2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)3函數(shù)的概念及性質(zhì)

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1、考點(diǎn)3 函數(shù)的概念及性質(zhì) 1.（2010·陜西高考理科·Ｔ5）已知函數(shù)，若=4，則實(shí)數(shù)=（ ） （A） （B） (C) 2 (D) 9 【命題立意】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值問題，考查考生思維的邏輯性。 【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答】選C. 因?yàn)椋? 所以 2.（2010·廣東高考文科·Ｔ3）若函數(shù)f(x)=+與g(x)=的定義域均為R，則（ ） A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù) B．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù) C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù) D．f(x)為偶函數(shù)．

2、g(x)為奇函數(shù) 【命題立意】本題考查函數(shù)奇偶性的定義及判定。 【思路點(diǎn)撥】 因?yàn)槎x域均為R，所以只需研究與的關(guān)系和與的關(guān)系即 可判斷. 【規(guī)范解答】選D. 故選D 3.（2010·廣東高考理科·Ｔ3）若函數(shù)f（x）=3x+3-x與g（x）=3x-3-x的定義域均為R，則（ ） A．f（x）與g（x）均為偶函數(shù) B. f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù) A．f（x）與g（x）均為奇函數(shù) B. f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù) 【命題立意】本題考查函數(shù)奇偶性的定義及判定。 【思路點(diǎn)撥】 因?yàn)槎x域均為R，所

3、以只需研究與的關(guān)系和與的關(guān)系即可判斷. 【規(guī)范解答】選. 故選 4.(2010·安徽高考理科·Ｔ4）若是上周期為5的奇函數(shù)，且滿足， 則（ ） A、－1 B、1 C、－2 D、2 【命題立意】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性，考查考生的化歸轉(zhuǎn)化能力。 【思路點(diǎn)撥】是上周期為5的奇函數(shù)求， 【規(guī)范解答】選A，由題意 故A正確 5.（2010 ·海南高考理科·T8）設(shè)偶函數(shù)滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用. 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)

4、的簡(jiǎn)圖，然后再利用對(duì)稱性和單調(diào)性列出相關(guān)不等式求解. 【規(guī)范解答】選Ｂ.因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，若，需滿足，得或，故選Ｂ. 6.（2010·山東高考文科·Ｔ5）設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=+2x+b(b為常數(shù))，則f(-1)= （ ） (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 【命題立意】本題考查函數(shù)的奇偶性, 考查考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出b的值，再求出，最后根據(jù)與的關(guān)系求出. 【規(guī)范解答】 選A，

5、因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù),所以有,解得,所以當(dāng)時(shí), ,即,故選A. 7.（2010·山東高考理科·Ｔ4）設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=+2x+b(b為常數(shù))，則f(-1)= （ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【命題立意】本題考查函數(shù)的奇偶性, 考查了考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出b的值，再求出，最后根據(jù)與的關(guān)系求出。 【規(guī)范解答】 選D，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù),所以有,解得,所以當(dāng)時(shí), ,即,故選D.

6、 8.（2010·天津高考文科·Ｔ１0）設(shè)函數(shù)，則的值域是（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想。 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)特設(shè)求分段函數(shù)中各段的x的范圍，再求函數(shù)的值域。 【規(guī)范解答】選D,由可得，由，即時(shí)， 由得圖像可得： 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 所以的值域?yàn)?，故選D。 9. （2010·湖南高考理科·Ｔ4）用表示a，b兩數(shù)中的最小值。若函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱，則t的值為（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【命題立意】以新定義為出發(fā)點(diǎn)考查學(xué)生的接受能力，以分段函數(shù)為依

7、托，以函數(shù)圖象為明線，以函數(shù)對(duì)稱性為暗線，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.同時(shí)也考查了學(xué)生避繁就簡(jiǎn)快速捕捉信息的能力. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意寫出分段函數(shù)，作出已知函數(shù)y=|x|的圖象，再平移y=|x+t|的圖象使得整個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱. 【規(guī)范解答】選D.由定義得到分段函數(shù)，作出函數(shù)y=|x|在R上的圖象，由于函數(shù)y=|x+t|的圖象是由y=|x|的圖象平行移動(dòng)而得到，向右移動(dòng)顯然不滿足條件關(guān)于x=-對(duì)稱，因此向左移動(dòng)，移動(dòng)到兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)為(-,)，把點(diǎn)(-,)代入y=|x+t|得到t=0或t=1,t=0顯然不成立，因此t=1. 【方法技巧】一個(gè)函數(shù)有多段，或者是多個(gè)函數(shù)的圖象

8、的處理，常常先定后動(dòng)，先曲后直. 10.（2010·陜西高考文科·Ｔ１3）已知函數(shù)f（x）＝，若f（f（0））＝4a，則實(shí)數(shù)a＝ . 【命題立意】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值問題，考查考生思維的邏輯性。 【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答】因?yàn)?，所? 【答案】2 11.（2010·江蘇高考·Ｔ11）已知函數(shù),則滿足不等式的x的取值范圍是_____。 【命題立意】本題考查分段函數(shù)的圖像、單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化的思想。 X Y 1 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)的圖像以及的條件，可以得出與之間的大小關(guān)系，進(jìn)而求解x的取值范圍. 【規(guī)范解答】畫出,的圖象， 由圖像可知，若， 則，

9、即，得 【答案】 12.（2010·江蘇高考·Ｔ5）設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_______________ 【命題立意】本題考查函數(shù)的奇偶性的知識(shí)。 【思路點(diǎn)撥】奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，若y=g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，則g(0)=0，進(jìn)而求得a. 【規(guī)范解答】 【答案】-1 13.（2010·天津高考文科·Ｔ１6）設(shè)函數(shù)f(x)=x-,對(duì)任意x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________ 【命題立意】考查函數(shù)的性質(zhì)、恒成立問題以及分類討論的思想方法。 【思路點(diǎn)撥】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。 【規(guī)范解答】，顯然

10、， （1）當(dāng)m>0時(shí)，，因?yàn)闊o最大值，故此式不成立。 （2）當(dāng)m<0時(shí)，， 因?yàn)榈淖钚≈禐?，故 綜上m的取值范圍是 【答案】 【方法技巧】求解恒成立問題時(shí)，可構(gòu)造我們熟悉的函數(shù)類型，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題，求解時(shí)經(jīng)常要應(yīng)用變量分離的方法，應(yīng)用這一方法的關(guān)鍵是分清參數(shù)與變量。 14.（2010·福建高考理科·Ｔ15）已知定義域?yàn)椋?，+ ）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意 x （0，+ ），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x （1，2]時(shí)，。給出如下結(jié)論： ① 對(duì)任意m Z，有f()= 0; ② 函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0, + ); ③ 存在n Z，使

11、得f（）=9； ④ “函數(shù)f（x）在區(qū)間（a、b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k Z，使得（a、b）”。 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 。 【命題立意】本題通過抽象函數(shù)，考查函數(shù)的周期性、單調(diào)性，考查考生的綜合分析、解題能力。 【思路點(diǎn)撥】把問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間進(jìn)行求解。 【規(guī)范解答】對(duì)于①，，又，，所以①正確； 對(duì)于②，當(dāng) 時(shí)， ，又，，，所以當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，所以②正確； 對(duì)于③，當(dāng)，又當(dāng)時(shí)，，，由得，不存在使得，所以③不正確； 對(duì)于④，（1）：因?yàn)楫?dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（2）：（反證法）若，設(shè)，。因?yàn)閱握{(diào)遞減，恒成立，但是上式不恒成立，所以這

12、與假設(shè)矛盾，所以；所以④正確； 【答案】 15.（2010·廣東高考文科·Ｔ20）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，其中常數(shù)為負(fù)數(shù)，且在區(qū)間上有表達(dá)式. （1）求，的值； （2）寫出在上的表達(dá)式，并討論函數(shù)在上的單調(diào)性； （3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值. 【命題立意】本題為函數(shù)綜合題，主要考察函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用. 【思路點(diǎn)撥】求出的值求出，的值寫出在上的表達(dá)式求出在上的最小值與最大值. 【規(guī)范解答】（1）∵，且在區(qū)間[0,2]時(shí) ∴ 由得 ∴ （2）若，則 ∴當(dāng)時(shí)， 若，則 ∴ ∴ 若，則 ∴

13、∴ ∵ ∴當(dāng)時(shí)， ∵,∴當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的圖象可知，為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的圖象可知，為增函數(shù)。 （3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，最大值和最小值必在或處取得。（可畫圖分析） ∵，，， ∴當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，. 16.（2010·湖南高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在[a,-a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由

14、 【命題立意】以復(fù)雜函數(shù)和分段函數(shù)為依托考查學(xué)生用導(dǎo)數(shù)處理問題的能力。 【思路點(diǎn)撥】在（1）中先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性。在（2）中對(duì)分段函數(shù)的分析，先對(duì)每一段進(jìn)行處理，再注意分界點(diǎn)。 【規(guī)范解答】(1) 的定義域?yàn)椋?，+∞）. . 1.若-10；當(dāng)-a1時(shí)，>0,故分別在（0，-a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減 2.若a<1，仿(1)可得分別在（0，1），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減。 (2) 存在a，使在[a,-a]上為減函數(shù)。事實(shí)上，設(shè) 則 再設(shè)，則當(dāng)在[a,-a

15、]上單調(diào)遞減時(shí)， 必在[a,0]上單調(diào)遞減，所以，由于ex＞0，因此m(a)≤0，而m(a)=a2(a+2)，所以a≤-2， 此時(shí)顯然有：在[a,-a] 上為減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)在[1,-a]上為減函數(shù)，在[a,-1]上 為減函數(shù)且≥e·. 由(1)可知，當(dāng)a≤2時(shí)，在[1,-a]上為減函數(shù)。 ① 又≥e·4a2+13a+3≤0-3≤a≤-。 ② 不難知道， 因 令=0，則x=a，或x=-2，而a≤-2，于是 1. 當(dāng)a＜-2時(shí)，若a＜x＜-2，則＞0；若-2＜x＜1，則＜0，因而在(a,-2)上單調(diào)遞增，在（-2，1）上單調(diào)遞減。 2.當(dāng)a=-2時(shí)，≤0在（-2

16、，1）上單調(diào)遞減。 綜合1>、2>可知，當(dāng)a≤-2時(shí)，在[a,1]上的最大值為 所以，≤0m(-2)≤0a≤2 . ③ 又對(duì)，≤0只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得，亦即=0只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得， 因此，當(dāng)a≤-2時(shí)，在[a,1]上為減函數(shù)。從而由①②③知，-3≤a≤-2 綜上所述，存在a，使在[a,-a]上為減函數(shù)，且a的取值范圍是[-3,-2]. 【方法技巧】函數(shù)的單調(diào)性研究是高考中重點(diǎn)也是難點(diǎn)。解題的思路是：首先看函數(shù)的類型，如果是基本函數(shù)，常常記住函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；如果是復(fù)雜函數(shù)，常常利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究；如果是抽象函數(shù)，常常利用定義解決，或者借助圖象，或者用具體函數(shù)代替處理。