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1、連續(xù)函數的性質及初等函數的連續(xù)性
連續(xù)函數的性質
函數的和、積、商的連續(xù)性
我們通過函數在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結論：
a)：有限個在某點連續(xù)的函數的和是一個在該點連續(xù)的函數；
b)：有限個在某點連續(xù)的函數的乘積是一個在該點連續(xù)的函數；
c)：兩個在某點連續(xù)的函數的商是一個在該點連續(xù)的函數(分母在該點不為零)；
反函數的連續(xù)性
若函數在某區(qū)間上單調增(或單調減)且連續(xù)，那末它的反函數也在對應的區(qū)間上單調增(單調減)且連續(xù)
例：函數在閉區(qū)間上單調增且連續(xù)，故它的反函數在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調增且連續(xù)的。
復合函數的連續(xù)性
設函數當x→x0時的極
2、限存在且等于a，即：.而函數在點u=a連續(xù)，那末復合函數當x→x0時的極限也存在且等于.即：
例題：求
解答：
注：函數可看作與復合而成，且函數在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結論。
設函數在點x=x0連續(xù)，且，而函數在點u=u0連續(xù)，那末復合函數在點x=x0也是連續(xù)的
初等函數的連續(xù)性
通過前面我們所學的概念和性質，我們可得出以下結論：基本初等函數在它們的定義域內都是連續(xù)的；一切初等函數在其定義域內也都是連續(xù)的.
閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質
閉區(qū)間上的連續(xù)函數則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數有幾條重要的性質，下面我們來學習一下：
最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值。(在此不作證明)
?? 例：函數y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數值；則在點x=3π/2處，它的函數值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數值。
介值定理????在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定取得介于區(qū)間兩端點的函數值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使
????? 推論：?在閉區(qū)間連續(xù)的函數必取得介于最大值最小值之間的任何值。
2013年高中數學 暑期特獻 重要知識點 連續(xù)函數的性質及初等函數的連續(xù)性
