《復變函數(shù)》主要內(nèi)容瀏覽式復習.ppt

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1、,教材：吳，復變函數(shù)，華工出版社 參考:1西安交大，復變函數(shù)，高教出版社 2楊綸標，復變函數(shù)，科學出版社,復變函數(shù)論,多媒體教學課件,覃永安 15302276149 2010.9,第一章、復數(shù)與復變函數(shù),1.1 復數(shù),復數(shù):,復數(shù)相等是指?虛數(shù)? 純虛數(shù)?,復數(shù)的四則運算:,復平面:,,復平面:,模：,非零復數(shù)的輻角：,復數(shù)的共軛：,復數(shù)的三角表示:,復數(shù)加、減法的幾 何表示如下圖：,,基本不等式:,例1試用復數(shù)表示圓的方程:,例2,設 、 是兩個復數(shù)，證明：,,三角表示的乘法：,三角表示的乘法：,歐拉公式；指數(shù)表示式；三種表示式的互化:關鍵是會用

2、 表示幅角。,復數(shù)的乘冪：,復數(shù)的乘冪：,可以看到，k=0,1,2,,n-1時，可得n個不同的值，即z有n個n次方根，其模相同，輻角相差一個常數(shù)，均勻分布于一個圓上。 這樣，復數(shù)的乘冪可以推廣到有理數(shù)的情形。,例5、求所有值：,解：由于,所以有,有四個根。,復球面與無窮大:,,,無窮遠點:,對應于球極射影為N，我們引入一個新的非正常復數(shù)無窮遠點，,,稱 為擴充復平面，記為 。,無窮遠點:,關于無窮遠點，我們規(guī)定其實部、虛部、輻角無意義，模等于：,它和有限復數(shù)的基本運算為：,這些運算無意義：,第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.2 復變函數(shù),復變函數(shù)的定義:,注3、復變函數(shù)等

3、價于兩個實變量的實值函數(shù)： 若記 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 則f(z)等價于兩個二元實變函數(shù)u(x,y)和v(x,y) 。,函數(shù)的幾何意義:,函數(shù)f也稱為從E到C上的一個映射或映照。,函數(shù)的幾何意義:,單射，雙射，一一對應，反函數(shù)。,復變函數(shù)極限的定義,復變函數(shù)極限與實值函數(shù)極限,注解：,1、幾何意義： 2、與重極限的關系： 3、四則運算：保持加、減乘除（分母不等于零）,復變函數(shù)連續(xù)性的定義,,復變函數(shù)連續(xù)性與實值函數(shù)連續(xù)性的關系,,注1、實初等函數(shù)在其有定義的地方連續(xù)。,注解：,1、四則運算：保持加、減乘除（分母不等于零）； 2、復合運

4、算； 3、關于實變連續(xù)的函數(shù)的基本性質(zhì)也可以推廣過來：如一致連續(xù)性、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（一致連續(xù)性、有界性、取到極大模和極小模等）。 4、同樣我們也可以定義非正常極限。,例6,2.1 解析函數(shù),導數(shù),解析,Cauchy-Riemann方程,解析的充要條件,2.2(1)初等函數(shù) (1)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)的定義：,指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的定義：,對數(shù)函數(shù)的主值：,三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：,,,,,,,,,對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),2.2(2) 初等函數(shù) (2)三角函數(shù)與反三角函數(shù),三角函數(shù)的概念:,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,則對任何復數(shù)z，Euler公式也成立：,cosz和si

5、nz是單值函數(shù)； cosz偶，sinz奇;,所有三角公式也成立.,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,cosz和sinz以 為周期,零點也與實的一樣.,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,不成立:,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,在整個復平面解析：,其它三角函數(shù),反三角函數(shù),掌握計算表達式的推導方法,2.2(3)初等函數(shù) （3） 冪函數(shù) 雙曲、反雙曲函數(shù),冪函數(shù)的定義:,,當a為正實數(shù)，且z=0時，還規(guī)定,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,等于n次方根.,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,其中 應當理解為某個分支。,雙曲函數(shù),chz和shz以2pi為周期, chz偶, shz奇 (chz)=shz, (shz)=chz,反雙曲函

6、數(shù)計算公式的推導方法類似于反三角函數(shù),第三章 復變函數(shù)的積分,3.1復積分定義、性質(zhì)及計算,,,復積分定義:分割,取點,求和,取極限.,直接計算法:把曲線參數(shù)方程代入化 為定積分.,存在性:連續(xù)函數(shù)必可積.,性質(zhì):反向變號,線性,模不等式.,一個重要例題:,3.2- 3.3 柯西-古薩基本定理 復合閉路定理 原函數(shù)與不定積分,沿某一條曲線,第三章 復變函數(shù)的積分,柯西-古薩基本定理,連續(xù)變形原理,復合閉路定理,“牛萊公式”,回憶以上內(nèi)容,并總結(jié)一下 求積分的方法,第三章 復變函數(shù)的積分,3.4-3.5柯西積分公式高階導數(shù)公式*調(diào)和函數(shù),第三章 復變函數(shù)的積分 復積分的定義、性質(zhì)及計算 柯西定理

7、 復合閉路定理 原函數(shù)與不定積分,本章小結(jié),柯西積分公式高階導數(shù)公式*調(diào)和函數(shù),分割,取點,求和,取極限.,復積分概念:,柯西-古薩定理:,,,D,C,,復合閉路定理:,,,,D,C,,,閉路變形原理:,,,,一個重要的結(jié)果:,,z0,,r,,. z0,更一般:,積分的模不等式:,,. z0,柯西積分公式:,z0,,,平均值公式:,,. z0,D,C,高階導數(shù)公式:,解析函數(shù)的無窮可微性（重要特性）,由復合閉路定理,,典型例子:,更一般地,,高階導數(shù)公式的應用（補充知識,不要求掌握）,柯西不等式:,,z0,,C,劉維爾:復平面上解析且有界的復函數(shù)是常數(shù).,代數(shù)基本定理:在復平面上n次多項式至少

8、有一個零點.,實部和虛部調(diào)和;調(diào)和是實部,也是虛部.,由實部或虛部求解析函數(shù): 偏積分法,不定積分法,線積分法.,解析與調(diào)和,總之,本章介紹了復積分的概念和幾個積分定理和公式,核心是掌握復積分的計算.已介紹的方法有:,提要,此外,還有用級數(shù)計算(ch4),用留數(shù)計算(ch5).,(1)將曲線的參數(shù)方程代入，化為定積分;,(2)求不定積分，用牛頓-萊布尼茲公式計算;(前提條件?),(3)用柯西積分公式以及高階導數(shù)公式計算.,另外,要掌握已知解析函數(shù)的實部或虛部求解析函數(shù)的方法(偏積分法、不定積分法、線積分法)(掌握一種).,第四章 級 數(shù),4.1(1)復(函)數(shù)項級數(shù),復數(shù)序列,zn,,,,極限

9、,定理:序列zn收斂（于z0）的必要與充分條件是：序列an收斂（于a）以及序列bn收斂（于b）。(充要條件)(歸結(jié)性),復數(shù)項級數(shù)就是,部分和序列：,如果序列 收斂，那么我們說級數(shù) 收斂；,定理:如果級數(shù) 收斂，那么,充要條件,歸結(jié)性?,絕對收斂,相對收斂,定理: 級數(shù) 絕對收斂的充要條件是：,級數(shù) 以及 絕對收斂.,定理: 若級數(shù)絕對收斂，則它一定收斂。,,柯西收斂原理（復數(shù)項級數(shù)）：級數(shù),收斂必要與充分條件是：任給,可以找到一個正整數(shù)N，使得當nN，p=1,2,3,時,柯西收斂原理（復數(shù)序列）：序列,收斂必要與充分條件是：任給,可以找到一個正整數(shù)N，使得當m及nN，,定理: 如果復數(shù)

10、項級數(shù) 及 絕對收斂,并且它們的和分別為,那么級數(shù)（它們的柯西積）,也絕對收斂，并且它的和為,(證略),4.1(2)復(函)數(shù)項級數(shù),函數(shù)項級數(shù),復變函數(shù)項級數(shù):,部分和: sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z),復變函數(shù)項級數(shù),在 z0 收斂:,和: s(z0).,在D內(nèi)處處收斂, 則有 和函數(shù)s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...,函數(shù)項級數(shù),冪級數(shù),定理(阿貝爾Abel),,,,,z0,x,y,O,冪級數(shù),收斂圓.,在收斂圓的外部, 級數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.,收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.,在收斂圓上是否收斂, 則

11、不一定.,冪級數(shù),冪級數(shù),收斂半徑的求法:,冪級數(shù),冪級數(shù),冪級數(shù)的運算和性質(zhì):,更為重要的是代換(復合)運算:,這個代換運算, 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時, 有著廣泛的應用.,冪級數(shù),冪級數(shù)的運算和性質(zhì):,冪級數(shù),冪級數(shù)的運算和性質(zhì):,冪級數(shù),冪級數(shù)的運算和性質(zhì):,3) 可逐項積分, 即,第四章 級 數(shù),4.2 泰勒級數(shù),泰勒展開式定理,定理 設函數(shù)f(z)在圓盤,內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，,解析函數(shù)的冪級數(shù)刻畫,定理 函數(shù)f(z)在一點z0解析的必要與充分條件是：它在z0的某個鄰域內(nèi)有冪級數(shù)展式。,解析函數(shù)冪級數(shù)展式的唯一性定理,定理 在冪級數(shù)展開式定理中，冪級數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種

12、形式的冪級數(shù)。 注解：于是,我們可以用多種方法求一個函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。常用的方法有:直接法-直接計算系數(shù)法,間接法-代換(復合)運算法、導數(shù)(或積分)法.,,,例1、求函數(shù),牢記這三個函數(shù)的展式!,sinz, cosz=?,例2、,|z|<1。,例3、 求,的解析分支 在z=0的泰勒展式（其中a不是整數(shù)）.,|z|<1,例3、,其中,這是二項式定理的推廣，對a為整數(shù)情況也成立。,例4、,函數(shù)sec z 在,解析函數(shù)的零點,z0是f(z)的m階零點,單零點。,如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個m階零點，那么顯然在它的一個鄰域U內(nèi),其中 在U內(nèi)解析。,解析函數(shù)的零點,定理 設

13、函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個零點，那么或者f(z)在z0的一個鄰域內(nèi)恒等于零，或者存在著z0的一個鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點。,此性質(zhì)我們稱為解析函數(shù)零點的孤立性。,解析函數(shù)的唯一性(補充知識,不作要求),定理（解析函數(shù)的唯一性定理）設函數(shù)f(z)及g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。設zk是D內(nèi)彼此不同的點(k=1,2,3,)，并且點列zk在D內(nèi)有極限點。如果，,那么在D內(nèi)，f(z)=g(z)。,重點,掌握泰勒展開式定理的內(nèi)容,會求一個給定的函數(shù)的泰勒展開式(直接法或間接法).,第四章 級 數(shù),4.3 洛朗級數(shù),,解析函數(shù)的洛朗展式：,我們稱級數(shù),為洛朗級數(shù)。 收斂?和函數(shù)?收斂

14、域?解析部分?主要部分?,洛朗級數(shù)的和函數(shù)是圓環(huán)D內(nèi)的解析函數(shù)， 反之,圓環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)必可展開為洛朗級數(shù) 即有,洛朗定理：,洛朗定理 設函數(shù)f(z)在圓環(huán)：,內(nèi)解析，那么在D內(nèi),其中，,是圓 是一個滿足 的任何數(shù)。并且,展式是唯一的.,求洛朗展式一般用間接法,要求掌握好.,第四章 級 數(shù),4.4 孤立奇點,,,解析函數(shù)的孤立奇點：,為f(z)的孤立奇點:,孤立奇點的分類可去奇點：,(1)可去奇點:無負冪項.,孤立奇點的分類-極點：,（2 ) 極點:有有限個負冪項.,單極點,m階極點.,孤立奇點的分類本性奇點：,（3）、本性奇點:無限多負冪項,可去奇點的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解

15、析，那么 是f(z)的可去奇點的必要與充分條件是：存在著極限，,其中 是一個復數(shù)。,可去奇點的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點的必要與充分條件是：存在某一個正數(shù) ,使得f(z)在 內(nèi)有界。,極點的刻畫：,定理 設函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的極點的必要與充分條件是：,極點的刻畫：,定理 (m階極點的結(jié)構(gòu) ) z0是函數(shù)f(z)的m階 極點的充要條件是存在某個正數(shù),使得在 內(nèi)f(z)可以表示為,本性奇點的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的本性奇點的必要與充分條件是：不存在有限或無窮極限,解析函數(shù)在

16、無窮遠點的性質(zhì),設函數(shù)f(z)在區(qū)域,內(nèi)解析，那么無窮遠點稱為f(z)的孤立奇點。在這個區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：,解析部分,主要部分.,解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì),（1）可去奇點:無正冪項.,（2）極點:有有限個正冪項.,單極點,m階極點.,（3）本性奇點:無限多個正冪項.,在無窮遠點解析.,解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì),設無窮遠點為f(z)的孤立奇點,,令 ，,如果w=0是 的可去奇點、（m階）極點或本性奇點，那么分別說 是f(z)的可去奇點、（m階）極點或本性奇點。,等價地可定義:,解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì),定理 設函數(shù)f(z)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點的

17、必要與充分條件是：存在著某一個正數(shù) ，使得f(z)在 內(nèi)有界。,定理 設函數(shù)f(z)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點、極點或本性奇點的必要與充分條件是：,存在著極限 、無窮極限或不存在有限或無窮的極限 。,第五章 留數(shù),5.1 留數(shù),,,如果z0是f(z)的孤立奇點,我們把積分,留數(shù)的概念,定義為f(z)在孤立奇點z0的留數(shù)，記作,其中C是繞z0的正向簡單閉曲線,f(z)在C上及C內(nèi)解析.,注解,注解2(定理) f(z)在孤立奇點z0的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中,的系數(shù)。,注解3、如果z0是f(z)的可去奇點，那么,留數(shù)定理,定理1.1（留數(shù)定理）設D是在復平面上的一

18、個有界區(qū)域，其邊界C是簡單閉曲線或復合閉路。設f(z)在D內(nèi)除去有孤立奇點,外，在每一點都解析，并且它在C上每一點都解析，那么我們有：,這里沿C的積分是按關于區(qū)域D的正向取的。,留數(shù)定理的基本思想,,,,,,,,留數(shù)的求法:,1) 可去奇點(或解析): 0,2)本性奇點: 展為洛朗級數(shù),再用,3) 極點: (1)用公式I,II,III,IV （重點方法）,(2)展為洛朗級數(shù),再 用,一階極點留數(shù)的計算：,設z0是f(z)的一個一階極點。因此在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi),其中,在這個圓盤內(nèi)包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒級數(shù)展式是：,一階極點留數(shù)的計算：,1)如果容易求出 的泰勒級數(shù)展

19、式，那么由此可得,一階極點留數(shù)的計算：,如果在上述去掉中心z0的圓盤內(nèi)（ ），,其中P(z)及Q(z)在這圓盤內(nèi)包括在z0解析，,z0是Q(z)的一階零點，并且Q(z)在這圓盤內(nèi)沒有 其他零點，那么z0是f(z)的一階極點，且,高階極點留數(shù)的計算：,設z0是f(z)的 一個k階極點(k1)。則在去掉中心z0 的某一圓盤內(nèi),其中 在這個圓盤內(nèi)包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒級數(shù)展式是：,高階極點留數(shù)的計算：,1)如果容易求出 的泰勒級數(shù)展式，那么,用留數(shù)計算復積分,,例1 計算積分,C為正向圓周:|z|=2.,解:由于,,有兩個一級極點,+1,-1,而且都在圓周C內(nèi),所以,,定義：設

20、函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析, C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線, 則積分,的值與具體的C無關, 稱其為f(z)在點的留數(shù), 記作,在無窮遠點的留數(shù)-定義,定理（留數(shù)和定理） 如果f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點, 那末f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.,在無窮遠點的留數(shù)-留數(shù)和定理,在無窮遠點的留數(shù)-留數(shù)的計算,,無窮遠點留數(shù)的計算公式:,,在無窮遠點的留數(shù)-用于計算復積分,例2 計算積分,解 :,在無窮遠點的留數(shù)-用于計算復積分,計算后兩個留數(shù)較方便.,第五章 留數(shù),5.2 留數(shù)在定積分計算上的應用,,,一.型如,的積分，其中R(x,y)是有理分式被積函數(shù)是t的連續(xù)函數(shù).,留數(shù)定理的應用-實積分的計算:,解法：令 ，那么,原積分化為 再用留數(shù)求此積分.,的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次，即積分絕對收斂。,留數(shù)定理的應用-實積分的計算:,二.型如,解法:均如下例.,,例2、 計算積分,,留數(shù)定理的應用-實積分的計算:,Thank you!,How beautiful the sea is!,,Lets have a rest!,