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1、,教材：吳，復(fù)變函數(shù)，華工出版社 參考:1西安交大，復(fù)變函數(shù)，高教出版社 2楊綸標(biāo)，復(fù)變函數(shù)，科學(xué)出版社,復(fù)變函數(shù)論,多媒體教學(xué)課件,覃永安 15302276149 2010.9,第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1.1 復(fù)數(shù),復(fù)數(shù):,復(fù)數(shù)相等是指?虛數(shù)? 純虛數(shù)?,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算:,復(fù)平面:,,復(fù)平面:,模：,非零復(fù)數(shù)的輻角：,復(fù)數(shù)的共軛：,復(fù)數(shù)的三角表示:,復(fù)數(shù)加、減法的幾 何表示如下圖：,,基本不等式:,例1試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:,例2,設(shè) 、 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：,,三角表示的乘法：,三角表示的乘法：,歐拉公式；指數(shù)表示式；三種表示式的互化:關(guān)鍵是會(huì)用
2、 表示幅角。,復(fù)數(shù)的乘冪：,復(fù)數(shù)的乘冪：,可以看到，k=0,1,2,,n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的值，即z有n個(gè)n次方根，其模相同，輻角相差一個(gè)常數(shù)，均勻分布于一個(gè)圓上。 這樣，復(fù)數(shù)的乘冪可以推廣到有理數(shù)的情形。,例5、求所有值：,解：由于,所以有,有四個(gè)根。,復(fù)球面與無窮大:,,,無窮遠(yuǎn)點(diǎn):,對應(yīng)于球極射影為N，我們引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，,,稱 為擴(kuò)充復(fù)平面，記為 。,無窮遠(yuǎn)點(diǎn):,關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們規(guī)定其實(shí)部、虛部、輻角無意義，模等于：,它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為：,這些運(yùn)算無意義：,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)變函數(shù),復(fù)變函數(shù)的定義:,注3、復(fù)變函數(shù)等
3、價(jià)于兩個(gè)實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)： 若記 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 則f(z)等價(jià)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)和v(x,y) 。,函數(shù)的幾何意義:,函數(shù)f也稱為從E到C上的一個(gè)映射或映照。,函數(shù)的幾何意義:,單射，雙射，一一對應(yīng)，反函數(shù)。,復(fù)變函數(shù)極限的定義,復(fù)變函數(shù)極限與實(shí)值函數(shù)極限,注解：,1、幾何意義： 2、與重極限的關(guān)系： 3、四則運(yùn)算：保持加、減乘除（分母不等于零）,復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的定義,,復(fù)變函數(shù)連續(xù)性與實(shí)值函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系,,注1、實(shí)初等函數(shù)在其有定義的地方連續(xù)。,注解：,1、四則運(yùn)算：保持加、減乘除（分母不等于零）； 2、復(fù)合運(yùn)
4、算； 3、關(guān)于實(shí)變連續(xù)的函數(shù)的基本性質(zhì)也可以推廣過來：如一致連續(xù)性、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（一致連續(xù)性、有界性、取到極大模和極小模等）。 4、同樣我們也可以定義非正常極限。,例6,2.1 解析函數(shù),導(dǎo)數(shù),解析,Cauchy-Riemann方程,解析的充要條件,2.2(1)初等函數(shù) (1)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)的定義：,指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的定義：,對數(shù)函數(shù)的主值：,三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：,,,,,,,,,對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),2.2(2) 初等函數(shù) (2)三角函數(shù)與反三角函數(shù),三角函數(shù)的概念:,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,則對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：,cosz和si
5、nz是單值函數(shù)； cosz偶，sinz奇;,所有三角公式也成立.,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,cosz和sinz以 為周期,零點(diǎn)也與實(shí)的一樣.,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,不成立:,三角函數(shù)的基本性質(zhì):,在整個(gè)復(fù)平面解析：,其它三角函數(shù),反三角函數(shù),掌握計(jì)算表達(dá)式的推導(dǎo)方法,2.2(3)初等函數(shù) （3） 冪函數(shù) 雙曲、反雙曲函數(shù),冪函數(shù)的定義:,,當(dāng)a為正實(shí)數(shù)，且z=0時(shí)，還規(guī)定,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,等于n次方根.,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,其中 應(yīng)當(dāng)理解為某個(gè)分支。,雙曲函數(shù),chz和shz以2pi為周期, chz偶, shz奇 (chz)=shz, (shz)=chz,反雙曲函
6、數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)方法類似于反三角函數(shù),第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,3.1復(fù)積分定義、性質(zhì)及計(jì)算,,,復(fù)積分定義:分割,取點(diǎn),求和,取極限.,直接計(jì)算法:把曲線參數(shù)方程代入化 為定積分.,存在性:連續(xù)函數(shù)必可積.,性質(zhì):反向變號(hào),線性,模不等式.,一個(gè)重要例題:,3.2- 3.3 柯西-古薩基本定理 復(fù)合閉路定理 原函數(shù)與不定積分,沿某一條曲線,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,柯西-古薩基本定理,連續(xù)變形原理,復(fù)合閉路定理,“牛萊公式”,回憶以上內(nèi)容,并總結(jié)一下 求積分的方法,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,3.4-3.5柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式*調(diào)和函數(shù),第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 復(fù)積分的定義、性質(zhì)及計(jì)算 柯西定理
7、 復(fù)合閉路定理 原函數(shù)與不定積分,本章小結(jié),柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式*調(diào)和函數(shù),分割,取點(diǎn),求和,取極限.,復(fù)積分概念:,柯西-古薩定理:,,,D,C,,復(fù)合閉路定理:,,,,D,C,,,閉路變形原理:,,,,一個(gè)重要的結(jié)果:,,z0,,r,,. z0,更一般:,積分的模不等式:,,. z0,柯西積分公式:,z0,,,平均值公式:,,. z0,D,C,高階導(dǎo)數(shù)公式:,解析函數(shù)的無窮可微性（重要特性）,由復(fù)合閉路定理,,典型例子:,更一般地,,高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用（補(bǔ)充知識(shí),不要求掌握）,柯西不等式:,,z0,,C,劉維爾:復(fù)平面上解析且有界的復(fù)函數(shù)是常數(shù).,代數(shù)基本定理:在復(fù)平面上n次多項(xiàng)式至少
8、有一個(gè)零點(diǎn).,實(shí)部和虛部調(diào)和;調(diào)和是實(shí)部,也是虛部.,由實(shí)部或虛部求解析函數(shù): 偏積分法,不定積分法,線積分法.,解析與調(diào)和,總之,本章介紹了復(fù)積分的概念和幾個(gè)積分定理和公式,核心是掌握復(fù)積分的計(jì)算.已介紹的方法有:,提要,此外,還有用級數(shù)計(jì)算(ch4),用留數(shù)計(jì)算(ch5).,(1)將曲線的參數(shù)方程代入，化為定積分;,(2)求不定積分，用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算;(前提條件?),(3)用柯西積分公式以及高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算.,另外,要掌握已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部求解析函數(shù)的方法(偏積分法、不定積分法、線積分法)(掌握一種).,第四章 級 數(shù),4.1(1)復(fù)(函)數(shù)項(xiàng)級數(shù),復(fù)數(shù)序列,zn,,,,極限
9、,定理:序列zn收斂（于z0）的必要與充分條件是：序列an收斂（于a）以及序列bn收斂（于b）。(充要條件)(歸結(jié)性),復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)就是,部分和序列：,如果序列 收斂，那么我們說級數(shù) 收斂；,定理:如果級數(shù) 收斂，那么,充要條件,歸結(jié)性?,絕對收斂,相對收斂,定理: 級數(shù) 絕對收斂的充要條件是：,級數(shù) 以及 絕對收斂.,定理: 若級數(shù)絕對收斂，則它一定收斂。,,柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)）：級數(shù),收斂必要與充分條件是：任給,可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)nN，p=1,2,3,時(shí),柯西收斂原理（復(fù)數(shù)序列）：序列,收斂必要與充分條件是：任給,可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)m及nN，,定理: 如果復(fù)數(shù)
10、項(xiàng)級數(shù) 及 絕對收斂,并且它們的和分別為,那么級數(shù)（它們的柯西積）,也絕對收斂，并且它的和為,(證略),4.1(2)復(fù)(函)數(shù)項(xiàng)級數(shù),函數(shù)項(xiàng)級數(shù),復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù):,部分和: sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z),復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù),在 z0 收斂:,和: s(z0).,在D內(nèi)處處收斂, 則有 和函數(shù)s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...,函數(shù)項(xiàng)級數(shù),冪級數(shù),定理(阿貝爾Abel),,,,,z0,x,y,O,冪級數(shù),收斂圓.,在收斂圓的外部, 級數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.,收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.,在收斂圓上是否收斂, 則
11、不一定.,冪級數(shù),冪級數(shù),收斂半徑的求法:,冪級數(shù),冪級數(shù),冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì):,更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算:,這個(gè)代換運(yùn)算, 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.,冪級數(shù),冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì):,冪級數(shù),冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì):,冪級數(shù),冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì):,3) 可逐項(xiàng)積分, 即,第四章 級 數(shù),4.2 泰勒級數(shù),泰勒展開式定理,定理 設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤,內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，,解析函數(shù)的冪級數(shù)刻畫,定理 函數(shù)f(z)在一點(diǎn)z0解析的必要與充分條件是：它在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)有冪級數(shù)展式。,解析函數(shù)冪級數(shù)展式的唯一性定理,定理 在冪級數(shù)展開式定理中，冪級數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種
12、形式的冪級數(shù)。 注解：于是,我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。常用的方法有:直接法-直接計(jì)算系數(shù)法,間接法-代換(復(fù)合)運(yùn)算法、導(dǎo)數(shù)(或積分)法.,,,例1、求函數(shù),牢記這三個(gè)函數(shù)的展式!,sinz, cosz=?,例2、,|z|<1。,例3、 求,的解析分支 在z=0的泰勒展式（其中a不是整數(shù)）.,|z|<1,例3、,其中,這是二項(xiàng)式定理的推廣，對a為整數(shù)情況也成立。,例4、,函數(shù)sec z 在,解析函數(shù)的零點(diǎn),z0是f(z)的m階零點(diǎn),單零點(diǎn)。,如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個(gè)m階零點(diǎn)，那么顯然在它的一個(gè)鄰域U內(nèi),其中 在U內(nèi)解析。,解析函數(shù)的零點(diǎn),定理 設(shè)
13、函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個(gè)零點(diǎn)，那么或者f(z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)恒等于零，或者存在著z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點(diǎn)。,此性質(zhì)我們稱為解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性。,解析函數(shù)的唯一性(補(bǔ)充知識(shí),不作要求),定理（解析函數(shù)的唯一性定理）設(shè)函數(shù)f(z)及g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)zk是D內(nèi)彼此不同的點(diǎn)(k=1,2,3,)，并且點(diǎn)列zk在D內(nèi)有極限點(diǎn)。如果，,那么在D內(nèi)，f(z)=g(z)。,重點(diǎn),掌握泰勒展開式定理的內(nèi)容,會(huì)求一個(gè)給定的函數(shù)的泰勒展開式(直接法或間接法).,第四章 級 數(shù),4.3 洛朗級數(shù),,解析函數(shù)的洛朗展式：,我們稱級數(shù),為洛朗級數(shù)。 收斂?和函數(shù)?收斂
14、域?解析部分?主要部分?,洛朗級數(shù)的和函數(shù)是圓環(huán)D內(nèi)的解析函數(shù)， 反之,圓環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)必可展開為洛朗級數(shù) 即有,洛朗定理：,洛朗定理 設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)：,內(nèi)解析，那么在D內(nèi),其中，,是圓 是一個(gè)滿足 的任何數(shù)。并且,展式是唯一的.,求洛朗展式一般用間接法,要求掌握好.,第四章 級 數(shù),4.4 孤立奇點(diǎn),,,解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)：,為f(z)的孤立奇點(diǎn):,孤立奇點(diǎn)的分類可去奇點(diǎn)：,(1)可去奇點(diǎn):無負(fù)冪項(xiàng).,孤立奇點(diǎn)的分類-極點(diǎn)：,（2 ) 極點(diǎn):有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng).,單極點(diǎn),m階極點(diǎn).,孤立奇點(diǎn)的分類本性奇點(diǎn)：,（3）、本性奇點(diǎn):無限多負(fù)冪項(xiàng),可去奇點(diǎn)的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解
15、析，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著極限，,其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)。,可去奇點(diǎn)的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在某一個(gè)正數(shù) ,使得f(z)在 內(nèi)有界。,極點(diǎn)的刻畫：,定理 設(shè)函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的極點(diǎn)的必要與充分條件是：,極點(diǎn)的刻畫：,定理 (m階極點(diǎn)的結(jié)構(gòu) ) z0是函數(shù)f(z)的m階 極點(diǎn)的充要條件是存在某個(gè)正數(shù),使得在 內(nèi)f(z)可以表示為,本性奇點(diǎn)的刻畫：,定理 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的本性奇點(diǎn)的必要與充分條件是：不存在有限或無窮極限,解析函數(shù)在
16、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域,內(nèi)解析，那么無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級數(shù)展式：,解析部分,主要部分.,解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),（1）可去奇點(diǎn):無正冪項(xiàng).,（2）極點(diǎn):有有限個(gè)正冪項(xiàng).,單極點(diǎn),m階極點(diǎn).,（3）本性奇點(diǎn):無限多個(gè)正冪項(xiàng).,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)解析.,解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),設(shè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn),,令 ，,如果w=0是 的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么分別說 是f(z)的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。,等價(jià)地可定義:,解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),定理 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)的
17、必要與充分條件是：存在著某一個(gè)正數(shù) ，使得f(z)在 內(nèi)有界。,定理 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的必要與充分條件是：,存在著極限 、無窮極限或不存在有限或無窮的極限 。,第五章 留數(shù),5.1 留數(shù),,,如果z0是f(z)的孤立奇點(diǎn),我們把積分,留數(shù)的概念,定義為f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的留數(shù)，記作,其中C是繞z0的正向簡單閉曲線,f(z)在C上及C內(nèi)解析.,注解,注解2(定理) f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中,的系數(shù)。,注解3、如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn)，那么,留數(shù)定理,定理1.1（留數(shù)定理）設(shè)D是在復(fù)平面上的一
18、個(gè)有界區(qū)域，其邊界C是簡單閉曲線或復(fù)合閉路。設(shè)f(z)在D內(nèi)除去有孤立奇點(diǎn),外，在每一點(diǎn)都解析，并且它在C上每一點(diǎn)都解析，那么我們有：,這里沿C的積分是按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。,留數(shù)定理的基本思想,,,,,,,,留數(shù)的求法:,1) 可去奇點(diǎn)(或解析): 0,2)本性奇點(diǎn): 展為洛朗級數(shù),再用,3) 極點(diǎn): (1)用公式I,II,III,IV （重點(diǎn)方法）,(2)展為洛朗級數(shù),再 用,一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：,設(shè)z0是f(z)的一個(gè)一階極點(diǎn)。因此在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi),其中,在這個(gè)圓盤內(nèi)包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒級數(shù)展式是：,一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：,1)如果容易求出 的泰勒級數(shù)展
19、式，那么由此可得,一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：,如果在上述去掉中心z0的圓盤內(nèi)（ ），,其中P(z)及Q(z)在這圓盤內(nèi)包括在z0解析，,z0是Q(z)的一階零點(diǎn)，并且Q(z)在這圓盤內(nèi)沒有 其他零點(diǎn)，那么z0是f(z)的一階極點(diǎn)，且,高階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：,設(shè)z0是f(z)的 一個(gè)k階極點(diǎn)(k1)。則在去掉中心z0 的某一圓盤內(nèi),其中 在這個(gè)圓盤內(nèi)包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒級數(shù)展式是：,高階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：,1)如果容易求出 的泰勒級數(shù)展式，那么,用留數(shù)計(jì)算復(fù)積分,,例1 計(jì)算積分,C為正向圓周:|z|=2.,解:由于,,有兩個(gè)一級極點(diǎn),+1,-1,而且都在圓周C內(nèi),所以,,定義：設(shè)
20、函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析, C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線, 則積分,的值與具體的C無關(guān), 稱其為f(z)在點(diǎn)的留數(shù), 記作,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)-定義,定理（留數(shù)和定理） 如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn), 那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零.,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)-留數(shù)和定理,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)-留數(shù)的計(jì)算,,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式:,,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)-用于計(jì)算復(fù)積分,例2 計(jì)算積分,解 :,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)-用于計(jì)算復(fù)積分,計(jì)算后兩個(gè)留數(shù)較方便.,第五章 留數(shù),5.2 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,,,一.型如,的積分，其中R(x,y)是有理分式被積函數(shù)是t的連續(xù)函數(shù).,留數(shù)定理的應(yīng)用-實(shí)積分的計(jì)算:,解法：令 ，那么,原積分化為 再用留數(shù)求此積分.,的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次，即積分絕對收斂。,留數(shù)定理的應(yīng)用-實(shí)積分的計(jì)算:,二.型如,解法:均如下例.,,例2、 計(jì)算積分,,留數(shù)定理的應(yīng)用-實(shí)積分的計(jì)算:,Thank you!,How beautiful the sea is!,,Lets have a rest!,
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