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1、
S??=?f?(n)、S??=?f?(a?)
ìS1?????? (n?=?1),
S???-?S
求數(shù)列通項公式用?an=?? n
三、求數(shù)列的通項公式
【知識點梳理】
1、已知 n n n
必修?5《數(shù)列》
í
n-1?????(n?3?2).
?a
-?a???=?f?(n)
2、已知
ì
í
n+1
a?=?a
1
n?求數(shù)列通項公式用迭
2、加法．
í n+1?=??f?(n)
???a
3、已知
ì??a?=?a
??a?1
n????????????求數(shù)列通項公式用迭乘法．
4、已知?a
n+1
=?pa?+?q
n
求數(shù)列通項公式
令??b???=?a
（1）可轉(zhuǎn)化為
a
n+1
-?a?=?p(a?-?a
n?n
n-1
n
)(?3?2)
n
n+1
-?a
n?，則?{bn}?成等比數(shù)列；
+?k}
（2）可轉(zhuǎn)化為
a
3、
n+1
+?k?=?p(a?+?k?)
n
a
，則?{
n
為等比數(shù)列．
5、已知形如?a?=
n
a
n-1????的遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式都可以用倒數(shù)法求通項．
ka?+?b
n-1
【典型例題】
【題型一：利用公式法求通項】
a
【例?1】已知?S?為數(shù)列?{
n
n
a
}的前?n?項和，求下列數(shù)列?{?}的通項公式：
n
S???=?2n?2?+?3n?-?1 S???=?2?n?+?1
（1） n ； （2） n
.
4、
第?1?頁?共?17?頁
a
【變式練習(xí)】已知?S?為數(shù)列?{
n
公式.
n
a
}的前?n?項和，?Sn?=?3an?+?2(n???N?+?,?n?3?2)?，求數(shù)列?{?}的通項
n
?Sn?-?Sn-1?(n?3?2)
【方法與技巧總結(jié)】
任何一個數(shù)列，它的前
n?項和?S?與通項?an?都存在關(guān)系：
n
5、
ìS?(n?=?1)
a?=í?1
n
若???1適合??a
a
n?，則把它們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示.
【題型二：應(yīng)用迭加（迭乘、迭代）法求通項】
a
【例?2】⑴已知數(shù)列?{
n
a
}中，?a1?=?2,?an?=?an-1?+?2n?-?1(n?3?2)?，求數(shù)列?{?}的通項公式；
n
{a?}滿足?a1?=?3?， n+1 n?+?1 n?，求?an?．
⑵已知數(shù)列
n
2?????????n
a?=?????a
6、
第?2?頁?共?17?頁
}滿足?a
2??????????? n?2?+?n
a
【變式練習(xí)?1】已知數(shù)列?{
n
1?=
1?????????????1
，?a?=?a?+
n+1?n
，求?a?．
n
a
【變式練習(xí)?2】已知數(shù)列?{
項公式.
n
a
}
7、中，?a1?=?2,?(n?+?2)an+1?-?(n?+?1)an?=?0(n???N?+?)?，求數(shù)列?{?}的通
n
【方法與技巧總結(jié)】
⑴迭加法適用于求遞推關(guān)系形如“
a
n+1
=?a?+?f?(n)
n
”；
迭乘法適用于求遞推關(guān)系形如“
a
n+1
=?a?×?f?(n)
n
“；
⑵迭加法、迭乘法公式：
①
a?=?(a?-?a
n?n
8、
n-1
)?+?(a
n-1
-?a
n-2
)?+?(a
n-2
-?a
n-3
)?+?L?+?(a?-?a?)?+?a
2?1?1
a
a a a a
②
a?=?an
n
n-1
a?a?a??a
×?n-1?×?n-2?×?L?×?3?×?2?×?a
1
n-2?n-3?2?1?????.
第?3?頁?共?17?頁
【題型三：用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）求通項】
1、形如?a
n+2
=?pa
9、n+1
+?qa?(其中?p，q?均為常數(shù))?的遞推數(shù)列．
n
a
【例?3】已知數(shù)列?{
n
a=?1,?a??=?3,?an+2?=?3an+1?-?2a
}滿足?a1???????2?????????????????????????n?(n???N?*?).?求數(shù)列?{??}的通項公式．
n
a
【變式練習(xí)】數(shù)列?{
n
}：?3an+2?-?5an+1?+?2an
10、=?0(n?3?0,?n???N?)
，?a1?=?a,?a2?=?b
a
，求數(shù)列?{?n}的
通項公式．
第?4?頁?共?17?頁
2、形如?a
n+1
列后，再求?a?．
n
=?ka?+?b（?k?,?b?為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k?的等比數(shù)
n
【解法】把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：a
n+1
+t?=?k?(a?+?t?)，其中t?=
11、
n
b
k?-?1
，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比
數(shù)列求解．
}中，?a
a
【例?4】已知數(shù)列?{
n
1?=?1?，?a
n+1
=?2a?+?3?，求?a?.
n?n
a???＋1（n∈N???+?），求數(shù)列?{a?}的通項公式.
2 n
a
【變式練習(xí)】已知數(shù)列?{
n
}中，a
1?＝3，a
n+1?＝
1
n
12、
第?5?頁?共?17?頁
3、形如?a
n+1
=?ka?+?bn+1?（?k?,?b?為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為?k?的等
n
比數(shù)列后，再求?a?．
n
【解法】該類型要復(fù)雜一些．一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以b?n?+1?，得：
a
b
n+1?=
n+1
k?a
n?+?1
b?bn
引入輔助數(shù)列?{b?}（其中?b
13、
n n?=
a
q
n?），得：?b??=
n?n+1
k
b
b?+?1?再應(yīng)用?a
n?n+1
=?ka?+?b?的方法解決．
n
}中，?a
a
【例?5】已知數(shù)列?{
n
1?=
5??????1?????1
,?a?=?a?+?(?)?n+1?，求?a?．
n+1
6??????3?n?2?n
【變式練習(xí)】已知?a?=?1,?a?=?3a
1 n n-
14、1
+?2n?，求?a?．
n
第?6?頁?共?17?頁
4、形如?a
n+1
=?pa?+?an?+?b?(?p?1?1且p?1?0，a?1?0)?的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比
n
為?p?的等比數(shù)列后，再求?a?．
n
【解法】即令?a
n+1
+?x(n?+?1)?+?y?=?p(a?+?xn?+?y)?，與已知遞推式比較，解出?x,?y?，從而轉(zhuǎn)化為
15、
n
a
{
n
+?xn?+?y}是公比為?p?的等比數(shù)列．
a
【例?6?】設(shè)數(shù)列?{
n
}：?a
1
=?4,?a?=?3a
n
n-1
+?2n?-?1,?(n?3?2)?，求?a?.
n
【變式練習(xí)】在數(shù)列{?an?}中，?a1?=2，?an+1?=?4an?-?3n?+?1?，求數(shù)列的通項?an?．
16、
第?7?頁?共?17?頁
【方法與技巧總結(jié)】
a
原數(shù)列?{
n
a
}既不等差，也不等比．若把{?}中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之
n
a???????????????????? a
n
等比，從而求出 ．該法適用于遞推式形如
n+1?=
ba?+?c
n
或
a
ba?+?f?(n)?a
n
n+1?=??????????或
n+1?=
ba?+?cn
17、
n
其
中?b、c?為不相等的常數(shù)，?f?(n?)
為一次式．
ka +?b
【題型四：形如?a?= an-1
n
n-1
的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項】
3?×?a
+?1 1
【例?7】?a?= an-1
n
n-1
,?a?=?1?，求?a?.
n
n??≠?，a??＝
n+1??＝???? （n∈N???+?），求?a???．
，a
2??????? 1?+?2a
18、a
【變式練習(xí)】已知數(shù)列?{
n
}中，a
0
1
1?a
n
n
n
第?8?頁?共?17?頁
【鞏固練習(xí)】
a
1．已知數(shù)列?{
n
a
}是等差數(shù)列，且?a1?=?2,?a1?+?a2?+?a3?=?12?，求數(shù)列?{?}的通項公式．
n
2．已知{a?}?的前?n
19、?項和滿足?log?(S?+?1)?=?n?+?1?，求?a?；
n 2 n n
3．?dāng)?shù)列{a?}?滿足?a?=?4,?S?+?S
n 1 n
n+1?=
5
a
3?n+1
，求?a?；
n
4．已知數(shù)列{a?}?滿足?a
n n+1
=?a?+?2?′?3n?+?1，a?=?3?，求數(shù)列{a?}?的通項公式．
n?1?n
20、
第?9?頁?共?17?頁
n+1??=??3n?-?1
5．已知?a?=?3?，?a
1
a
3n?+?2?n
(n?3?1)?，求?a?．
n
6．已知數(shù)列{a?}?滿足?a
n n+1
=?2a?+?3?′?2n?，?a?=?2?，求數(shù)列{a?}?的通項公式．
n?1?n
21、a
7．已知?S?為數(shù)列?{
n
n
a
}的前?n?項和，?a1?=?1?，?Sn?=?n?2?×?an?，求數(shù)列?{?}的通項公式.
n
第?10?頁?共?17?頁
a
8．已知數(shù)列?{
n
}中，a
1?=1，2a
n+1?=?a?n?+?a
n+2?，求?a?n?．
a
9．設(shè)數(shù)列?{
n
22、
}中，a
1?=2，a
n+1?=2a?n?+1，求通項公式?a?n?．
2?? ，n=2、3、4……，求?{a??}的通項公式．
10．設(shè)數(shù)列
a
{?}的首項?a1???(0,1)?，?a?n?=
n
3?-?a
n-1
n
第?11?頁?共?17?頁
{a?} a?=
23、?1,?a?=?a +?3n-1?(n?3?2)
n
11．已知數(shù)列 滿足 1 n n-1
，求?{an}的通項公式．
a
12．?dāng)?shù)列?{
n
a
}的前?n?項和為?Sn?，?a1?=1，?an+1?=?2Sn?(?n∈?N?*)，求?{
n
}的通項公式．
n?3?2?n???N?*?），求數(shù)列?an???的通項公式．
a
{?}
24、
13．已知數(shù)列 n 滿足
a?=
1
3
2?，且
a?=
n
2a
3na
n-1
+?n?-?1
n-1
（
{?}
第?12?頁?共?17?頁
14．設(shè)數(shù)列??{a?n}的前?n?項的和??S???=
3 n???3?????? 3?，?n?=?1,2,3? ．求首項??a
1?與通項??a
n
4????1??????2
a?-?′?2n+1
25、?+
n?．
【強化練習(xí)】
a
1．已知數(shù)列?{
n
}的前?n?項和?Sn?=?n2?-?9n?，則其通項?an?=
；若它的第?k?項滿足?5?
26、
（1） （2） （3） （4） （5）
第?13?頁?共?17?頁
3
3．?dāng)?shù)列{an}的前?n?項和?Sn=?1?(an－1)?(?n???N?*)．
(1)求?a1、a2；?(2)求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列．
{a?} a?=?1 T?=?a?a?a?LL?a?=?n?2 {a?}
n n 1 2 3 n
4．?dāng)?shù)列 中，?1 ， ，求 n 的通項公式．
a
5．
27、數(shù)列?{
n
}中，?a
1
=?8?，?a?=?2?，且滿足?a
4?n+2
-?2a
n+1
+?a?=?0?，
n
a
（1）求數(shù)列?{
n
}的通項公式；?（2）設(shè)?S?=|?a?|?+?|?a?|?+?+?|?a?|?，求?S?．
n?1?2?n?n
第?14?頁?共?17?頁
a
{?} a a?=?3a +?3n?-1
n
6．?dāng)?shù)列 中
28、，?1=5，且 n n-1
a
（n=2、3、4……），試求數(shù)列?{?n?}的通項公式．
7．已知數(shù)列{a?}?滿足?a
n
n+1
=?3a?+?2?′?3n?+?1，a?=?3?，求數(shù)列{a?}?的通項公式．
n?1?n
8．已知數(shù)列{a?}?滿足?a
n n+1
=?2a?+?3?′?5n，a?=?6?，求數(shù)列{a
n?1
}的通項公式．
29、
n
第?15?頁?共?17?頁
9．已知數(shù)列{a?}?滿足?a
n n+1
=?3a?+?5?′?2n?+?4，a?=?1，求數(shù)列{a?}?的通項公式．
n?1?n
=?4?-?a??-????1
a
10．已知數(shù)列?{
n
}前?n?項和?S
n
n?2?n-2?
30、.
(1)求?a
n+1
與?a?的關(guān)系；(2)求通項公式?a?.
n?n
第?16?頁?共?17?頁
a
11．已知數(shù)列?{?n?}中，?S
n
是其前?n?項和，并且?S
n+1
=?4a?+?2(n?=?1,2,??),?a?=?1
n?1
，
（1）設(shè)數(shù)列
b?=?a
n
n
31、+1
-?2a?(n?=?1,2,LL)
n
b
，求證：數(shù)列?{?n?}是等比數(shù)列；
2?n
{c?}
（2）設(shè)數(shù)列
c?=?a?n?,?(n?=?1,2,LL)
n
，求證：數(shù)列??n?是等差數(shù)列；
a
（3）求數(shù)列?{?n?}的通項公式及前?n?項和．
第?17?頁?共?17?頁
必修5 第二章《數(shù)列》2
