《電磁場與電磁波》PPT課件.ppt

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1、第一章 矢量分析(3),1,場：描述空間物理量的函數(shù)。,標量場:地形的高度，電容器內(nèi)部的點位，一杯熱水周圍的問題等,矢量場:地球的重力場，黑洞的引力場，靜電場，靜磁場，臺風速度場,穩(wěn)態(tài)場:場值不隨時間變化。高度場，地球重力場，靜電場等等,時變場:場值隨時間變化。溫度場，電磁波，電離層電子濃度等,,,標量場的梯度,以下通過等高線來說明梯度的概念：,(1)等高線的概念 地圖上所有相同高度的點連成的曲線為等高線，任意兩條等高線不可能相交。,電視劇中李云龍對楚云飛吹噓：天生就看得懂的地圖就是等高線地圖,(2)方向?qū)?shù) 從一條等高線(紅線)到另外一條等高線(藍線)的坡度,由于兩條等高線分別為：,則

2、坡度可以近似表示為,,,對于固定的P點，向不同方向行進，坡度顯然不一樣。即坡度(方向系數(shù))與方向有關,第一章 矢量分析(3),2,根據(jù)微分概念，顯然當l盡可能小。,不要和我說速度的定義沒有學過,,不同的方向坡度仍然不同,設點P的坐標為(x,y,z)，Q點坐標為(x+dx,y+dy,z+dz),(3)計算方向?qū)?shù),,常矢量,,與方位有關的矢量,,,,,,,,,第一章 矢量分析(3),3,(4)梯度的導出,根據(jù)上式可以看到坡度(方向?qū)?shù))是能夠取最大值的，即最陡方向。何時取最大值？,,標量場f的梯度定義,矢量微分算子，Del算子，梯度算子， nabla算子,,,(5)梯度的物理意義,一個標量場在某

3、一點的梯度表明了該點的最陡方向(單位矢量)及其陡峭程度(數(shù)值),(6)梯度的性質(zhì),一個標量場的梯度是矢量 一個標量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向,,,,第一章 矢量分析(3),4,(7)圓柱坐標系下梯度的計算式,(8)球坐標系下梯度的計算式,(9)廣義坐標下梯度的計算式,第一章 矢量分析(3),5,一個標量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影,某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向,證明(1)：,其中a為梯度的方向，b為“該方向”單位矢量，故可得結(jié)論,證明：,(1)如果等高線的變化非常小，那么在非常小的局部區(qū)域，等高

4、線是什么關系？,(2)梯度的數(shù)值即為方向?qū)?shù)的最大值。 要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向為連接P與另一條等位線上最近點的方向，什么方向最?。?P,證明(2)：,如圖所示：,其他方向的方向?qū)?shù)：,第一章 矢量分析(3),6,證明：,(1),,(2),,(3),,,,,,Remember it forever!,第一章 矢量分析(3),7,解：由于標量場給出的是直角坐標系下的表達式，因此它的梯度能夠直接使用直角坐標系下的結(jié)果，即,解：矢徑r的幅度為,,,,,,第一章 矢量分析(4),8,矢量場的通量與散度,矢量場性質(zhì)：各點的場量是歲空間位置變化的矢量。如漩渦的力場是直觀的例子。,表達形式：,

5、,,,矢量線的性質(zhì)： 方向的定義： 矢量線上任何一點的切線方向 數(shù)值的定義： 矢量線間的疏密程度定性表示 矢量線的交匯問題,第一章 矢量分析(4),9,矢量線方程： 矢量線上任何一點的切線方向即為矢量場方向,如圖若已知矢量場F的矢量線呈對應關系,曲線的切線方向為,矢量場的方向為,兩者方向一致，故可建立矢量線方程,第一章 矢量分析(4),10,通量的定義:簡單地說，就是通過一個曲(平)面的矢量線數(shù)目。,,通過每個小面元的數(shù)目發(fā)現(xiàn): 方向有關 面元大小有關， 如將線畫密一些，線密度也會增加。即與場強的大小數(shù)值有關，,第一章 矢量分析(4),11,通量的計算式:,,面元方向的定義：比較隨意，

6、但是對于封閉面，通常取外法向,面元通量，可以定義通量的表達形式,,非面元通量，則：,,,將宏觀面元分解成非常多的小面元，假設每個面元上的矢量為恒量，這是數(shù)學中的微分思想，當面元足夠小時，這時求和可以用積分來表示。,,如果是閉合曲面，,注意 1、各種情況下表達式的不同，并關注閉合曲面的通量 2、如果一個封閉面的通量不為0，表明該封閉面內(nèi)有通量源,第一章 矢量分析(4),12,正電荷通量：,封閉面通量大于0,負電荷通量：,封閉面通量小于0,思考：如果一個封閉面內(nèi)如果既有正電荷，又有負電荷，則通量將會怎樣？,第一章 矢量分析(4),13,散度概念的意義：,通量：積分量，范圍比較大（宏觀），無法反映每

7、一點的性質(zhì)。 梯度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點的性質(zhì)。 散度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點的性質(zhì)。,散度定義：,封閉面通量,,為表示微觀特性，所取面積顯然不能很大,,,顯然該式的值為0，why？,因此需要對該式除以一個無窮小量，曲面的面積和體積是個合適的量，但顯然應該取體積，why？,,,矢量場的散度 （通量體密度）,第一章 矢量分析(4),14,微分思想：假設該立(長)方體非常小，其邊長近似為0，則可以認為在每個面上的場量為常量。,以下來考慮通過前后兩個面上的通量：,“前”面中心處場量為:,“前”面通量近似為：,散度計算式的推導：,第一章 矢量分析(4),15,

8、以下來考慮通過前后兩個面上的通量：,“前”面通量近似為：,同理，“后”面通量近似為：,故前后兩面的通量為：,左右兩面的通量為：,上下兩面的通量為：,,,,,,第一章 矢量分析(4),16,,(散度的計算式，同時也可以算是散度的定義式),圓柱坐標系的散度計算式：,,球坐標系的散度計算式：,第一章 矢量分析(4),17,散度的物理意義： 圍繞點p作足夠小的球面，通過計算矢量場在點p的散度可以得到矢量場向外的凈流量 凈流量的大小和球面內(nèi)部的源有關 凈流量為正，則內(nèi)部的發(fā)散源 凈流量為負，則內(nèi)部為收縮源 凈流量為零，則表明內(nèi)部無散度源(凈源為0) 注意：凈流量為零未必表明內(nèi)部無源，例如漩渦,第一章 矢

9、量分析(4),18,證明：在直角坐標中，空間位置矢量的表達式為,根據(jù)散度計算式，可以得到其散度為,在Maxwell方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮散度的宏觀形式，即：,散度定律,第一章 矢量分析(4),19,散度定律：矢量分析重要定律之一(需熟練),,考慮如圖相鄰兩個面(體)元S1和S2，其公共面設為S。 在考慮左邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如紅箭頭所示 而考慮右邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示,即面元S在散度求和過程中被利用了兩次，計算過程中場量F沒有變化，而兩次計算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對通量累加沒有作用。 進一步說，凡是在累加過程中，面元被采

10、用兩次的都存在這個問題，這種面元也只能位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個體積元中，故被保留下來。 所以最終有：,,第一章 矢量分析(4),20,解：該區(qū)域存在5個表面，分別對應dS1,dS2,dS3,dS4,dS5,同時在面dS3上有,第一章 矢量分析(4),21,代入整理得：,故,而,第一章 矢量分析(5),22,矢量場的環(huán)流與旋度,環(huán)流：矢量場F沿場中的一條閉合路徑C的曲線積分稱為矢量場F沿閉合路徑C的環(huán)路。簡而言之，即環(huán)路積分。,,環(huán)流也是與源有關的量，如 則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種源產(chǎn)生的場是一種類似漩渦的場，與電荷產(chǎn)生的場有明顯的不同。,由于積分路徑與場F始終一致，故該積

11、分必不為0 但是有意思的是，這種場的散度卻必為0 這種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種矢量線的源稱為漩渦源,第一章 矢量分析(5),23,同樣，這個積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點的場量特性？,,該積分顯然為0,,,,,,環(huán) 流 面 密 度,注意：環(huán)流面密度顯然與S的方向有關，為何顯然？,第一章 矢量分析(5),24,環(huán)流面密度顯然與S的方向有關(以一特例說明),簡圖說明： 矢量場為方向場，且為常數(shù) S1為圓形回路C1圍成面積 S2為橢圓形回路C2圍成面積 S1為S2在水平方向投影 結(jié)論： 在上述條件下，有,但是顯然兩個環(huán)路所圍成的面積并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度并不相等。,第一章 矢量

12、分析(5),25,由于矢量場在某點的環(huán)流面密度與面元方向(以法線方向記)有關，因此一個給定點處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總存在一個最大的環(huán)流面密度。,仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分相同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，因此環(huán)路C1(S1)的環(huán)流面密度大于C2(S2)的。,同樣可以看到在該點處S1的面積總是最小，所以環(huán)流其面密度必然最大。,旋度的定義： 方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)流面密度最大值，記為rotF。,旋度的表達式：,第一章 矢量分析(5),26,旋度的性質(zhì)：,,,,,,2. 空間某點旋度垂直于該點矢量場的方向 證明：略(從圖中即可得到),

13、3. 考慮旋度時，其面元S方向垂直于矢量場方向，或者閉合回路C和矢量場方向一致,同樣說明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。,第一章 矢量分析(5),27,旋度計算式：,預備知識：,因此，通過求解某點x，y和z方向的環(huán)流面密度，可得旋度的計算式。根據(jù)環(huán)流面密度的定義有：,通過計算上式，即可求解出環(huán)流面密度及旋度。,第一章 矢量分析(5),28,說明：,y,z足夠小，路徑1,2,3,4上的場量可以看作均勻 點M位于閉合環(huán)路的正中 矢量場F在M點為F(x0,y0,z0)，投影到各分量分別為Fx,Fy,Fz 環(huán)路圍成面積為yz，方向為x正向,第一章 矢量分析(5),29,積分線路1：,積分線路2：,積分

14、線路3：,積分線路4：,+,,,,,根據(jù)偏微分(微分）定義,,,,第一章 矢量分析(5),30,故積分環(huán)路為：,,,同理：,,,旋度的計算式兼定義式,第一章 矢量分析(5),31,圓柱坐標系下的旋度計算：,球坐標系下的旋度計算：,例：如果標量函數(shù)f(x,y,z)為連續(xù)可微函數(shù)，證明：,證明：,,結(jié)論非常 有用,注：另外重要恒等式,第一章 矢量分析(5),32,旋度定理：矢量分析的重要定理之一(需熟練),證明：,,由于有相鄰邊界的線元在累加過程中會進行計算兩次，而兩次的取向相反，故被抵消，最后只剩下位于邊界處的線元積分，即可得到上述結(jié)論。,第一章 矢量分析(5),33,解：,由于面元均為r方向，

15、故求解面積分只需要考慮旋度的r方向即可,,而環(huán)路C的方向為方向，故考慮矢量場的方向即可,代入：,則,驗證完畢！,第一章 矢量分析(6),34,對梯度，散度和旋度的理解： 對于標量場，由于比較簡單，在已知場值后，進一步了解其最陡方向即可。 對于矢量場，由于場值一方面有場的大小還有場的方向，故需要用散度和旋度來“探測”場的方向特性。 對于散度和旋度，可以理解成電路中的“電流表”和“電壓表”的作用 散度和旋度是相互獨立的算子，僅僅靠散度或者旋度無法確定一個場的情況。,第一章 矢量分析(6),35,根據(jù)場的散度和旋度特點，可以將場分為四大類：,,,,,,,,,Laplaces Equation,,求解

16、f,,,求解矢量場,,紅圈表示的有源區(qū)域，在無源區(qū)域的場為第一類場,第一類場的典型代表是無源區(qū)域的靜電場和靜磁場,第一章 矢量分析(6),36,,,,,,,,,PoissonsEquation,,求解f,,,求解矢量場,,紅圈表示的有源區(qū)域，在有源區(qū)域的場為第二類場,第二類場的典型代表為有源區(qū)域的靜電場,第一章 矢量分析(6),37,,,,,,,,,第三類場的典型代表為有源區(qū)域的靜磁場,,,,Poissons vector Equation,,求解A,,,求解矢量場,第一章 矢量分析(6),38,,,,時變電磁場屬于該類型。,第一章 矢量分析(7),39,Laplaces Operator,標

17、量算子：,標量Laplaces Operator,,(應該知道),直角坐標系:,柱坐標系：,球坐標系：,第一章 矢量分析(7),40,矢量Laplaces Operator,,,x分量,第一章 矢量分析(7),41,,,一個矢量方程轉(zhuǎn)換為三個標量Laplaces 方程，稍易,如有方程：,第一章 矢量分析(7),42,Greens theorem: 本書最重要的用途是證明“唯一性定理” 揭示兩個獨立場所滿足的關系,,,,,,,高斯定理,,Green第一恒等式,Green第二恒等式：,,,,,,,梯度的性質(zhì),第一章 矢量分析(8),43,Helmholtz定理：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件唯一確定。,簡單說明：,(1)如僅僅給出散度信息 和邊界條件(無窮遠處為0)，則下列兩種情況無法區(qū)分,第一章 矢量分析(8),44,(2)如僅僅給出旋度信息 和邊界條件(無窮遠處為0) ，則下列兩種情況無法區(qū)分,(3)如不給出邊界條件，則自由空間的電荷激發(fā)電場與導體附近激發(fā)電場無法區(qū)分。,