《相似三角形的判定(第2課時)》教案 (省一等獎)

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1、 相似三角形的判定 一、教學(xué)目標(biāo) 1．初步掌握“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似〞的判定方法，以及“兩組對應(yīng)邊的 比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似〞的判定方法． 2．經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，體驗用類比、實驗操作、分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過 程；通過畫圖、度量等操作，培養(yǎng)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)猜測的經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生探索知識的興趣，體 數(shù)學(xué) 活動充滿著探索性和創(chuàng)造性． 3．能夠運(yùn)用三角形相似的條件 解決簡單的問題． 二、重點、難點 1． 重點：掌握兩種判定方法，會運(yùn)用兩種判定方法判定兩個三角形相似． 2． 難點：〔1〕三角形相似的條件歸納、證明；

2、 〔2〕會準(zhǔn)確的運(yùn)用兩個三角形相似的 條件來 判定三角形是否相似． 3． 難點的突破方法 〔1〕關(guān)于 三角形相似的判定方法1“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似〞，教科書雖 然給出了證明，但不要求學(xué)生自己證明，通過教師引導(dǎo)、講解證明，使學(xué)生了解證明的方法， 并復(fù)習(xí)前面所學(xué)過的有關(guān)知識，加深對判定方法的理解． 〔2〕判定方法1的探究是讓學(xué)生通過作圖展開的，我們在教學(xué)過程中，要通過從作圖方法的 遷移過 程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及類比認(rèn)識新 事物的方法． 〔3〕講判定方法1時，要扣住“對應(yīng)〞二字，一般最短邊與最短邊，最長邊與

3、最長邊是對應(yīng) 邊． 〔4〕判定方法2一定要注意區(qū)別“夾 角相等〞 的條件，如果對應(yīng)相等的角不是兩條邊的夾 角，這兩個三角形不一定相似，課堂練習(xí)2就是通過讓學(xué)生聯(lián)想、類比全等三角形中 SSA 條 件下三角形的不確定性，來到達(dá)加深理解判定方法2的條件的目的的． 〔5〕要讓學(xué)生明確，兩個判定方法說明：只要分別具備邊或角的兩個獨立條件——“兩邊 對應(yīng)成比例，夾角相等〞或“三邊對應(yīng)成比例〞就能證明兩個三角形相似． 〔6〕要讓學(xué)生學(xué)會自覺總結(jié)如何正確的選擇三角形相似的判定方法：這兩種方法無論哪一 個，首先必需要有兩邊對應(yīng)成比例的條件，然后又有目標(biāo)的去探求另一組條件，假設(shè)能找到

4、 一組角相等，而這組對應(yīng)角又是兩組對應(yīng)邊的“夾角〞時，那么選用判定方法2，假設(shè)不是 “夾角〞，那么不能去判定兩個三角形相似；假設(shè)能找到第三邊也成比例，那么選用判定 方法1． 〔7〕兩對應(yīng)邊成比例中的比例式既可以寫成如 的形式，也可以寫成 的 形式． 〔8〕由比例的根本性質(zhì)，“兩邊對應(yīng)成比例〞的條件也可以由等積式提供． 三、例題的意圖 本節(jié)課安排的兩個例題，其中例1是教材 P46的例1，此例題是為了穩(wěn)固剛剛學(xué)習(xí)過的兩種三 角形相似的判定方法，〔1〕是復(fù)習(xí)穩(wěn)固“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角 形相似〞的判定方法；〔2〕是復(fù)習(xí)穩(wěn)固

5、 “三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似〞 的判定 方法．通過此例題要讓學(xué)生掌握如何正確的選擇三角形相似的判定方法． 例2是補(bǔ)充的題目，它既運(yùn)用了三角形相似的判定方法2，又運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)，有一 點綜合性，由于學(xué)生剛開始接觸相似三角形的題目，而本節(jié)課的內(nèi)容有較多，故此例題可 以選講． 四、課堂引入 1．復(fù)習(xí)提問： (1) 兩個三角形全 等有哪些判定方法？ (2) 我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？ (4) 如圖，如果要判定△ABC 與△A’B’C’相似，是不是一定需要一一驗證所有的對應(yīng)角 和對應(yīng)

6、邊的關(guān)系？ 2．〔1〕提出問題：首先，由三角形全等的 SSS 判定方法，我們會想如果一個三角形的三條 邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個三角形相似呢？ 〔2〕帶著 學(xué)生畫圖探究； 〔3〕【歸納】 三角形相似的判定方法1 如果兩個三 角形的三組對應(yīng)邊的比 相等， 那么這兩個 三角形相 似． 3．〔1〕提出問題：怎樣證明這個命題是正確的呢？ 〔2〕教師帶著學(xué)生探求證明方法． 4．用上面同樣的方法進(jìn)一步探究三角形相似的條件： 〔1〕提出問題：由三角形全等的 SAS 判定方法，我們也會想如果一個三角形的兩條邊與另 一個三角形的兩條邊對

7、應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個三角形相似呢？ 〔2〕讓學(xué)生畫圖，自主展開探究活動． 〔3〕【歸納】 三角形相似的判定方法2 兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這 兩個三角形相似． 五、例題講解 例1〔教材 P46例1〕 分析：判定兩個三角形是否相似，可以根據(jù)條件，看是不是符合相似三角形的定義或三角形 相似的判定方法，對于〔1〕由于是一對對應(yīng)角相等及四條邊長，因此看是否符合三角形相 似的判定方法2“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似〞，對于〔2〕給 的幾個條件全是邊，因此看是否符合三角形相似的判定方法

8、1“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個 三角形相似〞即可，其方法是通過計算成比例的線段得到對應(yīng)邊． 解： 略 ※例2 〔補(bǔ)充〕：如圖，在四邊形 ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的長． 分析：由一對對應(yīng)角相等及四條邊長，猜測應(yīng)用“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等〞 來證明．計算得出 ，結(jié)合∠B=∠ACD，證 明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定義得出 關(guān)于 AD 的比例式 ，從而求出 AD 的長． 解：略〔AD= 〕． 六、課堂練習(xí) 1．教材 P47．2． 2．如果在△ABC 中∠B =30°，AB=5

9、㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10 ㎝，A’C’=8㎝，這兩個三角形一定相似嗎？試著畫一畫、看一看？ 3．如圖，△ABC 中，點 D、E、F 分別是 AB、BC、CA 的中點，求證 ABC DEF． 七 、課后練習(xí) [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問題時，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。 在本節(jié)課的教學(xué)中，我始終堅持以引導(dǎo)為起點，以問題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主

10、體，訓(xùn)練為主線的教學(xué)原那么；通過師生雙邊活動，通過對單元的 復(fù)習(xí)，使學(xué)生對本單元的知識系統(tǒng)化，重點知識突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時注 意了以基此題為主，少量思考性較強(qiáng)的題目為輔，兼顧了不同層次學(xué)生的不同要求。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過動

11、手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會展開圖與長方體、 正方體的聯(lián)系；通過立體與平面的有機(jī)結(jié)合，開展學(xué)生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及 里地使學(xué)生逐步達(dá)教學(xué)目標(biāo)的要求：閉上眼睛想象展開或折疊的過程，促進(jìn)學(xué)生建立表象， 幫助學(xué)生理解概念，開展空間觀念。 24.1 圓 (第 3 課時) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對 的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°

12、的圓周角所對的弦是直徑及其它們的 應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條 弧所對的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對 的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予 邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決 一些實際問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點：

13、運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們口答下面兩個問題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們 所對的其余各組量都分別相等． 剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的 位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討， 要研究，要解決的問題． 二、探索新知 問題：如下圖的⊙O，

14、我們在射門游戲中，設(shè) E、F 是球門，?設(shè)球員們只 能在 EF 所在的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點．通過觀察，我們可 以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF 這樣的角，它們的頂點在圓上，?并且兩邊都 與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問題． 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點評： 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．  B 2．通過度

15、量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? 并且 A  D 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角  B O  C ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB

16、、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的說明過程． 1 2 老師點評：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請同學(xué)們獨立完成證明． 1 2 老師點評：連結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠A

17、BD-∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半， 因此，同弧上的圓周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 C

18、D 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因為 AB=AC，所以這 ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點，?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的對邊分別設(shè)為 a，b，c，⊙O 半徑為 R，求證： a b c = = =2R．

19、sin A sin B sin C a b c a b c 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， =2R， =2R， sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c 即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三 2 R 2 R 2 R 角形中進(jìn)行． 證明：連接 CO 并延長交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B

20、 sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師點評〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所 對的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問題時，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。