（全國120套）2013年中考數學試卷分類匯編 四邊形（正方形）

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1、正方形 1、（2013?昆明）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N．下列結論： ①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點． 其中正確的結論有（　?。? 　 A． 5個 B． 4個 C． 3個 D． 2個 考點： 相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質 分析： 依據正方形的性質以及勾股定理、矩形的判

2、定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME，故①正確； ∴PE=EM=PM， 同理，F(xiàn)P=FN=NP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四邊形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA， 又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正

3、確； ∵四邊形PEOF是矩形， ∴PE=OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2， ∴PE2+PF2=PO2，故③正確． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤； ∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN， 又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確． 故選B． 點評： 本題是正方形的性質、矩形的判定、勾股定理得綜合應用，認識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵． 　 2、(2013年臨沂)如圖，正

4、方形ABCD中，AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別從B,C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC,CD運動，到點C,D時停止運動，設運動時間為t(s),△OE的面積為s()，則s()與t(s)的函數關系可用圖像表示為 O 4 8 8 16 t(s) S() （B） O 4 8 8 16 t(s) S() （A） O 4 8 8 16 t(s) S() （D） O 4 8 8 16 t(s) S() （C） 答案

5、：B 解析：經過t秒后，BE＝CF＝t，CE＝DF＝8－t，， ，， 所以，，是以（4,8）為頂點，開口向上的拋物線，故選B。 3F （第12題圖） A B C D O E 、（8-3矩形、菱形、正方形·2013東營中考）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 12.B.解析：在正方形ABCD中，因為CE=DF，所以AF=DE，又因為AB=AD，所以，所

6、以AE=BF，，，因為，所以，即，所以AE⊥BF，因為S四邊形DEOF，所以 S四邊形DEOF，故（1），（2），（4）正確. 4、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（　?。? 　 A．14 B．15 C．16 D．17 考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質． 分析：根據菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AC

7、=AB=4， ∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故選C． 點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC的長．　 5、（2013?資陽）如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（　?。? 　 A． 48 B． 60 C． 76 D． 80 考點： 勾股定理；正方形的性質． 分析： 由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積． 解答： 解：∵∠AEB=90°，AE=6，

8、BE=8， ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故選C． 點評： 本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質．關鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解． 6、（2013?雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結論有（　?。﹤€． 　 A． 2 B． 3 C

9、． 4 D． 5 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 分析： 通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比較大小就可以得出結論 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等邊三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+

10、∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF，①正確． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°②正確， ∵BC=CD， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， 及CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．③正確． 設EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯誤， ∵S△CEF=， S△ABE==， ∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確． 綜上所述，正確的有4個，故選C．

11、 點評： 本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵． 7、（2013菏澤）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（　?。? 　 A．16 B．17 C．18 D．19 考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質． 專題：計算題． 分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答． 解答：解：如圖，設正

12、方形S2的邊長為x， 根據等腰直角三角形的性質知，AC=x，x=CD， ∴AC=2CD，CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=； ∴S2的面積為EC2==8； ∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故選B． 點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖能力．　 8、（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考

13、點： 相似三角形的應用；正方形的性質；幾何概率． 分析： 求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率； 解答： 解：設正方形的ABCD的邊長為a， 則BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2， ∴小鳥在花圃上的概率為= 故選C． 點評： 本題考查了正方形的性質及幾何概率，關鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積． 9、（2013臺灣、30）如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，并連接BG．根據圖中標示的角判斷下列∠1、∠2、∠3

14、、∠4的大小關系何者正確？（　?。? 　 A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 考點：正方形的性質． 分析：根據正方形的每一個角都是直角求出∠BAD=∠EAG=90°，然后根據同角的余角相等可得∠1=∠2，根據直角三角形斜邊大于直角邊可得AE＞AB，從而得到AG＞AB，再根據三角形中長邊所對的角大于短邊所對的角求出∠3＞∠4． 解答：解：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形， ∴∠BAD=∠EAG=90°， ∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°， ∠EAG=∠2+∠DAE=90°， ∴∠1=∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB， ∵四邊形AEFG是

15、正方形， ∴AE=AG， ∴AG＞AB， ∴∠3＞∠4． 故選D． 點評：本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，要注意在同一個三角形中，較長的邊所對的角大于較短的邊所對的角的應用．　 10、（2013臺灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為何？（　?。? 　 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6 考點：正方形的性質；等邊三角形的性質． 分析：過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據等邊三角形的性質求出∠A=∠ABC=

16、60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出∠BDE=60°，然后根據同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據正方形的對邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH，然后根據平行線間的距離相等即可得解． 解答：解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠ABC=60°， ∵BD=BE， ∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60°， ∴∠A=∠BDE， ∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF， ∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18×﹣6

17、×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6， ∴F點到AC的距離為6﹣6． 故選D． 點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質是解題的關鍵．　 11、(2013年南京)已知如圖所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，可列出方程： 。 答案：本題答案不唯一，如(x+1)2=25； 解析：把缺口補回去，得到一個面積25的正方形，邊長為x＋1。 12、（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為

18、2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為?。?，4﹣2）　． 考點： 相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質．3718684 分析： 根據正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標． 解答： 解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的邊AB∥OC， ∴△BPQ

19、∽△OCQ， ∴=， 即=， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴點P的坐標為（2，4﹣2）． 故答案為：（2，4﹣2）． 點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的對角線等于邊長的倍的性質，以及坐標與圖形的性質，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵． 13、（2013?嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數為　6　，小球P所

20、經過的路程為　6?。? 考點： 正方形的性質；軸對稱的性質． 分析： 根據已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數．再由勾股定理就可以求出小球經過的路徑的總長度． 解答： 解：根據已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點，AE=AB． 由勾股定理

21、可以得出EF=，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=， 故小球經過的路程為：+++++=6， 故答案為：6，6． 點評： 本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用．通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數，由勾股定理來確定小球經過的路程，是一道學科綜合試題，屬于難題． 14、（2013?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是　10?。? 考點： 軸對稱-最短路線問題；正方形的性質．3718684 分析： 由正方形性質的得出B、D關于AC對稱，根據兩點之間線段最短可知

22、，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可． 解答： 解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最?。? ∵四邊形ABCD是正方形， ∴B、D關于AC對稱， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10． 故答案為：10． 點評： 本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質，解此題通常是利用兩點之間，線段最短的性質得出． 15、（2013?包頭）如圖，點E是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、

23、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度． 考點： 勾股定理的逆定理；正方形的性質；旋轉的性質．3718684 分析： 首先根據旋轉的性質得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，進而根據勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，進而得出答案． 解答： 解：連接EE′， ∵將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1， ∴EE′=2，∠BE′E=45°， ∵E′E2+E′C2=

24、8+1=9， EC2=9， ∴E′E2+E′C2=EC2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90°， ∴∠BE′C=135°． 故答案為：135． 點評： 此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據已知得出△EE′C是直角三角形是解題關鍵． 16、（2013? 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+． 其中正確的序號是?、佗冖堋。ò涯阏J為正確的都填上）． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三

25、角形的性質． 分析： 根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=AF， ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①說法正確； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠

26、AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②說法正確； 如圖，連接AC，交EF于G點， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAD≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說法錯誤； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 設正方形的邊長為a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 則a2=2+， S正方形ABCD=2+， ④說法正確， 故答案為①②④． 點評： 本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩． 17、（2013?煙臺）如圖，正

27、方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連結AF，CF，則圖中陰影部分面積為　4π?。? 考點： 正方形的性質；整式的混合運算． 分析： 設正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式計算即可得解． 解答： 解：設正方形EFGB的邊長為a，則CE=4﹣a，AG=4+a， 陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF =+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a） =4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2 =4π． 故答案

28、為：4π． 點評： 本題考查了正方形的性質，整式的混合運算，扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關鍵． 18、（2013四川南充，14，3分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，過點A作AE⊥AC,AE=1，連接BE，則tanE=_____________. 答案： 解析： 19、(2013年武漢)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ． 答案： 解析： 20、（綿陽市2013年）對正方形ABCD進行分割，如

29、圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”。若△GOM的面積為1，則“飛機”的面積為 14 。 ［解析］連接AC，四邊形ABCD是正方形， AC⊥BD，E、F分別BC、CD的中 點，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直線AC是△EFC底邊上的高所在直線，根據等腰三角形“三線合一”，AC必過EF的中點G，點A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OC⊥OB，F(xiàn)G是△DCO的中位線，OG=CG= OC, M、N分別是OB

30、、OD的中點，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，OM?OG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,圖2中飛機面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。 21、(2013年南京) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分 DABC，P是BD上一點，過點P作PM^AD，PN^CD，垂 A B C D N M P 足分別為M、N。 (1) 求證：DADB=DCDB； (

31、2) 若DADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形。 解析： 證明：(1) ∵BD平分DABC，∴DABD=DCBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD @ △CBD?！郉ADB=DCDB。 (4分) (2) ∵PM^AD，PN^CD，∴DPMD=DPND=90°。 又∵DADC=90°，∴四邊形MPND是矩形。 ∵DADB=DCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN。 ∴四邊形MPND是正方形。 (8分) 22、（2013?鄂州）如圖正

32、方形ABCD的邊長為4，E、F分別為DC、BC中點． （1）求證：△ADE≌△ABF． （2）求△AEF的面積． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質．3718684 分析： （1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分別為DC、BC中點，得出DE=BF，進而證明出兩三角形全等； （2）首先求出DE和CE的長度，再根據S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出結果． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=AD，∠=90°，DC=CB， ∵E、F為DC、BC中點， ∴

33、DE=DC，BF=BC， ∴DE=BF， ∵在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：由題知△ABF、△ADE、△CEF均為直角三角形， 且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2， ∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF =4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2 =6． 點評： 本題主要考查正方形的性質和全等三角形的證明，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質以及全等三角形的判定定理，此題難度不大． 23、（2013?畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點

34、，且DE=BF，連接AE、AF、EF． （1）求證：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心　A　 點，按順時針方向旋轉　90　 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積． 考點： 旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質． 專題： 證明題． 分析： （1）根據正方形的性質得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時

35、針方向旋轉90 度得到； （3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據直角三角形的面積公式計算即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延長線上的點， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以

36、由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到； 故答案為A、90； （3）解：∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴AE==10， ∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）． 點評： 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理． 24、（2013?黔東南州）如圖，在正方形ABCD中，點M是對角

37、線BD上的一點，過點M作ME∥CD交BC于點E，作MF∥BC交CD于點F．求證：AM=EF． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質． 專題： 證明題． 分析： 過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，根據題干條件證明出AP=MF，PM=ME，進而證明△APM≌△FME，即可證明出AM=EF． 解答： 證明：過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形， ∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME， ∵在△APM和△FM

38、E中， ， ∴△APM≌△FME（SAS）， ∴AM=EF． 點評： 本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質等知識，此題正確作出輔助線很易解答． 25、（2013鞍山）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE． （1）求證：CE=CF； （2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？ 考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質． 專題：證明題；探究型． 分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF

39、． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立． 解答：（1）證明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（3分） （2）解：GE=BE+GD成立．（4分） 理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，（5分） ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°

40、，（6分） 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．（7分） ∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分） 點評：本題主要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．　 26、（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）當△ABC滿

41、足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由． 考點： 矩形的判定；正方形的判定．3718684 分析： （1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而理由等腰三角形的性質得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可． 解答： （1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD， ∴四邊形AEBD是平行四邊形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四邊形AEBD是矩形； （2）當∠BAC=90°時

42、， 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四邊形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 點評： 此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵． 27、（2013?包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F． （1）如圖①，當時，求的值； （2）如圖②當DE平分∠CDB時，求證：AF=OA； （3）如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=BG．

43、考點： 相似形綜合題．3718684 分析： （1）利用相似三角形的性質求得EF于DF的比值，依據△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解； （2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得； （3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得． 解答： （1）解：∵=， ∴=． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴=， ∴==， ∴==；

44、 （2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF， 又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF， 在直角△AOD中，根據勾股定理得：AD==OA， ∴AF=OA． （3）證明：連接OE． ∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點． ∴點O是BD的中點． 又∵點E是BC的中點， ∴OE是△BCD的中位線， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴==， ∴=． 又∵FG⊥BC，C

45、D⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==． 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF， 又∵CD=BC， ∴==， ∴=． ∴CG=BG． 點評： 本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵． 28、（2013?曲靖）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點C作CF⊥DE于F，過點A作AG∥CF交DE于點G． （1）求證：△DCF≌△ADG． （2）若點E是AB的中點，設∠DCF=α，求sinα的值． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；解直

46、角三角形． 分析： （1）根據正方形的性質求出AD=DC，∠ADC=90°，根據垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可； （2）設正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦． 解答： （1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF，

47、 ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ∵在△DCF和△ADG中， ， ∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）設正方形ABCD的邊長為2a， ∵點E是AB的中點， ∴AE=×2a=a， 在Rt△ADE中，DE===a， ∴sin∠ADG===， ∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=． 點評： 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數，同角的余角相等的性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握各圖形的性質并確定出三角形全等的條

48、件是解題的關鍵． 29、（2013?天津）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上． （Ⅰ）△ABC的面積等于　6?。? （Ⅱ）若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請你在如圖所示的網格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）　取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求?。? 考點： 作圖—相似變換；三角形的面積；正方形的性質．3718684 專

49、題： 計算題． 分析： （Ⅰ）△ABC以AB為底，高為3個單位，求出面積即可； （Ⅱ）作出所求的正方形，如圖所示，畫圖方法為：取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求 解答： 解：（Ⅰ）△ABC的面積為：×4×3=6； （Ⅱ）如圖，取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線， 與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)， 則四邊形D

50、EFG即為所求． 故答案為：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求 點評： 此題考查了作圖﹣位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質，作出正確的圖形是解本題的關鍵． 30、（2013?綏化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF （1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC； （2）如圖

51、2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系； （3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側，其他條件不變； ①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關系； ②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度． 考點： 四邊形綜合題． 分析： （1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據此即可證得； （2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；

52、（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得． 解答： 證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 則在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF﹣CD=BC； （3）①CD﹣CF=BC ②∵∠BAC=

53、90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的邊長為2且對角線AE、DF相交于點O． ∴DF=AD=4，O為DF中點． ∴OC=DF=2． 點評： 本

54、題考查了正方形與全等三角形的判定與性質的綜合應用，證明三角形全等是關鍵． 31、（2013濟寧）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE． （1）求證：AF=BE； （2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由． 考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質． 專題：證明題． 分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據全等三角形的證明即可；

55、 （2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同． 解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE； （2）解：MP與NQ相等． 理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E， 則與（1）的情況完全相同． 點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，主要利用了正方形的四條邊都相等

56、，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用．　 32、（2013?常德）如圖，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圓，∠ADE=90°，延長ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點H．求證： （1）AC是⊙O的切線． （2）HC=2AH． 考點： 切線的判定；等腰直角三角形；正方形的性質． 專題： 證明題． 分析： （1）根據圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據正方形得到∠DAC=45°，則∠

57、EAC=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論； （2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則AH：CH=AB：ED，根據等腰直角三角形和正方形的性質易得EC=2AB，則AH：CH=1：2． 解答： 證明：（1）∵∠ADE=90°， ∴AE為⊙O的直徑， ∵△ADE為等腰直角三角形， ∴∠EAD=45°， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠DAC=45°， ∴∠EAC=45°+45°=90°， ∴AC⊥AE， ∴AC是⊙O的切線； （2）∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB∥CD， ∴△ABH∽△CEH， ∴AH：CH=AB：ED， ∵△ADE為等腰直角三角形

58、， ∴AD=ED， 而AD=AB=DC， ∴EC=2AB， ∴AH：CH=1：2， 即HC=2AH． 點評： 本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰直角三角形的性質、正方形的性質以及三角形相似的判定與性質． 33、（2013?衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4． （1）試說明AE2+CF2的值是一個常數； （2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值． 考點： 正方形的性質；二次函數的最值；全等三角形的判定與

59、性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．3718684 分析： （1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數； （2）設AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的一元二次函數，求出DM的最大值． 解答： 解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF， ∵在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴

60、AE=BF， ∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數； （2）設AP=x，則PD=4﹣x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP， ∴=， 即=， ∴DM==x﹣x2， 當x=2時，DM有最大值為1． 點評： 本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題． 34、（2013?衡陽附加題不算分）一種電訊信號轉發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置，使這些裝置轉發(fā)的信號

61、能完全覆蓋這個城市．問： （1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？在圖1中畫出安裝點的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安裝點； （2）能否找到這樣的3個安裝點，使得在這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點，用計算、推理和文字來說明你的理由． 考點： 作圖—應用與設計作圖． 專題： 作圖題． 分析： （1）可把正方形分割為四個全等的正方形，作出這些正方形的對角線，把裝置放在交點處，交點到其余各個小正方形頂點的距離相等通過計算看是否適合； （2）由（1）得到啟示，把

62、正方形分割為三個長方形，左邊的一個矩形的對角線能輻射的最大直徑為31，看能否把三個裝置放在三個長方形的對角線的交點處． 解答： 解：（1）如圖1，將正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉發(fā)裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點處， 此時，每個小正方形的對角線長為 ，每個轉發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域， 故安裝4個這種裝置可以達到預設的要求； （2）（畫圖正確給1分） 將原正方形分割成如圖2中的3個矩形， 使得BE=OD=OC．將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處， 則AE=，， ∴OD=， 即如此安裝三個這個轉發(fā)裝置，也能達到預設要求． 點評： 考

63、查應用與設計作圖；解決本題的關鍵是先利用常見圖形得到合適的計算方法和思路，然后根據類比方法利用覆蓋的最大距離得到相類似的解． 35、（2013?呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F， （1）的值為　??； （2）求證：AE=EP； （3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．3718684 分析： （1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=

64、90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據同角的正弦值相等即可解答； （2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出； （3）作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出． 解答： （1）解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE==， ∵sin∠

65、BAE==sin∠FEC=， ∴=， （2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； （3）答：存在． 證明：作DM⊥AE于AB交于點M， 則有：DM∥EP，連接ME、DP， ∵在△ADM與△BAE中，

66、 ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MDEP， ∴四邊形DMEP為平行四邊形． 點評： 此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的準確選擇． 　 36、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形．點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（0，﹣3），反比例函數y=的圖象經過點C，一次函數y=ax+b的圖象經過點C，一次函數y=ax+b的圖象經過點A， （1）求反比例函數與一次函數的解析式； （2）求點P是反比例函數圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標． 考點：反比例函數與一次函數的交點問題． 分析：（1）先根據正方形的性質求出點C的坐標為（5，﹣3），再將C點坐標代入反比例函數y=中，運用待定系數法求出反比例函數的解析式；同理，將點A，C的坐標代入一次函數y=ax+b中，運用待定系數法求出一次函數函數的解析式； （2）設P點的坐標為（x，y），先由△O