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1、第一章時域離散信號和時域離散系統(tǒng),內(nèi)容提要,離散時間信號和離散時間系統(tǒng)的基本概念 序列的表示法和基本類型 用卷積和表示的線性非移變系統(tǒng) 討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性問題 線性常系數(shù)差分方程 介紹描述系統(tǒng)的幾個重要方式 模擬信號數(shù)字處理方法 討論了模擬信號、取樣信號和離散時間信號(數(shù)字序列)的頻譜之間的關(guān)系 介紹了離散時間信號的取樣、抽取和內(nèi)插等基本概念,1.1 引言,本書研究的對象是數(shù)字信號的分析和處理。 信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數(shù)，本書中看作時間的函數(shù)； 信號通常分為兩大類；連續(xù)時間信號和離散時間信號。 如果信號在 整個連續(xù)時間集合上都是有定義的，那么這種信號被稱為連續(xù)時間信號。 通
2、常把時間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號稱為模擬信號。 時間離散、 幅度也離散的信號被稱為數(shù)字信號。,系統(tǒng),系統(tǒng)的作用是把信號變換成某種更合乎要求的形式。 輸入和輸出都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)被稱為連續(xù)時間系統(tǒng)； 輸入和輸出都是離散時間信號 的系統(tǒng)被稱為離散時間系統(tǒng)； 輸入和輸出都是模擬信號的系統(tǒng)被稱為模擬系統(tǒng)； 輸入和輸出 都是數(shù)字信號的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系統(tǒng)。,本章的研究內(nèi)容：,學(xué)習(xí)時域離散信號的表示方法和典型信號； 線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性、以及系統(tǒng)的輸入輸出描述法； 線性常系數(shù)差分方程的解法； 模擬信號的數(shù)字處理方法介紹。,1. 2時域離散信號,在離散時間系統(tǒng)中，信號要用離散時間的數(shù)字序列來表示。
3、,模擬信號經(jīng)采樣后得,略去T記為,,,1.2.1常用的典型 序列,1單位取樣序列(離散沖激),2單位階躍序列,,與,之間的關(guān)系：,任一序列均可表示成 的線性組合,3矩形序列,矩形序列可用單位階躍表示,4實指數(shù)序列,當(dāng)n<0，x(n)0時，上式可表示為,圖1.2.4表示0
4、為周期序列，其周期為,,（其中N，k為整數(shù)）,7. 周期序列:,定義：如果存在一個整數(shù)N，使 則稱x(n)為周期序列，記為 ，其最小周期為N,15,,(1)當(dāng) 為整數(shù)時，正弦序列為周期序列，其周期 為,(2)當(dāng) 為有理數(shù)時P/Q，正弦序列為周期序列，周期為 P,(3)當(dāng) 為無理數(shù)時，則任何整數(shù)k都不能使N為整數(shù)， 這時正弦序列不是周期序列。,,,例：已知 ， 求其周期 解：依定義 ，令 即：,17,,注：任意序列可用單位序列表示為,序列乘以常數(shù) 兩序列相加、相乘 序列移位,1.2.2序列運算,,,序列的翻轉(zhuǎn)和尺度變換,1.3 時域離散系統(tǒng),系
5、統(tǒng)定義： 系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T表示，即y(n)=Tx(n)。,滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)y1(n)和y2(n)分別是系統(tǒng)對輸入x1(n)和x2(n)的響應(yīng)，即：,1.3.1線性系統(tǒng),若系統(tǒng)滿足：,則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。其中的a 和b為不同時等于零的常數(shù),,23,,證明 所代表的系統(tǒng)為線性系統(tǒng),說明：時不變指系統(tǒng)的特性不隨時間改變。 離散時間的情況下，“移不變”特性就是“時不變”特性。,1.3.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）,例：判斷以下系統(tǒng)是否是移不變系統(tǒng) （1） y(n)=kx(n) ; (2) y(n)=nx(n) 解：（1）y
6、(n)=Tx(n)=kx(n); y(n-n0)=kx(n -n0)=Tx (n -n0), 為移不變系統(tǒng)； （2） y(n)=Tx(n)=nx(n); y(n -n0)=（n-n0) x(n -n0) Tx (n -n0)=nx(n -n0) 為移變系統(tǒng),若一系統(tǒng)滿足：y(n)=Tx(n) 且 y(n-n0)=Tx(n-n0),則該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。,25,證明 所代表的系統(tǒng)為時變系統(tǒng),既滿足疊加原理，又滿足非移變條件的系統(tǒng)，被稱為線性非移變系統(tǒng)。 線性非移變系統(tǒng)的一個重要特性，是它的輸出等于輸入序列與系統(tǒng)單位序列響應(yīng)的線性卷積關(guān)系。,,,1.3.3 線性時不變系
7、統(tǒng)及輸入與輸出的關(guān)系,1. 單位取樣響應(yīng)或單位沖激響應(yīng),當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖序列(n) 時，其輸出h(n)為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) ，即：,h(n)代表了系統(tǒng)的特征，系統(tǒng)可以用其單位取樣響應(yīng)表征,h(n) =T(n) (1.3.6),通常把式(1.3.7)稱為離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號“*”表示，即：,2. LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的關(guān)系,當(dāng)任意序列x(n)可表述為,3. 離散卷積滿足以下運算規(guī)律： (1)交換律,(2)結(jié)合律,(3)分配律,31,(4) 與單位序列的卷積,離散卷積的計算,計算它們的卷積的步驟如下： (1)折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸k上畫出x(k)和h(k)，將h
8、(k)以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成 h(-k)。 (2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當(dāng)n為正數(shù)時，右移n；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時，左移(-n)。 (3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應(yīng)取樣值相乘,產(chǎn)生一新的序列。 (4)相加：把新序列各離散點的值累加起來，即得y(n)。,,,（1）充分性,證明：,（2）必要性,證明,（1）充分性,（2）必要性,例1.3.6已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為,解： (1) 因果性,(2)穩(wěn)定性,因為在n<0時，u(n)=0, 所以h(n)=0，故該系統(tǒng)為因果系統(tǒng),1.4 時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程,一個離散LTI系統(tǒng)的特性除了可用單位序
9、列響應(yīng)來描述外，還可以用差分方程來描述。對于線性時不變系統(tǒng)，經(jīng)常用線性常系數(shù)差分方程來描述。,線性常系數(shù)差分方程的一般形式為：,N為差分方程的階數(shù)。 將方程(1.4.1)稍加變換后得：,該式說明，系統(tǒng)在某時刻n的輸出值y(n)不僅與該時刻的輸入x(n)、過去時刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關(guān)，還與該時刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關(guān)。,1.4.1 線性常系數(shù)差分方程,,,二. 用差分方程描述系統(tǒng)舉例,差分方程的最大用途是它直接描述了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 無反饋型(有限沖積響應(yīng))：,有反饋型(無限沖積響應(yīng))：,差分方程的特點,采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計算機(jī)實現(xiàn)。 但差分
10、方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。 實際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)。,1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的求解 （1）經(jīng)典解法；（詳見信號與系統(tǒng)第三章） （2）迭推（代）解法；（舉例） （3）變換域方法（本書第二章再詳細(xì)介紹）,,1.5模擬信號數(shù)字處理方法 研究內(nèi)容： （1）信號被抽樣后其頻譜將會有什么變化？ （2）在什么條件下，可從抽樣數(shù)據(jù)信號 中不失真地恢復(fù)出原來信號xa(t)?,圖1.5.1 模擬信號數(shù)字處理方框圖,1.5.1采樣定理及A/D變換器 一、采樣 就是利用周期性抽樣脈沖序列p(t),從連續(xù)信號xa(t)中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號（或稱抽樣數(shù)據(jù)信號）即離散時
11、間信號，以 表示。抽樣是模擬信號數(shù)字化的第一環(huán)節(jié)，再經(jīng)幅度量化編碼（ADC）后即得到數(shù)字信號x(n),2.實際抽樣與理想抽樣,二、采樣信號 單位沖激函數(shù)串,采樣是模擬信號與沖激函數(shù)相乘的結(jié)果，即：,T為采樣周期，即,三、采樣信號的頻譜,結(jié)論：采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進(jìn)行周期延拓形成的。,,,,,,結(jié)論：采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進(jìn)行周期延拓形成的。,四、采樣恢復(fù),五、采樣定理,(1)采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期，進(jìn)行周期延拓形成的。 (2)要想在信號恢復(fù)過程中不產(chǎn)生混疊失真，必須使模擬信號的頻帶是有限的，且取樣頻率滿足
12、 ，式中 為模擬信號的最高頻率成分。否則會造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真恢復(fù)原連續(xù)信號。,稱 為奈奎斯特頻率 。,稱 為折疊頻率,為奈奎斯特頻率,六、A/D轉(zhuǎn)換器,采樣,A/D轉(zhuǎn)換器的原理框圖,,量化編碼,,,說明：A/D轉(zhuǎn)換器的量化誤差與量化效應(yīng),例：,設(shè)：,當(dāng)： 時得到序列(周期N=4）,按照M=6進(jìn)行量化編碼得到數(shù)字序列：,1.5.2 將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號（信號重建）,先決條件取樣過程中不存在混疊失真,設(shè)計一個低通濾波器，其頻率特性為,就可得到原信號的頻譜：,在作傅立葉反變換可得到原信號,理論上通過理想LPF恢復(fù),信號的內(nèi)插恢復(fù)從時域進(jìn)行分析 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：,討 論,1.在本取樣點，即t=nT時，內(nèi)插函數(shù)值為1，其余取樣點的值都為0，在取樣點之間的值不為0，如左圖所示。 2.這樣被恢復(fù)信號 在取樣點的值恰好等于原來連續(xù)信號在取樣信號t=nT的值，而取樣點之間的部分由各內(nèi)插函數(shù)的波形疊加形成。,波形恢復(fù)舉例,實際的D/A轉(zhuǎn)換器,解碼,,,零階保持器,平滑濾波器,,,D/A轉(zhuǎn)換器的方框圖,,作業(yè)：(page.2527),第13題 第5題(1)、(5)、(8)小題 第6題(1)、(3)、(5)小題 第7題 第8題 第12題,
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