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1、數(shù)學物理方程,朱瑞 2011年2月18日,期末考試題之一：求解爆炸問題,期末考試題之二：逆向求解散熱問題,期末考試題之三：求解回形振動吸熱板的吸熱過程,數(shù)學物理方程,朱瑞 18號樓205 教材：數(shù)學物理方法梁昆淼 高等教育出版社 （第三版）。 內(nèi)容：教材第七章至第十二章。 答疑時間：隨時在我辦公室答疑，最好提前預約。 總成績：期末考試：70%；平時成績：30%. 關于課堂作業(yè),參考書,哈伯曼 (Haberman R). 實用偏微分方程. 英文版 第4版. 北京：機械工業(yè)出版社, 2005. Boas M L. Mathematical methods in the physical scien
2、ces. 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1983. 這兩本書都是英文的。我們圖書館都有。,中外教材比較,我們,美國麻省理工,大家想一想,質(zhì)點運動,偶極子產(chǎn)生的電場在空間的分布,擴散和熱傳導,觀看動畫,7.1 節(jié) 數(shù)學物理方程的導出,,數(shù)學物理方程,在以前的學習中，我們研究某個物理量（位移、電流）怎樣隨時間而變化。研究以時間為自變數(shù)的常微分方程（質(zhì)點的運動方程、電路微分方程） 研究某個物理量（電場強度、電勢、磁感應強度、聲壓、雜質(zhì)濃度）在空間的某個區(qū)域中的分布情況，以及它怎樣隨時間而變化。 這些問題中的自變數(shù)同時包括時間和空間坐標。,數(shù)
3、學物理定解問題,物理規(guī)律------偏微分方程（泛定方程） 解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和在時間中的變化規(guī)律。 環(huán)境影響------邊界條件（定解條件） 研究對象不能和環(huán)境割裂，“超距作用”不存在，環(huán)境影響通過邊界傳給研究對象。 歷史影響------初始條件（定解條件） 研究問題不能割斷歷史，歷史：即研究對象在某個所謂“初始”時刻的狀態(tài)，即初始條件。,適當舉例加以解釋,課堂作業(yè) 筆記 P66頁 (5 分鐘),求解兩端固定質(zhì)量不均勻細弦的微小橫振動，弦上不同位置的密度分布為 rou(x) 板書畫圖,數(shù)學物理方程的導出均勻弦的微小橫振動,均勻弦的微小橫振動基本物理問題
4、描述,繃緊的弦相鄰小段之間有拉力，這種拉力叫做弦中張力。 張力沿著弦的切線方向。 弦樂器的弦很輕，重力相對于弦內(nèi)張力很小，受力分析時可以忽略重力。,均勻弦的微小橫振動基本物理問題描述,沿著弦的方向稱為 縱向。 垂直于弦的方向稱為橫向。 討論微小橫振動問題，即假設弦沿縱向沒有運動和位移；沿橫向有微小的運動和位移。,均勻弦的微小橫振動,超越質(zhì)點問題和剛體問題，討論連續(xù)彈性體的運動方程,板書推導并講解,均勻弦的微小橫振動,對位置在 x 到 x+dx 之間的一小段弦進行受力分析，列出牛頓力學方程,均勻弦的微小橫振動,對位置在 x 到 x+dx 之間的一小段弦進行受力分析，列出牛頓力學方程,弦在x點的斜
5、率,均勻弦的微小橫振動,課堂作業(yè)（5分鐘）,推導勻質(zhì)糖葫蘆形狀桿的縱振動方程。 板書畫圖,均勻桿的縱振動,彈簧的運動我們怎樣研究？,彈性桿就是很硬的彈簧，即倔強系數(shù)很大的彈簧。,均勻桿的縱振動,均勻桿的縱振動,板書推導,均勻桿的縱振動,課堂作業(yè)（5分鐘）,在柱坐標系下求解熱傳導方程。 體元如何建立， 熱量流入體元通過的橫截面怎樣計算， 板書畫圖,熱傳導問題,熱傳導問題,,熱傳導定律：熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞，熱流強度q與高低溫度差的差值成正比，溫度變化越劇烈，熱流越大。,熱傳導定律,熱傳導問題,,能量守恒定律：單位時間內(nèi)流入單位體積內(nèi)的熱量等于該體積內(nèi)熱能的增量。,能量守恒定律,熱傳導問題
6、,板書推導,三維熱傳導問題,板書推導,振動方程,輸運方程,,,7.2 節(jié) 定解條件,,定解條件,得到這樣兩類方程，物理問題的解定下來了嗎？,數(shù)學物理定解問題,物理規(guī)律------偏微分方程（泛定方程） 解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和在時間中的變化規(guī)律。 環(huán)境影響------邊界條件（定解條件） 研究對象不能和環(huán)境割裂，“超距作用”不存在，環(huán)境影響通過邊界傳給研究對象。 歷史影響------初始條件（定解條件） 研究問題不能割斷歷史，歷史：即研究對象在某個所謂“初始”時刻的狀態(tài)，即初始條件。,適當舉例加以解釋,定解條件,從數(shù)學角度，微分方程的解存在待定常數(shù)，待定常數(shù)
7、由初始條件和邊界條件確定。例如：,人口密度分布,溫度分布,定解條件,對于輸運過程（擴散、熱傳導），初始狀態(tài)指的是所研究的物理量u的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件是：,已知函數(shù),定解條件,對于振動過程（弦、桿、膜的振動，較高頻率交變電流沿傳輸線傳播，聲振動和聲波，電磁波），只給出初始“位移”：,已知函數(shù),是不夠的，還需要給出初始“速度”：,已知函數(shù),定解條件,對于振動過程（弦、桿、膜的振動，較高頻率交變電流沿傳輸線傳播，聲振動和聲波，電磁波），只給出初始“位移”是不夠的，還需要給出初始“速度”：,觀看動畫,定解條件,從數(shù)學的角度看，就時間 t 這個自變數(shù)而言，輸運過程的泛
8、定方程只出現(xiàn)一階的導數(shù) ut ，是一階微分方程，所以只需一個初始條件；振動過程的泛定方程則出現(xiàn)二階的導數(shù) utt ，是二階微分方程，所以需要兩個初始條件。,振動方程,輸運方程,課堂作業(yè)（5 分鐘）,兩端固定弦的橫振動問題，將弦拉成半圓弧，保持靜止，釋放，讓弦自由振動，求這個定解問題的初始條件。 板書畫圖,初始條件應當給出整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)：,板書推導,初始條件應當給出整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)：,穩(wěn)定場問題 策動力驅(qū)動振動問題 可以看作沒有初始條件的問題,邊界條件,研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處的特定“環(huán)境”，而周圍環(huán)境的
9、影響體現(xiàn)為邊界上的物理狀況，即邊界條件。 從數(shù)學角度看，泛定方程出現(xiàn)關于空間位置的二階導數(shù) uxx ，所以需要兩個邊界條件。,什么是邊界？ 由連接研究對象和環(huán)境的所有點組成的物理區(qū)域 對于一維系統(tǒng)，它是兩個端點 對于二維系統(tǒng)，它是閉合曲線 對于三維系統(tǒng)，它是封閉曲面 要確定一個由數(shù)理方程描述的物理問題的解，必須給定所有邊界上的信息：確切說明邊界上的物理狀況,邊界條件,常見的線性邊界條件，數(shù)學上分為三類： 第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值。 第二類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值。 第三類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界
10、上的數(shù)值。,邊界條件,第一類,第二類,第三類,課堂作業(yè)（5 分鐘）,弦的縱振動問題，一端固定，另一端與一豎直彈簧相連，彈簧的另一端固定，求這個定解問題的邊界條件。 板書畫圖。 筆記 P66 頁。,具體的例子（第一類邊界條件）,弦的兩端固定而振動，邊界條件為,具體的例子（第一類邊界條件）,熱傳導問題，桿的兩端恒溫，邊界條件為,具體的例子（第二類邊界條件）,具體的例子（第二類邊界條件）,板書推導 筆記 P1 P2 頁,具體的例子（第二類邊界條件）,縱振動桿一端受沿外法向方向外力，根據(jù)胡克定律，邊界條件為,具體的例子（第二類邊界條件）,一端有已知熱流流入的熱傳導問題，根據(jù)熱傳導定律，邊界條件為,板書
11、推導,具體的例子（第三類邊界條件）,具體的例子（第三類邊界條件）,板書推導 筆記 P2 頁,具體的例子（第三類邊界條件）,桿的一端通過彈簧與固定點連接，經(jīng)過受力分析，邊界條件為,一個完整的定解問題的邊界條件可以是三類邊界條件的組合，例如：,一端固定另一端受力的桿的縱振動問題的完整邊界條件為（第一類和第二類邊界條件的組合）,一端恒溫，另一端有已知熱流的熱傳導問題的完整邊界條件為（第一類和第二類邊界條件的組合）,還有其他類型的邊界條件 邊界條件只要確切說明邊界上的物理狀況就行。 具體問題具體分析：把物理定律應用到邊界上，就能得到需要的邊界條件。,銜接條件,針對研究區(qū)域里的躍變點，泛定方程在躍變點失去意義,板書推導 筆記 P 23 頁,銜接條件,針對研究區(qū)域里的躍變點，泛定方程在躍變點失去意義,板書推導,
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