2020屆山西省太原五中高三3月模擬數(shù)學(xué)文試題版.doc

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1、2020屆山西省太原五中高三3月模擬數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式，化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集定義即可求解. 【詳解】 因?yàn)?，所? 故選:D 【點(diǎn)睛】 本題考查集合間的運(yùn)算，解對(duì)數(shù)不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 2．已知復(fù)數(shù)，則（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算計(jì)算化簡(jiǎn)，再計(jì)算其模. 【詳解】 解：因?yàn)椋? 所以. 故選： 【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的計(jì)算以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題. 3．已知向量，向量，則向量在方向

2、上的投影為（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)向量在方向上的投影，帶入數(shù)值即可. 【詳解】 向量在方向上的投影. 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題主要考查向量的投影，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題. 4．若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（2，1）的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線(xiàn)方程為（　?。? A．8x+9y﹣25＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 【答案】A 【解析】設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用平方差法，求直線(xiàn)的斜率，然后求直線(xiàn)方程． 【詳解】 設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），P為AB中點(diǎn)， 因?yàn)?/p>

3、A，B在橢圓上， 所以，， 兩式相減得：， 因?yàn)閤1+x2＝4，y1+y2＝2， 可得：， 則k，且過(guò)點(diǎn)P（2，1）， 所以y﹣1（x﹣2）， 整理得8x+9y﹣25＝0． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)差法的運(yùn)用，還考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題． 5．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】構(gòu)造函數(shù)，證明是奇函數(shù)，單調(diào)遞增，再將所求的不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于函數(shù)相關(guān)形式，利用的性質(zhì)，解出不等式，得到答案. 【詳解】 因?yàn)? 設(shè)，定義域 ，所以為奇函數(shù)， ， 所以單調(diào)遞增， 不等式

4、 解得 故選C項(xiàng). 【點(diǎn)睛】 本題考查構(gòu)造函數(shù)解不等式，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題. 6．已知命題p：?x∈R，x2>0，命題q：?α,β∈R，使tan(α+β)=tanα+tanβ，則下 列命題為真命題的是（ ） A．p∧q B．p∨(q) C．(p)∧q D．p∧(q) 【答案】C 【解析】試題分析：因?yàn)?x∈R，x2≥0，所以命題p是假命題，因?yàn)楫?dāng)α=?β時(shí)，tan(α+β)=tanα+tanβ，所以命題q是真命題，所以p∧q是假命題，p∨(q)是假命題，(p)∧q是真命題，p∧(q)是假命題，故選C． 【考點(diǎn)】1、全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的真假性；2、復(fù)合命

5、題的真假性． 7．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去（每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀叮鐖D所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在葉上，則跳三次之后停在葉上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【詳解】 若按照順時(shí)針跳的概率為，則按逆時(shí)針?lè)较蛱母怕蕿?，可得，解得，即按照順時(shí)針跳的概率為，按逆時(shí)針?lè)较蛱母怕蕿?，若青蛙在葉上，則跳次之后停在葉上，則滿(mǎn)足次逆時(shí)針或者次順時(shí)針.①若先按逆時(shí)針開(kāi)始從，則對(duì)應(yīng)的概率為；②若先按順時(shí)針開(kāi)始從，則對(duì)應(yīng)的概率為，則概率為，故選A. 8．莊子說(shuō)：“一尺之錘，日取其半，

6、萬(wàn)世不竭”，這句話(huà)描述的是一個(gè)數(shù)列問(wèn)題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S∈（，），則輸入的n的值為（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出前幾次循環(huán)得到的S，k的值，由題意，說(shuō)明當(dāng)算出的值S∈（，）后進(jìn)行判斷時(shí)判斷框中的條件滿(mǎn)足，即可求出此時(shí)的n值． 【詳解】 框圖首先給累加變量S賦值0，給循環(huán)變量k賦值1， 輸入n的值后，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝1+1＝2； 判斷2＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝2+1＝3； 判斷3＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝3+1＝4； 判斷4＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+

7、1＝5． 判斷5＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+1＝6． 判斷6＞n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k＝4+1＝7． … 由于輸出的S∈（，），可得：當(dāng)S，k＝6時(shí)，應(yīng)該滿(mǎn)足條件6＞n， 即：5≤n＜6， 可得輸入的正整數(shù)n的值為5． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，是直到型循環(huán)，即先執(zhí)行后判斷，不滿(mǎn)足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿(mǎn)足跳出循環(huán)，算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題． 9．函數(shù)在的圖像大致為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可判斷. 【詳解】 解：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除，又因?yàn)?，?/p>

8、，，故排除、, 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊值法靈活判斷，屬于基礎(chǔ)題. 10．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先做出與所成角的角下圖中的，設(shè)用表示，然后用余弦定理求出，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)，即長(zhǎng)方體的外接球的直徑，可求出答案. 【詳解】 連與交于點(diǎn),則為中點(diǎn)， 取中點(diǎn)，連，則 為異面直線(xiàn)與所成角, 設(shè)則，，， 在中，由余弦定理得 ，解得 ， 所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 所以長(zhǎng)方體的外接球的半徑為， 所以長(zhǎng)方體外接球的

9、表面積為. 故選:B 【點(diǎn)睛】 本題考查異面直線(xiàn)所成的角，余弦定理，以及長(zhǎng)方體外接球的表面積，做出空間角，解三角形是解題的關(guān)鍵，屬于較難題. 11．若，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，若在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，x+1∈（0，1），得到f（x），故f（x），題目問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法即可求出m的取值范圍． 【詳解】 根據(jù)題意

10、，，又當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x， 故當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，x+1∈（0，1），則f（x）+1， 所以f（x）， 故f（x）， 因?yàn)樵趨^(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)， 所以方程f（x）＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個(gè)根， 所以函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝m（x）在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)， 而函數(shù)y＝m（x）恒過(guò)定點(diǎn)（，0），在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示： ， 當(dāng)y＝m（x）過(guò)點(diǎn)（1，1）時(shí)，斜率m， 當(dāng)y＝m（x）過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，斜率m＝0， 由圖象可知，當(dāng)0＜m時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 即有兩個(gè)零點(diǎn)， 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題主

11、要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，以及直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題． 12．已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，則有（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求導(dǎo)f′（x）＝x﹣aex，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩根為x1，x2，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)法研究其圖象利用數(shù)形結(jié)合法求解. 【詳解】 依題意：f′（x）＝x﹣aex，則f′（x）＝0的兩根為x1，x2，即的兩根為x1，x2， 設(shè)，則，令g′（x）＝0，解得x＝1， ∴g（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)g（x）的圖象如下， 由圖可知，0＜x1＜1，x2＞1， 當(dāng)x∈（

12、﹣∞，x1）∪（x2，+∞）時(shí)，，則f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增， ∴f（x）極小值，又x1∈（0，1）， 故， f（x）極大值，又x2∈（1，+∞）， 故． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題. 二、填空題 13．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是______________. 【答案】 【解析】先畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解. 【詳解】 畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示. 由題得y=

13、-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線(xiàn)系， 平移直線(xiàn)， 易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且. 故答案為：-8 【點(diǎn)睛】 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力. 14．在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿(mǎn)足|x|≤m的概率為，則m=　_________　． 【答案】3 【解析】【詳解】 如圖區(qū)間長(zhǎng)度是6，區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿(mǎn)足|x|≤m的概率為，若m對(duì)于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3． 故答案為3． 15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為

14、a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，，△ABC的面積記為S，則當(dāng)取最小值時(shí)，ab＝_____ 【答案】． 【解析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cosC，可求角C，進(jìn)而由題意，利用三角形的面積公式，基本不等式即可求解． 【詳解】 ∵（a+b）sinB＝csinC﹣asinA， ∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab， ∴cosC， ∵C∈（0，π）， ∴C， ∵△ABC的面積記為S，2，當(dāng)且僅當(dāng)S， 即SabsinCab時(shí)等號(hào)成立，解得此時(shí)ab． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了正弦定

15、理，余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題． 16．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則_________． 【答案】 【解析】試題分析：因?yàn)槭菕佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以，即，所以，解得或，因?yàn)?，所以? 【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中涉及到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答紅球的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到四邊形

16、的面積，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 三、解答題 17．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ） 【解析】試題分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值

17、試題解析： （Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴2b=a+c， 利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列， ∴b2=ac， ∴cosB==≥=， 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立， ∴cosB的最小值為． 【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理 18．如圖所示的多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段PB上的一點(diǎn)，∠CDP＝120，AD＝3，AP＝5，． （Ⅰ）試確定

18、點(diǎn)F的位置，使得直線(xiàn)EF∥平面PDC； （Ⅱ）若PB＝3BF，求直線(xiàn)AF與平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)F為BP中點(diǎn)時(shí)，使得直線(xiàn)EF∥平面PDC；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）設(shè)F為BP中點(diǎn)，取AP中點(diǎn)G，連結(jié)EF、EG、FG，推導(dǎo)出GF∥AB∥CD，EG∥DP，從而平面GEF∥平面PDC，進(jìn)而當(dāng)點(diǎn)F為BP中點(diǎn)時(shí)，使得直線(xiàn)EF∥平面PDC． （Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，在平面PDC中過(guò)D作CD垂線(xiàn)為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的一個(gè)法向量，的坐標(biāo)，代入公式sinθ求解． 【詳解】 （Ⅰ）設(shè)F為BP中點(diǎn)，取AP中點(diǎn)G，連結(jié)EF、EG、FG， ∵A

19、D⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)， ∴GF∥AB∥CD，EG∥DP， ∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC， ∵EF?平面GEF， ∴當(dāng)點(diǎn)F為BP中點(diǎn)時(shí)，使得直線(xiàn)EF∥平面PDC． （Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，在平面PDC中過(guò)D作CD垂線(xiàn)為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ∵E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段PB上的一點(diǎn)，∠CDP＝120，AD＝3，AP＝5，． ∴cos120，解得CD＝6， 所以A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2，0），C（6，0，0）， 設(shè)F（a，b，c），由PB＝3BF，得， 即（a﹣6

20、，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3）， 解得a，b，c＝2，∴F（，，2）， （，﹣1），（0，0，3），（﹣8，2，0）， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量（x，y，z）， 則，取x＝1，得（1，，0）， 設(shè)直線(xiàn)AF與平面PBC所成角為θ， 則直線(xiàn)AF與平面PBC所成角的正弦值為： ． 【點(diǎn)睛】 本題考查滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查線(xiàn)面角的正弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題． 19．2016年春節(jié)期間全國(guó)流行在微信群里發(fā)、搶紅包，現(xiàn)假設(shè)某人將688元發(fā)成手氣紅包50個(gè)，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如表：

21、 （I）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率； （Ⅱ）估計(jì)手氣紅包金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （Ⅲ）在這50個(gè)紅包組成的樣本中，將頻率視為概率． （i）若紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)為最佳運(yùn)氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率； （ii）隨機(jī)抽取手氣紅包金額在[1，5）∪[﹣21，25]內(nèi)的兩名幸運(yùn)者，設(shè)其手氣金額分別為m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.44；（Ⅲ）（i），（ii）． 【解析】（Ⅰ）由題意利用互斥事件概率加法公式能求出產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率． （Ⅱ）先求出手氣紅包

22、在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]內(nèi)的頻率，由此能求了出手氣紅包金額的平均數(shù)． （Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人，由此能求出搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率．（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人，在[21，25]內(nèi)有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）． 【詳解】 （Ⅰ）由題意得產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率： p， ∴產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率為． （Ⅱ）手氣紅包在[1，5）內(nèi)的頻率為0.06， 手氣紅包在[5，9）內(nèi)的頻率為0.

23、18， 手氣紅包在[9，13）內(nèi)的頻率為0.34， 手氣紅包在[13，17）內(nèi)的頻率為0.22， 手氣紅包在[17，21）內(nèi)的頻率為0.16， 手氣紅包在[21，25]內(nèi)的頻率為0.04， 則手氣紅包金額的平均數(shù)為： 30.06+70.18+110.34+150.22+190.16+230.04＝12.44． （Ⅲ）（i）由題可知紅包金額在區(qū)間[21，25]內(nèi)有兩人， ∴搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率p． （ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內(nèi)有3人， 設(shè)紅包金額分別為a，b，c，在[21，25]內(nèi)有2人， 設(shè)紅包金額分別為x，y， 若m，n均在[1，5

24、）內(nèi)，有3種情況：（a，b），（a，c），（b，c）， 若m，n均在[21，25]內(nèi)只有一種情況：（x，y）， 若m，n分別在[1，5）和[21，25）內(nèi)，有6種情況， 即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）， ∴基本事件總數(shù)n＝10， 而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6種， ∴P（|m﹣n|＞16）． 【點(diǎn)睛】 本題考查頻率分布表的應(yīng)用以及概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 20．已知橢圓C：的離心率為，與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（，1）． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若P（m，n）為橢圓C外

25、一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條互相垂直的切線(xiàn)l1、l2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并求△ABP面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）． 【解析】（Ⅰ）由離心率及橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，及a，b，c之間的關(guān)系可得a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程； （Ⅱ）過(guò)P的兩條切線(xiàn)分斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接由橢圓的方程可得切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過(guò)P的切線(xiàn)方程，與橢圓聯(lián)立．由判別式等于0可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而可得PA，PB的斜率之積，進(jìn)而可得m，n之間的關(guān)系，即P的軌跡方程，顯然切線(xiàn)斜率不存在時(shí)的點(diǎn)P也在軌跡方程上；因?yàn)镻A，PB互相垂直，所以三角形PAB的面積為S

26、△ABP|PA|?|PB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)取等號(hào)，此時(shí)得到點(diǎn)P的坐標(biāo)求解. 【詳解】 （Ⅰ）由題意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2， 所以橢圓的方程為：1； （Ⅱ）設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A，B，①當(dāng)兩條切線(xiàn)中有一條斜率不存在時(shí)， 即A，B兩點(diǎn)分別位于橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，此時(shí)P的坐標(biāo)為：（2，）， ②當(dāng)兩條切線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過(guò)P的切線(xiàn)的方程為：y﹣n＝k（x﹣m）， 聯(lián)立直線(xiàn)y﹣n＝k（x﹣m）和橢圓的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0， 由題意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[

27、2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1?k2， 設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1?k2， 而PA，PB互相垂直，所以1， 即m2+n2＝6，（m≠2）， 又因?yàn)镻（2，）在m2+n2＝6上， 所以點(diǎn)P在圓x2+y2＝6上． 因?yàn)閘1⊥l2， 所以S△ABP|PA|?|PB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)取等號(hào)， 即P在橢圓的短軸所在的直線(xiàn)上時(shí)即P（0，）， 由圓及橢圓的對(duì)稱(chēng)性設(shè)P（0，），則直線(xiàn)PA的斜率為1，可得直線(xiàn)PA的方程為：y＝x， 代入橢圓的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，）， 所以

28、|PA|，所以AB2＝2|PA|2， 所以（S△ABP）max． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查橢圓的方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系和求軌跡方程，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題． 21．已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). （1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22. 【答案】（1）a＞2e（2）證明見(jiàn)解析 【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可求解函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求解； （2）分析要證明

29、不等式特點(diǎn)，進(jìn)行合理的變形，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可證. 【詳解】 （1）由題意可知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）＝alnx﹣2x， 令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0）， 由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，可知g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)， 由可知， 當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＜0恒成立，即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，不符合題意，舍去. 當(dāng)a＞0時(shí)，由g（x）＞0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增； 由g（x）＜0得，，即函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減； 故要滿(mǎn)足題意，必有， 解得：a＞2e； 又,∴函數(shù)g（x）在（1

30、，）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)， 又當(dāng)時(shí)，g（x），∴在（）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)， ∴a＞2e滿(mǎn)足題意. （2）由（1）可知，， 故要證：， 只需證明：， 即證：不妨設(shè)0＜x1＜x2，即證， 構(gòu)造函數(shù)：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中， 由，所以函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以h（t）＜h（1）＝0得證. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了考試邏輯推理的能力. 22．已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是． （1）寫(xiě)出直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程； （2）若點(diǎn)是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求到

31、直線(xiàn)距離的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)． 【答案】（1），；（2）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，到直線(xiàn)的距離最小，最小值為 【解析】試題分析：（1）首先消參，得到直線(xiàn)的普通方程，然后根據(jù)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的公式，即得直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；首先根據(jù)三角函數(shù)的公式，將，然后兩邊同時(shí)乘以，同樣是根據(jù)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的公式，得到直角坐標(biāo)方程．(2)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，代入點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最小值，同時(shí)得到點(diǎn)坐標(biāo)． 試題解析：（1）由得，所以直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 即，即 因?yàn)? 即曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為 設(shè)，則,所以到直線(xiàn)的距離 所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)， 所以當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，到直線(xiàn)的距離最小，最

32、小值為 【考點(diǎn)】1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；2．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離． 23．設(shè)函數(shù) （1）解不等式； （2）當(dāng)，時(shí)，證明：. 【答案】（1）解集為；（2）見(jiàn)解析. 【解析】(1)零點(diǎn)分區(qū)間，去掉絕對(duì)值，寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，,，之后利用均值不等式可證明. 【詳解】 （1）由已知可得：， 當(dāng)時(shí)，成立； 當(dāng)時(shí)，，即，則． 所以的解集為. （2）由（1）知，， 由于， 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 則有． 【點(diǎn)睛】 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題．若不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法． 第 23 頁(yè) 共 23 頁(yè)