2020屆山西省太原五中高三3月模擬數(shù)學文試題版.doc

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1、2020屆山西省太原五中高三3月模擬數(shù)學（文）試題 一、單選題 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式，化簡集合，根據(jù)交集定義即可求解. 【詳解】 因為，所以. 故選:D 【點睛】 本題考查集合間的運算，解對數(shù)不等式是解題的關鍵，屬于基礎題. 2．已知復數(shù)，則（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算化簡，再計算其模. 【詳解】 解：因為， 所以. 故選： 【點睛】 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的計算以及復數(shù)的模，屬于基礎題. 3．已知向量，向量，則向量在方向

2、上的投影為（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)向量在方向上的投影，帶入數(shù)值即可. 【詳解】 向量在方向上的投影. 故選：B 【點睛】 本題主要考查向量的投影，熟記公式是解決本題的關鍵，屬于簡單題. 4．若過橢圓內(nèi)一點P（2，1）的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為（　?。? A．8x+9y﹣25＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 【答案】A 【解析】設出A、B坐標，利用平方差法，求直線的斜率，然后求直線方程． 【詳解】 設弦的兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），P為AB中點， 因為

3、A，B在橢圓上， 所以，， 兩式相減得：， 因為x1+x2＝4，y1+y2＝2， 可得：， 則k，且過點P（2，1）， 所以y﹣1（x﹣2）， 整理得8x+9y﹣25＝0． 故選：A． 【點睛】 本題主要考查直線與橢圓的位置關系，點差法的運用，還考查學生的計算能力，屬于中檔題． 5．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】構造函數(shù)，證明是奇函數(shù)，單調(diào)遞增，再將所求的不等式轉化成關于函數(shù)相關形式，利用的性質(zhì)，解出不等式，得到答案. 【詳解】 因為 設，定義域 ，所以為奇函數(shù)， ， 所以單調(diào)遞增， 不等式

4、 解得 故選C項. 【點睛】 本題考查構造函數(shù)解不等式，函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題. 6．已知命題p：?x∈R，x2>0，命題q：?α,β∈R，使tan(α+β)=tanα+tanβ，則下 列命題為真命題的是（ ） A．p∧q B．p∨(q) C．(p)∧q D．p∧(q) 【答案】C 【解析】試題分析：因為?x∈R，x2≥0，所以命題p是假命題，因為當α=?β時，tan(α+β)=tanα+tanβ，所以命題q是真命題，所以p∧q是假命題，p∨(q)是假命題，(p)∧q是真命題，p∧(q)是假命題，故選C． 【考點】1、全稱命題和特稱命題的真假性；2、復合命

5、題的真假性． 7．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設現(xiàn)在青蛙在葉上，則跳三次之后停在葉上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【詳解】 若按照順時針跳的概率為，則按逆時針方向跳的概率為，可得，解得，即按照順時針跳的概率為，按逆時針方向跳的概率為，若青蛙在葉上，則跳次之后停在葉上，則滿足次逆時針或者次順時針.①若先按逆時針開始從，則對應的概率為；②若先按順時針開始從，則對應的概率為，則概率為，故選A. 8．莊子說：“一尺之錘，日取其半，

6、萬世不竭”，這句話描述的是一個數(shù)列問題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S∈（，），則輸入的n的值為（　?。? A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】模擬程序的運行，依次寫出前幾次循環(huán)得到的S，k的值，由題意，說明當算出的值S∈（，）后進行判斷時判斷框中的條件滿足，即可求出此時的n值． 【詳解】 框圖首先給累加變量S賦值0，給循環(huán)變量k賦值1， 輸入n的值后，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝1+1＝2； 判斷2＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝2+1＝3； 判斷3＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝3+1＝4； 判斷4＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+

7、1＝5． 判斷5＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+1＝6． 判斷6＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+1＝7． … 由于輸出的S∈（，），可得：當S，k＝6時，應該滿足條件6＞n， 即：5≤n＜6， 可得輸入的正整數(shù)n的值為5． 故選：C． 【點睛】 本題考查了程序框圖中的循環(huán)結構，是直到型循環(huán)，即先執(zhí)行后判斷，不滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足跳出循環(huán)，算法結束，屬于基礎題． 9．函數(shù)在的圖像大致為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可判斷. 【詳解】 解：因為，所以為奇函數(shù)，關于原點對稱，故排除，又因為，，

8、，，故排除、, 故選：D. 【點睛】 本題考查函數(shù)圖象的識別，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊值法靈活判斷，屬于基礎題. 10．如圖，在長方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則該長方體外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先做出與所成角的角下圖中的，設用表示，然后用余弦定理求出，求出長方體的對角線，即長方體的外接球的直徑，可求出答案. 【詳解】 連與交于點,則為中點， 取中點，連，則 為異面直線與所成角, 設則，，， 在中，由余弦定理得 ，解得 ， 所以長方體的對角線長為 所以長方體的外接球的半徑為， 所以長方體外接球的

9、表面積為. 故選:B 【點睛】 本題考查異面直線所成的角，余弦定理，以及長方體外接球的表面積，做出空間角，解三角形是解題的關鍵，屬于較難題. 11．若，當x∈[0，1]時，f（x）＝x，若在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)，有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)當x∈[0，1]時，f（x）＝x，當x∈（﹣1，0）時，x+1∈（0，1），得到f（x），故f（x），題目問題轉化為函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個交點，在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，利用數(shù)形結合法即可求出m的取值范圍． 【詳解】 根據(jù)題意

10、，，又當x∈[0，1]時，f（x）＝x， 故當x∈（﹣1，0）時，x+1∈（0，1），則f（x）+1， 所以f（x）， 故f（x）， 因為在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個零點， 所以方程f（x）＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個根， 所以函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個交點， 而函數(shù)y＝m（x）恒過定點（，0），在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示： ， 當y＝m（x）過點（1，1）時，斜率m， 當y＝m（x）過點（1，0）時，斜率m＝0， 由圖象可知，當0＜m時，兩個函數(shù)圖象有兩個交點， 即有兩個零點， 故選：B． 【點睛】 本題主

11、要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關系，以及直線過定點問題，屬于中檔題． 12．已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則有（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求導f′（x）＝x﹣aex，將問題轉化為有兩根為x1，x2，設，利用導數(shù)法研究其圖象利用數(shù)形結合法求解. 【詳解】 依題意：f′（x）＝x﹣aex，則f′（x）＝0的兩根為x1，x2，即的兩根為x1，x2， 設，則，令g′（x）＝0，解得x＝1， ∴g（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)g（x）的圖象如下， 由圖可知，0＜x1＜1，x2＞1， 當x∈（

12、﹣∞，x1）∪（x2，+∞）時，，則f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減， 當x∈（x1，x2）時，，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增， ∴f（x）極小值，又x1∈（0，1）， 故， f（x）極大值，又x2∈（1，+∞）， 故． 故選：A． 【點睛】 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查轉化思想及數(shù)形結合思想，運算求解能力，屬于中檔題. 二、填空題 13．已知實數(shù)滿足，則的最小值是______________. 【答案】 【解析】先畫出不等式組對應的可行域，再利用數(shù)形結合分析解答得解. 【詳解】 畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示. 由題得y=

13、-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系， 平移直線， 易知當直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最小，目標函數(shù)取得最小值，且. 故答案為：-8 【點睛】 本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結合分析能力. 14．在區(qū)間[﹣2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m=　_________?。? 【答案】3 【解析】【詳解】 如圖區(qū)間長度是6，區(qū)間[﹣2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，若m對于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3． 故答案為3． 15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為

14、a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，，△ABC的面積記為S，則當取最小值時，ab＝_____ 【答案】． 【解析】由正弦定理化簡已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cosC，可求角C，進而由題意，利用三角形的面積公式，基本不等式即可求解． 【詳解】 ∵（a+b）sinB＝csinC﹣asinA， ∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab， ∴cosC， ∵C∈（0，π）， ∴C， ∵△ABC的面積記為S，2，當且僅當S， 即SabsinCab時等號成立，解得此時ab． 故答案為：． 【點睛】 本題主要考查了正弦定

15、理，余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式在解三角形中的綜合應用，還考查了轉化思想和運算求解能力，屬于中檔題． 16．如圖，正方形和正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經(jīng)過兩點，則_________． 【答案】 【解析】試題分析：因為是拋物線的焦點，所以，因為正方形的邊長為，所以，因為在拋物線上，所以，即，所以，解得或，因為，所以． 【考點】拋物線的幾何性質(zhì)． 【方法點晴】本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)及其應用，其中解答中涉及到拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答紅球的拋物線的焦點坐標，得到四邊形

16、的面積，列出關于的方程是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 三、解答題 17．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） 【解析】試題分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，利用正弦定理化簡，再利用誘導公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值

17、試題解析： （Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴2b=a+c， 利用正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列， ∴b2=ac， ∴cosB==≥=， 當且僅當a=c時等號成立， ∴cosB的最小值為． 【考點】余弦定理；正弦定理 18．如圖所示的多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F(xiàn)為線段PB上的一點，∠CDP＝120，AD＝3，AP＝5，． （Ⅰ）試確定

18、點F的位置，使得直線EF∥平面PDC； （Ⅱ）若PB＝3BF，求直線AF與平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）設F為BP中點，取AP中點G，連結EF、EG、FG，推導出GF∥AB∥CD，EG∥DP，從而平面GEF∥平面PDC，進而當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC． （Ⅱ）以D為原點，DC為x軸，在平面PDC中過D作CD垂線為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的一個法向量，的坐標，代入公式sinθ求解． 【詳解】 （Ⅰ）設F為BP中點，取AP中點G，連結EF、EG、FG， ∵A

19、D⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點， ∴GF∥AB∥CD，EG∥DP， ∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC， ∵EF?平面GEF， ∴當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC． （Ⅱ）以D為原點，DC為x軸，在平面PDC中過D作CD垂線為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標系， ∵E為AD的中點，F(xiàn)為線段PB上的一點，∠CDP＝120，AD＝3，AP＝5，． ∴cos120，解得CD＝6， 所以A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2，0），C（6，0，0）， 設F（a，b，c），由PB＝3BF，得， 即（a﹣6

20、，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3）， 解得a，b，c＝2，∴F（，，2）， （，﹣1），（0，0，3），（﹣8，2，0）， 設平面PBC的一個法向量（x，y，z）， 則，取x＝1，得（1，，0）， 設直線AF與平面PBC所成角為θ， 則直線AF與平面PBC所成角的正弦值為： ． 【點睛】 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，還考查了轉化化歸的思想和運算求解能力，屬于中檔題． 19．2016年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)、搶紅包，現(xiàn)假設某人將688元發(fā)成手氣紅包50個，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如表：

21、 （I）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率； （Ⅱ）估計手氣紅包金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）； （Ⅲ）在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率． （i）若紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)為最佳運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率； （ii）隨機抽取手氣紅包金額在[1，5）∪[﹣21，25]內(nèi)的兩名幸運者，設其手氣金額分別為m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.44；（Ⅲ）（i），（ii）． 【解析】（Ⅰ）由題意利用互斥事件概率加法公式能求出產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率． （Ⅱ）先求出手氣紅包

22、在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]內(nèi)的頻率，由此能求了出手氣紅包金額的平均數(shù)． （Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人，由此能求出搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率．（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人，在[21，25]內(nèi)有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）． 【詳解】 （Ⅰ）由題意得產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率： p， ∴產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率為． （Ⅱ）手氣紅包在[1，5）內(nèi)的頻率為0.06， 手氣紅包在[5，9）內(nèi)的頻率為0.

23、18， 手氣紅包在[9，13）內(nèi)的頻率為0.34， 手氣紅包在[13，17）內(nèi)的頻率為0.22， 手氣紅包在[17，21）內(nèi)的頻率為0.16， 手氣紅包在[21，25]內(nèi)的頻率為0.04， 則手氣紅包金額的平均數(shù)為： 30.06+70.18+110.34+150.22+190.16+230.04＝12.44． （Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人， ∴搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率p． （ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人， 設紅包金額分別為a，b，c，在[21，25]內(nèi)有2人， 設紅包金額分別為x，y， 若m，n均在[1，5

24、）內(nèi)，有3種情況：（a，b），（a，c），（b，c）， 若m，n均在[21，25]內(nèi)只有一種情況：（x，y）， 若m，n分別在[1，5）和[21，25）內(nèi)，有6種情況， 即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）， ∴基本事件總數(shù)n＝10， 而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6種， ∴P（|m﹣n|＞16）． 【點睛】 本題考查頻率分布表的應用以及概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題. 20．已知橢圓C：的離心率為，與坐標軸分別交于A，B兩點，且經(jīng)過點Q（，1）． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程； （Ⅱ）若P（m，n）為橢圓C外

25、一動點，過點P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2，求動點P的軌跡方程，并求△ABP面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）由離心率及橢圓過的點的坐標，及a，b，c之間的關系可得a，b的值，進而求出橢圓的方程； （Ⅱ）過P的兩條切線分斜率存在和不存在兩種情況討論，當斜率不存在時，直接由橢圓的方程可得切點A，B的坐標，當切線的斜率存在且不為0時，設過P的切線方程，與橢圓聯(lián)立．由判別式等于0可得參數(shù)的關系，進而可得PA，PB的斜率之積，進而可得m，n之間的關系，即P的軌跡方程，顯然切線斜率不存在時的點P也在軌跡方程上；因為PA，PB互相垂直，所以三角形PAB的面積為S

26、△ABP|PA|?|PB|，當且僅當|PA|＝|PB|時取等號，此時得到點P的坐標求解. 【詳解】 （Ⅰ）由題意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2， 所以橢圓的方程為：1； （Ⅱ）設兩個切點分別為A，B，①當兩條切線中有一條斜率不存在時， 即A，B兩點分別位于橢圓的長軸和短軸的端點，此時P的坐標為：（2，）， ②當兩條切線的斜率存在且不為0時，設過P的切線的方程為：y﹣n＝k（x﹣m）， 聯(lián)立直線y﹣n＝k（x﹣m）和橢圓的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0， 由題意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[

27、2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1?k2， 設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1?k2， 而PA，PB互相垂直，所以1， 即m2+n2＝6，（m≠2）， 又因為P（2，）在m2+n2＝6上， 所以點P在圓x2+y2＝6上． 因為l1⊥l2， 所以S△ABP|PA|?|PB|，當且僅當|PA|＝|PB|時取等號， 即P在橢圓的短軸所在的直線上時即P（0，）， 由圓及橢圓的對稱性設P（0，），則直線PA的斜率為1，可得直線PA的方程為：y＝x， 代入橢圓的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，）， 所以

28、|PA|，所以AB2＝2|PA|2， 所以（S△ABP）max． 【點睛】 本題主要考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系和求軌跡方程，還考查了運算求解的能力，屬于難題． 21．已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點. （1）求實數(shù)a的取值范圍； （2）設兩個極值點分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22. 【答案】（1）a＞2e（2）證明見解析 【解析】（1）先對函數(shù)求導，然后結合導數(shù)與單調(diào)性的關系對a進行分類討論，確定導數(shù)正負即可求解函數(shù)單調(diào)性，結合單調(diào)性即可求解； （2）分析要證明

29、不等式特點，進行合理的變形，然后構造函數(shù)，結合導數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可證. 【詳解】 （1）由題意可知，f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）＝alnx﹣2x， 令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0）， 由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，可知g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有兩個不同的變號零點， 由可知， 當a≤0時，g（x）＜0恒成立，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，不符合題意，舍去. 當a＞0時，由g（x）＞0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增； 由g（x）＜0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減； 故要滿足題意，必有， 解得：a＞2e； 又,∴函數(shù)g（x）在（1

30、，）內(nèi)有一個零點， 又當時，g（x），∴在（）內(nèi)有一個零點， ∴a＞2e滿足題意. （2）由（1）可知，， 故要證：， 只需證明：， 即證：不妨設0＜x1＜x2，即證， 構造函數(shù)：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中， 由，所以函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以h（t）＜h（1）＝0得證. 【點睛】 本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，考查了考試邏輯推理的能力. 22．已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是． （1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程； （2）若點是曲線上的動點，求到

31、直線距離的最小值，并求出此時點坐標． 【答案】（1），；（2）當點為時，到直線的距離最小，最小值為 【解析】試題分析：（1）首先消參，得到直線的普通方程，然后根據(jù)點的直角坐標與極坐標轉化的公式，即得直線的極坐標方程；首先根據(jù)三角函數(shù)的公式，將，然后兩邊同時乘以，同樣是根據(jù)點的直角坐標與極坐標轉化的公式，得到直角坐標方程．(2)點在曲線上，代入點到直線的距離公式，轉化為關于的二次函數(shù)求最小值，同時得到點坐標． 試題解析：（1）由得，所以直線的極坐標方程為 即，即 因為, 即曲線的直角坐標方程為 設，則,所以到直線的距離 所以當時，，此時， 所以當點為時，到直線的距離最小，最

32、小值為 【考點】1．極坐標方程與直角坐標方程的轉化；2．點到直線的距離． 23．設函數(shù) （1）解不等式； （2）當，時，證明：. 【答案】（1）解集為；（2）見解析. 【解析】(1)零點分區(qū)間，去掉絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，,，之后利用均值不等式可證明. 【詳解】 （1）由已知可得：， 當時，成立； 當時，，即，則． 所以的解集為. （2）由（1）知，， 由于， 則，當且僅當，即時取等號， 則有． 【點睛】 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題．若不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關，可用配方法． 第 23 頁 共 23 頁