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1、山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)概念 理
題型二 導(dǎo)數(shù)的運算
例2 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=ex·ln x;(2)y=x;
(3)y=x-sin cos ;(4)y=(+1).
探究提高 (1)求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運算量,提高運算速度,減少差錯;(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式,但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡,然后進(jìn)行求導(dǎo),有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則,減少運算量.
變式訓(xùn)練2求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=-si
2、n ;(4)y=+;
(5)y=.
題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例3 已知曲線y=x3+.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程;
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程;
(3)求斜率為1的曲線的切線方程.
探究提高 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題,一定要熟練掌握以下條件:
(1)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率.即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率,已知斜率可求切點的坐標(biāo).
(2)切點既在曲線上,又在切線上.切線有可能和曲線還有其它的公共點.
變式訓(xùn)練3已知拋物線y=ax2+bx+c通過點P(1,1),且在點Q(2,-1)處與直線y=x-3相切,求實數(shù)a、b、c的值.
審題路線
3、:
試題:設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖像為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖像為C2,已知過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直.
(1)求a,b之間的關(guān)系;
(2)求ab的最大值.
審題路線圖
C1與C2有交點
↓(可設(shè)C1與C2的交點為(x0,y0))
過交點的兩切線互相垂直
↓(切線垂直隱含著斜率間的關(guān)系)
兩切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)
↓(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)
利用導(dǎo)數(shù)求兩切線的斜率:
k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓(等價轉(zhuǎn)換)
(2x0-2)(-2x0+a)=-1 ①
↓ (交點(x0,y0)適合解析式)
,即2x-(a+
4、2)x0+2-b=0 ②
↓(注意隱含條件方程①②同解)
a+b=
↓(消元)
ab=a=-2+
↓當(dāng)a=時,ab最大且最大值為.
方法與技巧
1.在對導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時,特別要注意f′(x0)與(f(x0))′是不一樣的,f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值,不一定為0;而(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),而函數(shù)值f(x0)是一個常量,其導(dǎo)數(shù)一定為0,即(f(x0))′=0.
2.對于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時,不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用,在實施化簡時,首先必須注意變換的等價性,避免不必要的運算失誤.
失誤與防范
1.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時,要注意到x與Δx的區(qū)別,這里的x是常量,Δx是變量.
2.利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆.
3.求曲線切線時,要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別,前者只有一條,而后者包括了前者.
4.曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個,這和研究直線與二次曲線相切時有差別.