,,將區(qū)間分為n等分，,n=2m,xk=a+kh,k=0,,2m,在每個子區(qū)間x2k-2,x2k上用Simpson公式,,,42,
8、稱為復化辛普森求積公式.,,于是當時，,,與復化梯形公式相似有,誤差階為4，顯然是收斂的.,43,實際上，只要,則可得到收斂性，,即,此外，由于Sn中求積系數均為正數，故知復化辛普森公式計算穩(wěn)定,44,例2,對于函數，,給出的函數表,并估計誤差.,解,(見表4-2)，,計算積分,應用復化梯形法求得T8=0.9456909,試用復化梯形公式(及復化辛普森公式,將積分區(qū)間0,1劃分為8等分，,45,而如果將0,1分為4等分，應用復化辛普森法有S4=0.9460832,同積分的準確值I=0.9460831比較，,接下來看誤差估計，由于,所以有,46,于是,得復化梯形公式誤差,47,對復化辛普森公式，
9、,48,,,,49,4Richardson外推法,,,,也就是說用近似J的誤差價為，現在考慮利用構造一個新的計算公式，使誤差的價比高.,,50,,,,,51,,,52,5龍貝格求積公式,梯形法計算簡單但收斂慢，本節(jié)討論如何提高收斂速度以節(jié)省計算量.,根據復化梯形公式的余項表達式,53,,,54,,,55,若(預先給定的精度)，則終止計算，,并取,56,可以證明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值，即,對于不充分光滑的函數也可用龍貝格算法計算，,只是收斂慢一些，這時也可以直接使用復化辛普森公式計算.,57,例4,解,在上僅是一次連續(xù)可微，,用龍貝格算法計算積分,用龍貝格算法計算結果見表4-6.,58,從表中看到用龍貝格算到的精度與辛普森求積精度相當.這里的精確值為,
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