《相似三角形的判定(第2課時(shí))》教案 (省一等獎(jiǎng))

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1、 相似三角形的判定 一、教學(xué)目標(biāo) 1．初步掌握“三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似〞的判定方法，以及“兩組對(duì)應(yīng)邊的 比相等且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似〞的判定方法． 2．經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過(guò)程，體驗(yàn)用類(lèi)比、實(shí)驗(yàn)操作、分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò) 程；通過(guò)畫(huà)圖、度量等操作，培養(yǎng)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)猜測(cè)的經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)的興趣，體 數(shù)學(xué) 活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性． 3．能夠運(yùn)用三角形相似的條件 解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題． 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1． 重點(diǎn)：掌握兩種判定方法，會(huì)運(yùn)用兩種判定方法判定兩個(gè)三角形相似． 2． 難點(diǎn)：〔1〕三角形相似的條件歸納、證明；

2、 〔2〕會(huì)準(zhǔn)確的運(yùn)用兩個(gè)三角形相似的 條件來(lái) 判定三角形是否相似． 3． 難點(diǎn)的突破方法 〔1〕關(guān)于 三角形相似的判定方法1“三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似〞，教科書(shū)雖 然給出了證明，但不要求學(xué)生自己證明，通過(guò)教師引導(dǎo)、講解證明，使學(xué)生了解證明的方法， 并復(fù)習(xí)前面所學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)，加深對(duì)判定方法的理解． 〔2〕判定方法1的探究是讓學(xué)生通過(guò)作圖展開(kāi)的，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，要通過(guò)從作圖方法的 遷移過(guò) 程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及類(lèi)比認(rèn)識(shí)新 事物的方法． 〔3〕講判定方法1時(shí)，要扣住“對(duì)應(yīng)〞二字，一般最短邊與最短邊，最長(zhǎng)邊與

3、最長(zhǎng)邊是對(duì)應(yīng) 邊． 〔4〕判定方法2一定要注意區(qū)別“夾 角相等〞 的條件，如果對(duì)應(yīng)相等的角不是兩條邊的夾 角，這兩個(gè)三角形不一定相似，課堂練習(xí)2就是通過(guò)讓學(xué)生聯(lián)想、類(lèi)比全等三角形中 SSA 條 件下三角形的不確定性，來(lái)到達(dá)加深理解判定方法2的條件的目的的． 〔5〕要讓學(xué)生明確，兩個(gè)判定方法說(shuō)明：只要分別具備邊或角的兩個(gè)獨(dú)立條件——“兩邊 對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等〞或“三邊對(duì)應(yīng)成比例〞就能證明兩個(gè)三角形相似． 〔6〕要讓學(xué)生學(xué)會(huì)自覺(jué)總結(jié)如何正確的選擇三角形相似的判定方法：這兩種方法無(wú)論哪一 個(gè)，首先必需要有兩邊對(duì)應(yīng)成比例的條件，然后又有目標(biāo)的去探求另一組條件，假設(shè)能找到

4、 一組角相等，而這組對(duì)應(yīng)角又是兩組對(duì)應(yīng)邊的“夾角〞時(shí)，那么選用判定方法2，假設(shè)不是 “夾角〞，那么不能去判定兩個(gè)三角形相似；假設(shè)能找到第三邊也成比例，那么選用判定 方法1． 〔7〕兩對(duì)應(yīng)邊成比例中的比例式既可以寫(xiě)成如 的形式，也可以寫(xiě)成 的 形式． 〔8〕由比例的根本性質(zhì)，“兩邊對(duì)應(yīng)成比例〞的條件也可以由等積式提供． 三、例題的意圖 本節(jié)課安排的兩個(gè)例題，其中例1是教材 P46的例1，此例題是為了穩(wěn)固剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的兩種三 角形相似的判定方法，〔1〕是復(fù)習(xí)穩(wěn)固“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個(gè)三角 形相似〞的判定方法；〔2〕是復(fù)習(xí)穩(wěn)固

5、 “三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似〞 的判定 方法．通過(guò)此例題要讓學(xué)生掌握如何正確的選擇三角形相似的判定方法． 例2是補(bǔ)充的題目，它既運(yùn)用了三角形相似的判定方法2，又運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)，有一 點(diǎn)綜合性，由于學(xué)生剛開(kāi)始接觸相似三角形的題目，而本節(jié)課的內(nèi)容有較多，故此例題可 以選講． 四、課堂引入 1．復(fù)習(xí)提問(wèn)： (1) 兩個(gè)三角形全 等有哪些判定方法？ (2) 我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？ (4) 如圖，如果要判定△ABC 與△A’B’C’相似，是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對(duì)應(yīng)角 和對(duì)應(yīng)

6、邊的關(guān)系？ 2．〔1〕提出問(wèn)題：首先，由三角形全等的 SSS 判定方法，我們會(huì)想如果一個(gè)三角形的三條 邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個(gè)三角形相似呢？ 〔2〕帶著 學(xué)生畫(huà)圖探究； 〔3〕【歸納】 三角形相似的判定方法1 如果兩個(gè)三 角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比 相等， 那么這兩個(gè) 三角形相 似． 3．〔1〕提出問(wèn)題：怎樣證明這個(gè)命題是正確的呢？ 〔2〕教師帶著學(xué)生探求證明方法． 4．用上面同樣的方法進(jìn)一步探究三角形相似的條件： 〔1〕提出問(wèn)題：由三角形全等的 SAS 判定方法，我們也會(huì)想如果一個(gè)三角形的兩條邊與另 一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)

7、應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個(gè)三角形相似呢？ 〔2〕讓學(xué)生畫(huà)圖，自主展開(kāi)探究活動(dòng)． 〔3〕【歸納】 三角形相似的判定方法2 兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這 兩個(gè)三角形相似． 五、例題講解 例1〔教材 P46例1〕 分析：判定兩個(gè)三角形是否相似，可以根據(jù)條件，看是不是符合相似三角形的定義或三角形 相似的判定方法，對(duì)于〔1〕由于是一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等及四條邊長(zhǎng)，因此看是否符合三角形相 似的判定方法2“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似〞，對(duì)于〔2〕給 的幾個(gè)條件全是邊，因此看是否符合三角形相似的判定方法

8、1“三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè) 三角形相似〞即可，其方法是通過(guò)計(jì)算成比例的線(xiàn)段得到對(duì)應(yīng)邊． 解： 略 ※例2 〔補(bǔ)充〕：如圖，在四邊形 ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的長(zhǎng)． 分析：由一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等及四條邊長(zhǎng)，猜測(cè)應(yīng)用“兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等〞 來(lái)證明．計(jì)算得出 ，結(jié)合∠B=∠ACD，證 明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定義得出 關(guān)于 AD 的比例式 ，從而求出 AD 的長(zhǎng)． 解：略〔AD= 〕． 六、課堂練習(xí) 1．教材 P47．2． 2．如果在△ABC 中∠B =30°，AB=5

9、㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10 ㎝，A’C’=8㎝，這兩個(gè)三角形一定相似嗎？試著畫(huà)一畫(huà)、看一看？ 3．如圖，△ABC 中，點(diǎn) D、E、F 分別是 AB、BC、CA 的中點(diǎn)，求證 ABC DEF． 七 、課后練習(xí) [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)園。 在本節(jié)課的教學(xué)中，我始終堅(jiān)持以引導(dǎo)為起點(diǎn)，以問(wèn)題為主線(xiàn)，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主

10、體，訓(xùn)練為主線(xiàn)的教學(xué)原那么；通過(guò)師生雙邊活動(dòng)，通過(guò)對(duì)單元的 復(fù)習(xí)，使學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)系統(tǒng)化，重點(diǎn)知識(shí)突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時(shí)注 意了以基此題為主，少量思考性較強(qiáng)的題目為輔，兼顧了不同層次學(xué)生的不同要求。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開(kāi)圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒 ，每個(gè)學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開(kāi)圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開(kāi)圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過(guò)動(dòng)

11、手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會(huì)展開(kāi)圖與長(zhǎng)方體、 正方體的聯(lián)系；通過(guò)立體與平面的有機(jī)結(jié)合，開(kāi)展學(xué)生的空間觀(guān)念。這樣由淺入深、由表及 里地使學(xué)生逐步達(dá)教學(xué)目標(biāo)的要求：閉上眼睛想象展開(kāi)或折疊的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生建立表象， 幫助學(xué)生理解概念，開(kāi)展空間觀(guān)念。 24.1 圓 (第 3 課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條弦所對(duì) 的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°

12、的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的 應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條 弧所對(duì)的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90?°的圓周角所對(duì) 的弦是直徑． 4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類(lèi)思想給予 邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決 一些實(shí)際問(wèn)題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：

13、運(yùn)用數(shù)學(xué)分類(lèi)思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們 所對(duì)的其余各組量都分別相等． 剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的 位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討， 要研究，要解決的問(wèn)題． 二、探索新知 問(wèn)題：如下圖的⊙O，

14、我們?cè)谏溟T(mén)游戲中，設(shè) E、F 是球門(mén)，?設(shè)球員們只 能在 EF 所在的⊙O 其它位置射門(mén)，如下圖的 A、B、C 點(diǎn)．通過(guò)觀(guān)察，我們可 以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，?并且兩邊都 與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問(wèn)題． 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點(diǎn)評(píng)： 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)．  B 2．通過(guò)度

15、量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的． 3．通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化， ? 并且 A  D 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角  B O  C ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB

16、、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程． 1 2 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= ∠AOC 嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 1 2 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠A

17、BD-∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫(huà)一個(gè)任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半， 因此，同弧上的圓周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推論來(lái)解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長(zhǎng) BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 C

18、D 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因?yàn)?AB=AC，所以這 ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點(diǎn)，?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線(xiàn)即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的對(duì)邊分別設(shè)為 a，b，c，⊙O 半徑為 R，求證： a b c = = =2R．

19、sin A sin B sin C a b c a b c 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R， =2R， =2R， sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c 即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三 2 R 2 R 2 R 角形中進(jìn)行． 證明：連接 CO 并延長(zhǎng)交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B

20、 sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C 五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都相等這條弧所 對(duì)的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問(wèn)題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)園。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開(kāi)圖 以及圖形折 疊后的形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒 ，每個(gè)學(xué)生都剪 一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開(kāi)圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在 剪、拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開(kāi)圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。 通過(guò)動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位 學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。