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1、3.4 兩個隨機變量函數(shù)的分布,,二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布,二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,和的分布,商的分布,最小值、最大值的分布,課堂練習(xí)、作業(yè),在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:,當(dāng)隨機變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) Z = g ( X, Y ) 的分布?,二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布,是一維離散型隨機變量 .,其分布律為,則,解 依題意,例1 若 X 和 Y 相互獨立,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布, 證明Z=X+Y服從參數(shù)為,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0
2、 , 1 , ,即Z服從參數(shù)為 的泊松分布.,我們還可以證明：如果X與Y相互獨立，且X b (n, p)， Y b (m, p)，則 X+Y b ( n+m, p).,證明 X+Y 的所有可能取值為 0，1，,m+n.,證畢,二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,是一維連續(xù)型隨機變量。,其分布函數(shù)為,是連續(xù)函數(shù)，,其分布密度函數(shù)為,則,解,概率密度函數(shù)為,所以，分布函數(shù)為：,下面我們重點討論連續(xù)型隨機變量的 三種函數(shù)的分布。,設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函數(shù)是:,它是直線 x+y =z
3、 及其左下方的半平面.,一、 的分布,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令 x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,,,,,,,,,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.,特別地，當(dāng) X 和 Y 獨立，設(shè) (X,Y) 關(guān)于 X , Y 的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.,卷積公式,例3 設(shè)X和Y相互獨立，且,解：,只有當(dāng),當(dāng),時，,U（0,1）,E(1)，,時，,求Z=X+Y的概
4、率密度。,由卷積公式,當(dāng),時，,當(dāng),時，,例4 若X和Y 是兩個相互獨立的隨機變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷積公式,令,得,可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,用類似的方法可以證明:,若X和Y 獨立,,結(jié)論又如何呢?,此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論.,若X和Y 獨立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 則Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,更一般地, 可以證明:,相互獨立，且,定理3.4.1 設(shè),,則,,二、商的分布,設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x
5、,y) ,求,的概率密度函數(shù)。,對任意實數(shù)Z，有分布函數(shù),所以概率密度為,特別若X，Y相互獨立得概率密度為,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設(shè) X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分 布函數(shù)分別為FX(x) 和 FY(y),我們來求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù).,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數(shù)為:,1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù),即有 FM(z)= FX(z)FY(z),,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(
6、z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù),,由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)為:,設(shè) X1,,Xn 是 n 個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來求 M=max(X1,,Xn) 和N=min(X1,,Xn)的分布函數(shù).,(i = 1, , n),用與二維時完全類似的方法，可得,N=min(X1,,Xn)的分布函數(shù)是,M=max(X1,,Xn)的分布函數(shù)為:,特別地，當(dāng)X1,,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有,例5 設(shè)系統(tǒng) L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng) 連
7、接而成,連接的方式分別為 (i) 串聯(lián), (ii) 并聯(lián), (iii) 備用 (當(dāng)系統(tǒng) 損壞時, 系統(tǒng) 開始工作) , 如下圖所示.設(shè) 的壽命分別為 已知它們的概率密度分別為,其中 且 試分別就以上三種連接方式寫出 的壽命 的概率密度.,解,(i) 串聯(lián)的情況,由于當(dāng)系統(tǒng) 中有一個損壞時, 系統(tǒng) L 就停止工作,,所以此時 L 的壽命為,因為 X，Y 的概率密度為,所以 X,Y 的分布函數(shù)為,于是 的分布函數(shù)為,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度為,(ii) 并聯(lián)的情況,由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 都損壞時, 系統(tǒng) L 才停止工作,,所以此時 L
8、 的壽命為,故 的分布函數(shù)為,于是 的概率密度為,(iii) 備用的情況,因此整個系統(tǒng) L 的壽命為,由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時, 系統(tǒng) 才開始工作,,當(dāng) z 0 時 ,,當(dāng) z 0 時 ,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即 時,,上述積分的被積函數(shù)不等于零.,故,,,,,于是 的概率密度為,設(shè),相互獨立，且分布函數(shù)均為,求,的分布函數(shù)。,解：,課堂練習(xí),為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為 0 的區(qū)域,若 X 和Y 獨立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷積公式,也即,,,,,,,,暫時固定,故,當(dāng) 或 時 ,,當(dāng) 時 ,,當(dāng),于是,時 ,,作業(yè)：,習(xí)題冊 練習(xí)3.4,
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