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1、直線與平面垂直的判定,主講 朱燕鈿,,,,,,,,,,,a,,b,思考題： （1）已知直線a與b垂直且相交,若以b為旋轉(zhuǎn)軸, 直線a繞b旋轉(zhuǎn)一周得到什么圖形？ （2）b與有什么關(guān)系？ （垂直）,,,,,結(jié)論：旗桿與地面內(nèi)任意一條過點(diǎn)B的直線垂直。 問題1:旗桿所在的直線與地面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線 的位置關(guān)系如何？為什么？ 問題2：你能給直線與平面垂直下定義嗎？,如果一條直線l 和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直， 記作 l .,一、直線與平面垂直的定義,直線l 叫做平面的垂線， 平面 l 叫做直線的垂面 它們唯一的公共點(diǎn)即交點(diǎn)叫做垂足,畫法：,問題3:你是
2、如何理解這個(gè)定義的？ 1. “任意一條直線”說明直線l必須垂直于平面內(nèi) 的所有直線 2.如果l ,則l垂直于平面內(nèi)的所有直線,一、直線與平面垂直的定義： 如果一條直線l 和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直。,3、過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直,,,,,l,P,,,,,,l,P,,,,4、過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直,,,,,P,P,,,l,l,問題4：你能就直線垂直平面舉幾個(gè)例子嗎？,例子一,,,,例子二,（1）如果直線a垂直于平面內(nèi)的一條直線， 則a？ （2）如果直線a垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線 則a？,問題4:怎樣才能判定直線與平面垂直？,
3、探究：我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：,,過ABC的頂點(diǎn)A番折紙片，得到折痕AD，將翻折 后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）,問題5： (1)AD與桌面垂直嗎？ (2)如何翻折才能使AD與桌面所在的平面垂直？,,,P72思考題 (1)有人說;折痕AD與桌面所在平面上的一條直 線垂直，就可以判斷AD ？ (2)由這個(gè)試驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？,結(jié)論：當(dāng)ADBD,ADDC時(shí)， AD垂直于桌面所在的平面。,,（1）如果直線a垂直于平面內(nèi)的一條直線， 則a？ （2）如果直線a垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線 則a？,問題4:怎樣才能判定直線與平面垂直？,如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，
4、那么這條直線垂直于這個(gè)平面,二、直線和平面垂直的判定定理,m n m與n相交 lm ln l ,,你能證明這個(gè)定理嗎？,,,B,2,已知m、n是平面內(nèi)的兩條相交直線， l=B,lm ln ,求證：l,,,,,B,2,已知m、n是平面內(nèi)的兩條相交直線， l=B,lm ln ,求證：l,,,,,B,3,平移l到B點(diǎn)，垂直關(guān)系不變,,,B,4,,,,B,,5,,,B,AB=A1B,6,在l取點(diǎn)A、A1使AB=A1B, 則m、n是AA1的垂直平分線。,,,A,B,A1,E,,,10,,,,,,,A,B,A1,C,D,E,,,10,,,,A,B,C,D,A1,E,11,AC=A1C AD=A1D
5、,,,,,,,A,B,C,D,A1,E,,,ACDA1CD,17,AC=A1C AD=A1D CD=CD ACDA1CD,,,,,,,A,B,C,D,A1,E,,,ACE=A1CE,18,ACD=A1CD,,,l,,m,n,,,,,,,g,A,B,C,D,A1,E,AC=A1C CE=CE,,,,19,AC=A1C ACE=A1CE CE=CE ACEA1CE,,,l,,m,n,,,,,,,g,A,B,C,D,A1,E,AE=A1E,21,,,l,,m,n,,,,,,,g,A,B,C,D,A1,E,AE=A1E AB=A1B,22,,l,,,,g,A,B,A1,E,AE=A1E AB=A1B,
6、23,g是內(nèi)的任意一條直線,4,,lm ln m.,n相交 l內(nèi)的任意一條直線 l,如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面,直線和平面垂直的判定定理：,結(jié)論：要證明直線l垂直于平面，只需在平面內(nèi) 找兩條相交直線m、n分別與l垂直,,思路：線線垂直線面垂直,,,,例子一,例1 如圖，已知ab,a，求證：b 證明： 在平面內(nèi)作兩條相交直線,n a a，an 又因?yàn)? ba， 所以 b，bn。 又因?yàn)椋琻，，n是兩條相交直線， 所以 b,,,,a,b,,,,m,n,證明：設(shè)m是內(nèi)的任意一條直線,練習(xí)一 1、如果一條直線垂直與平面內(nèi)的無數(shù)條直線, 那么這條直
7、線和這個(gè)平面垂直 ( ) 2、垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊 ( ) 3、如果三條直線共點(diǎn)且兩兩垂直,那么其中一條 直線垂直于另外兩條直線確定的平面 ( ),練習(xí)二 有一旗桿高8m,在它的頂點(diǎn)處系兩條長(zhǎng)10m的繩子， 拉緊繩子并把它的兩個(gè)下端固定在地面的兩點(diǎn)上 (和旗桿腳不在同一直線上)。如果這兩點(diǎn)都和旗桿 腳的距離為6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？,A,解：如圖 AB=8 BC=6 AC=10 AC2=AB2+BC2 同理AD2=AB2+BD2 ABBC ABBD BC交AD于B AB面BCD 旗桿就和地面垂直,對(duì)于判定定理應(yīng)注意兩點(diǎn). 一、平面內(nèi)的兩條相交直線
8、 二、是要判斷一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知 直線有公共點(diǎn),則是無關(guān)緊要的. 三、線線垂直 線面垂直 線線垂直,,,例2已知 PA平面ABC,AB是O的直徑,C是O 上異于A、B的任一點(diǎn)，求證：PCBC,,,,證明： PA平面ABC PABC 又AB是O的直徑 ACB=900即ACBC PAAC=A BC面PAC BCPC 結(jié)論:要證明直線垂直于直線可以轉(zhuǎn)證線面垂直,練習(xí)三、p74第1題,,（2）若 ，求證：MN 面PCD,,三、課堂小結(jié) 1定義中的“任何一條直線”的理解 2注意兩個(gè)結(jié)論(兩個(gè)唯一性定
9、理)： 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直 過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直 3判定直線與平面垂直的方法： (1)定義法，注意“任何一條直線”的理解 (2)判定定理，注意“兩條相交直線” (3)已知ab,a，則：b 4線面 線線,,綜合題：如圖空間四邊形ABCD中，AB=AC,BD=DC (1)試判斷BC與AD是否垂直？ (2)試述如何過點(diǎn)D作平面ABC的垂線？,,,,,,A,B,C,D,E,E,A,D,,H,,H,,,作業(yè) 1已知l,PA于A. PB于B,AQl. 求證：lBQ,2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1, 求證：BC1平面A1B1CD 3、思考題：p73 探究題,如圖, M是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn),滿足MA=MC, 求證:,,,,,,四、課堂練習(xí) 1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，給出以下結(jié)論 AB面BCC1B1 AC面CDD1C1 ACBDD1B1 AC1面BCC1B1 其中正確的結(jié)論是( ),A. B. C. D.,A,
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