（全國120套）2013年中考數學試卷分類匯編 解直角三角形（三角函數應用）

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1、解直角三角形（三角函數應用） 1、（綿陽市2013年）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60o，又從A點測得D點的俯角β為30o，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（ A ） A．20米 B．米 C．米 D．米 ［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB?cot∠ACB=30×cot60o=10米，DF=AF?tan30o=10×=10米， CD=AB-DF=30-10=20米。 2、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=

2、90°，若AB=4，sinA=，則斜邊上的高等于（　?。? 　 A． B． C． D． 考點：解直角三角形． 專題：計算題． 分析：在直角三角形ABC中，由AB與sinA的值，求出BC的長，根據勾股定理求出AC的長，根據面積法求出CD的長，即為斜邊上的高． 解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示， 在Rt△ABC中，AB=4，sinA=， ∴BC=ABsinA=2.4， 根據勾股定理得：AC==3.2， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴CD==． 故選B 點評：此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，熟練掌握定理

3、及法則是解本題的關鍵．　 3、（2013?綏化）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的長． 考點： 解直角三角形． 分析： 首先解Rt△ABD，求出AD、BD的長度，再解Rt△ADC，求出DC的長度，然后由BC=BD+DC即可求解． 解答： 解：∵AD⊥BC于點D， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°， ∴AD=AB=4，BD=AD=4． 在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴DC=AD=4， ∴BC=BD+DC=4+4． 點評： 本

4、題考查了解直角三角形的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是在直角三角形中利用解直角三角形的知識求出BD、DC的長度． 4、（2013?鄂州）著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數學家、發(fā)明家．他曾經設計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來．若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為　10　cm． 考點： 直角三角形斜邊上的中線． 分析： 連接OP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長，畫出的圓的半徑就是OP長． 解答：

5、 解：連接OP， ∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點， ∴OP=AB， ∵AB=20cm， ∴OP=10cm， 故答案為：10． 點評： 此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 5、（2013安順）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，則△ABC的面積為 ． 考點：解直角三角形． 專題：計算題． 分析：根據tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進行計算即可． 解答：解：∵tanA==， ∴AC=6， ∴△ABC的面積為×6×8=24． 故答案為：24．

6、點評：本題考查解直角三角形的知識，比較簡單，關鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式，從而得出三角形的兩條直角邊，進而得出三角形的面積．　 6、（11-4解直角三角形的實際應用·2013東營中考）某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30°，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米. 15. 9.解析：過B作BE⊥CD于點E，設旗桿AB的高度為x，在中，，所以，在中，，，，所以，因為CE=AB=x，所以，所以x=9，故旗桿的高度為

7、9米. 7、（2013?常德）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的長； （2）求tan∠DAE的值． 考點： 解直角三角形． 分析： （1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據勾股定理求出BD=2，然后根據BC=BD+DC即可求解； （2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據正切函數的定義即可求解． 解答： 解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高， ∴∠AD

8、B=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴AB==3， ∴BD==2， ∴BC=BD+DC=2+1； （2）∵AE是BC邊上的中線， ∴CE=BC=+， ∴DE=CE﹣CD=﹣， ∴tan∠DAE==﹣． 點評： 本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關鍵． 8、（13年山東青島、20）如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩

9、側的A、B兩點分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37° （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米 （參考數據：，，， ，，） 解析： 9、（2013?益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數據：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5

10、．請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置．（以A，B為參照點，結果精確到0.1米） （參考數據：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50） 考點： 解直角三角形的應用． 專題： 應用題． 分析： 設PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置． 解答： 解：設PD=x米， ∵PD⊥AB， ∴∠ADP=∠BDP=90°，

11、 在Rt△PAD中，tan∠PAD=， ∴AD=≈=x， 在Rt△PBD中，tan∠PBD=， ∴DB=≈=2x， 又∵AB=80.0米， ∴x+2x=80.0， 解得：x≈24.6，即PD≈24.6米， ∴DB=2x=49.2． 答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米． 點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數表示出相關線段的長度，難度一般． 10、（2013?婁底）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．

12、已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．（精確到0.1米，參考數據：） 考點： 解直角三角形的應用． 分析： 過點C作CD⊥AB于點D，設CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關于x的方程，解出即可． 解答： 解：過點C作CD⊥AB于點D， 設CD=x， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 則AD=CD=x， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 則BD=CD=x， 由題意得，x﹣x=4， 解得：x==2（+1）≈5.5． 答：生命所在點C的深度為5.5米

13、． 點評： 本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數知識表示出相關線段的長度，注意方程思想的運用． 11、（2013?包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′． （1）求OB的長； （2）當AA′=1米時，求BB′的長． 考點： 勾股定理的應用；解直角三角形的應用． 分析： （1）由已知數據解直角三角形AOB即可； （2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長即可． 解答：

14、 解：（1）根據題意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°， 在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=， ∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米， ∴OB的長為3米； （2）根據題意可知A′B′=AB=6米， 在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=， ∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米， ∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米， ∴OA′=8米， 在Rt△A′OB′中，OB′=2米， ∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米． 點評： 本題考查了勾股定理的應用和特殊角的銳角三角函數，是中考常見題型． 12、（2013?呼和浩特）如圖，A

15、、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經過C地沿折線A→C→B行駛，現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果保留根號） 考點： 解直角三角形的應用． 分析： 過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解． 解答： 解：過C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中， ∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， A

16、D=ACcos30°=5， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=5，BC=5， 則用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）． 答：汽車從A地到B地比原來少走（5+5﹣5）千米． 點評： 本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形． 13、（2013?巴中）2013年4月20日，四川雅安發(fā)生里氏7.0級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側地面上兩探測點A、B相距4米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定

17、生命所在點C的深度（結果精確到0.1米，參考數據≈1.41，≈1.73） 考點： 解直角三角形的應用． 分析： 過點C作CD⊥AB交AB于點D，則∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD=BD，在Rt△ADC中，AD=CD，然后根據AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可． 解答： 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點D． ∵探測線與地面的夾角為30°和60°， ∴∠CAD=30°，∠CBD=60°， 在Rt△BDC中，tan60°=， ∴BD==， 在Rt△ADC中，tan30°=， ∴AD==， ∵AB=AD﹣BD=4，

18、∴﹣=4， ∴CD=2≈3.5（米）． 答：生命所在點C的深度大約為3.5米． 點評： 本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉化為數學問題的能力． 14、（2013?舟山）某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米．校門關閉時，每個菱形的銳角度數為60°（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數從60°縮小為10°（如圖3）．問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數據：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈

19、0.9848）． 考點： 解直角三角形的應用；菱形的性質． 分析： 先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可． 解答： 解：如圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD． 根據題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米． ∵在菱形ABCD中，AB=AD， ∴△BAD是等邊三角形， ∴BD=AB=0.3米， ∴大門的寬是：0.3×20≈6（米）； 校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1． 根據題意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米． ∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠

20、B1A1O1=5°， ∴在Rt△A1B1O1中， B1O1=sin∠B1A1O1?A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米）， ∴B1D1=2B1O1=0.05232米， ∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米； ∴校門打開的寬度為：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）． 故校門打開了5米． 點評： 本題考查了菱形的性質，解直角三角形的應用，難度適中．解題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解． 15、（2013?紹興）如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘架所成的角∠BA

21、C，當傘收緊時，結點D與點M重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：cm 傘架 DE DF AE AF AB AC 長度 36 36 36 36 86 86 （1）求AM的長． （2）當∠BAC=104°時，求AD的長（精確到1cm）． 備用數據：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799． 考點： 解直角三角形的應用． 分析： （1）根據AM=AE+DE求解即可； （2）先根據角平分線的定義得出∠EAD=∠BAC=52°，再過點E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性質得出AD=2

22、AG，然后在△AEG中，利用余弦函數的定義求出AG的長，進而得到AD的長度． 解答： 解：（1）由題意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）． 故AM的長為72cm； （2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°， ∴∠EAD=∠BAC=52°． 過點E作EG⊥AD于G， ∵AE=DE=36， ∴AG=DG，AD=2AG． 在△AEG中，∵∠AGE=90°， ∴AG=AE?cos∠EAG=36?cos52°=36×0.6157=22.1652， ∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）． 故AD的長約為44cm． 點評： 本題考查了解直角三角

23、形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角函數的定義，難度適中． 　 16、(2013年南京)已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖j，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾 角為a；如圖k，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為b。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示) j O A B A B a H O b H k 解析：解：在Rt△AHO中，sina= ，∴OA= 。 在Rt△BHO中，sinb= ，∴OB= 。 ∵AB=4，∴OA+OB=4，即 + =

24、4。∴OH= (m)。 (8分) (2013年江西省)如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120°．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示． （1）求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01） （2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結果保留π的整數倍） （參考數據：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科學計算器） 【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉的最大

25、角度為180°?． 連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH， ∵∠OAB=120°， ∴∠OAE=60° 在Rt△OAE中， ∵∠OAE=60°，OA=10， ∴sin∠OAE==， ∴OE=5， ∴AE=5. ∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中， ∵OE=5，EB=53， ∴OB===2≈53.70； （2）∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱， ∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD， ∴雨刮桿AB掃過的最大面積S=π(OB2－OA2)

26、 =1392π. 【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經驗，弄不懂題意（提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）． 【解題思路】 將實際問題轉化為數學問題，（1）AB旋轉的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由∠OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊O

27、B的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）. 【方法規(guī)律】 將斜三角形轉化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量. 【關鍵詞】 刮雨器 三角函數 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積 17、（2013陜西）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m。已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高C

28、D的長.（結果精確到0.1m） B A E C D N M 第21題圖 考點：此題考查穩(wěn)定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的應用測量高度，寬度等線段的長度的具體計算，將問題轉換成方程（組）來求解，經常設置的具體的實際情景得到與測量相關的計算； 解析：本題考查的是典型的測量問題之中心投影下的測量，而此問題設置基本上就是應用相似的性質來將實際問題轉化成數學問題來解決， 解：如圖，設CD長為m ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC=CD=，∴△ABN∽△ACD ∴ 即 解得 所以路燈高CD約為6.1

29、米 18、（2013年濰坊市）如圖1所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構成一個大的長方形.現將小長方形繞點順時針旋轉至,旋轉角為. （1）當點恰好落在邊上時，求旋轉角的值； （2）如圖2，為的中點，且0°＜＜90°，求證：； （3）小長方形繞點順時針旋轉一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉角的值；若不能，說明理由. 答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=,∴α=30° (2) ∵G為BC中點，∴GC=CE′=CE=1， ∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α, ∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D (3) 能. α=135°或α=315° 考點：圖形的旋轉、三角函數、解直角三角形、全等三角形的判定 點評：本題依據學生的認知規(guī)律，從簡單特殊的問題入手，將問題向一般進行拓展、變式，通過操作、觀察、計算、猜想等獲得結論.此類問題綜合性較強，要完成本題學生需要有較強的類比、遷移、分析、變形應用、綜合、推理和探究能力．