《電磁場(chǎng)與電磁波》PPT課件.ppt

《《電磁場(chǎng)與電磁波》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《電磁場(chǎng)與電磁波》PPT課件.ppt（44頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 矢量分析(3),1,場(chǎng)：描述空間物理量的函數(shù)。,標(biāo)量場(chǎng):地形的高度，電容器內(nèi)部的點(diǎn)位，一杯熱水周圍的問(wèn)題等,矢量場(chǎng):地球的重力場(chǎng)，黑洞的引力場(chǎng)，靜電場(chǎng)，靜磁場(chǎng)，臺(tái)風(fēng)速度場(chǎng),穩(wěn)態(tài)場(chǎng):場(chǎng)值不隨時(shí)間變化。高度場(chǎng)，地球重力場(chǎng)，靜電場(chǎng)等等,時(shí)變場(chǎng):場(chǎng)值隨時(shí)間變化。溫度場(chǎng)，電磁波，電離層電子濃度等,,,標(biāo)量場(chǎng)的梯度,以下通過(guò)等高線來(lái)說(shuō)明梯度的概念：,(1)等高線的概念 地圖上所有相同高度的點(diǎn)連成的曲線為等高線，任意兩條等高線不可能相交。,電視劇中李云龍對(duì)楚云飛吹噓：天生就看得懂的地圖就是等高線地圖,(2)方向?qū)?shù) 從一條等高線(紅線)到另外一條等高線(藍(lán)線)的坡度,由于兩條等高線分別為：,則

2、坡度可以近似表示為,,,對(duì)于固定的P點(diǎn)，向不同方向行進(jìn)，坡度顯然不一樣。即坡度(方向系數(shù))與方向有關(guān),第一章 矢量分析(3),2,根據(jù)微分概念，顯然當(dāng)l盡可能小。,不要和我說(shuō)速度的定義沒(méi)有學(xué)過(guò),,不同的方向坡度仍然不同,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x+dx,y+dy,z+dz),(3)計(jì)算方向?qū)?shù),,常矢量,,與方位有關(guān)的矢量,,,,,,,,,第一章 矢量分析(3),3,(4)梯度的導(dǎo)出,根據(jù)上式可以看到坡度(方向?qū)?shù))是能夠取最大值的，即最陡方向。何時(shí)取最大值？,,標(biāo)量場(chǎng)f的梯度定義,矢量微分算子，Del算子，梯度算子， nabla算子,,,(5)梯度的物理意義,一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)在某

3、一點(diǎn)的梯度表明了該點(diǎn)的最陡方向(單位矢量)及其陡峭程度(數(shù)值),(6)梯度的性質(zhì),一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量 一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)某點(diǎn)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 某點(diǎn)的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，其指向場(chǎng)值增加的方向,,,,第一章 矢量分析(3),4,(7)圓柱坐標(biāo)系下梯度的計(jì)算式,(8)球坐標(biāo)系下梯度的計(jì)算式,(9)廣義坐標(biāo)下梯度的計(jì)算式,第一章 矢量分析(3),5,一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)某點(diǎn)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影,某點(diǎn)的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，其指向場(chǎng)值增加的方向,證明(1)：,其中a為梯度的方向，b為“該方向”單位矢量，故可得結(jié)論,證明：,(1)如果等高線的變化非常小，那么在非常小的局部區(qū)域，等高

4、線是什么關(guān)系？,(2)梯度的數(shù)值即為方向?qū)?shù)的最大值。 要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向?yàn)檫B接P與另一條等位線上最近點(diǎn)的方向，什么方向最?。?P,證明(2)：,如圖所示：,其他方向的方向?qū)?shù)：,第一章 矢量分析(3),6,證明：,(1),,(2),,(3),,,,,,Remember it forever!,第一章 矢量分析(3),7,解：由于標(biāo)量場(chǎng)給出的是直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式，因此它的梯度能夠直接使用直角坐標(biāo)系下的結(jié)果，即,解：矢徑r的幅度為,,,,,,第一章 矢量分析(4),8,矢量場(chǎng)的通量與散度,矢量場(chǎng)性質(zhì)：各點(diǎn)的場(chǎng)量是歲空間位置變化的矢量。如漩渦的力場(chǎng)是直觀的例子。,表達(dá)形式：,

5、,,,矢量線的性質(zhì)： 方向的定義： 矢量線上任何一點(diǎn)的切線方向 數(shù)值的定義： 矢量線間的疏密程度定性表示 矢量線的交匯問(wèn)題,第一章 矢量分析(4),9,矢量線方程： 矢量線上任何一點(diǎn)的切線方向即為矢量場(chǎng)方向,如圖若已知矢量場(chǎng)F的矢量線呈對(duì)應(yīng)關(guān)系,曲線的切線方向?yàn)?矢量場(chǎng)的方向?yàn)?兩者方向一致，故可建立矢量線方程,第一章 矢量分析(4),10,通量的定義:簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是通過(guò)一個(gè)曲(平)面的矢量線數(shù)目。,,通過(guò)每個(gè)小面元的數(shù)目發(fā)現(xiàn): 方向有關(guān) 面元大小有關(guān)， 如將線畫密一些，線密度也會(huì)增加。即與場(chǎng)強(qiáng)的大小數(shù)值有關(guān)，,第一章 矢量分析(4),11,通量的計(jì)算式:,,面元方向的定義：比較隨意，

6、但是對(duì)于封閉面，通常取外法向,面元通量，可以定義通量的表達(dá)形式,,非面元通量，則：,,,將宏觀面元分解成非常多的小面元，假設(shè)每個(gè)面元上的矢量為恒量，這是數(shù)學(xué)中的微分思想，當(dāng)面元足夠小時(shí)，這時(shí)求和可以用積分來(lái)表示。,,如果是閉合曲面，,注意 1、各種情況下表達(dá)式的不同，并關(guān)注閉合曲面的通量 2、如果一個(gè)封閉面的通量不為0，表明該封閉面內(nèi)有通量源,第一章 矢量分析(4),12,正電荷通量：,封閉面通量大于0,負(fù)電荷通量：,封閉面通量小于0,思考：如果一個(gè)封閉面內(nèi)如果既有正電荷，又有負(fù)電荷，則通量將會(huì)怎樣？,第一章 矢量分析(4),13,散度概念的意義：,通量：積分量，范圍比較大（宏觀），無(wú)法反映每

7、一點(diǎn)的性質(zhì)。 梯度：微分值，范圍比較小（微觀），能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。 散度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。,散度定義：,封閉面通量,,為表示微觀特性，所取面積顯然不能很大,,,顯然該式的值為0，why？,因此需要對(duì)該式除以一個(gè)無(wú)窮小量，曲面的面積和體積是個(gè)合適的量，但顯然應(yīng)該取體積，why？,,,矢量場(chǎng)的散度 （通量體密度）,第一章 矢量分析(4),14,微分思想：假設(shè)該立(長(zhǎng))方體非常小，其邊長(zhǎng)近似為0，則可以認(rèn)為在每個(gè)面上的場(chǎng)量為常量。,以下來(lái)考慮通過(guò)前后兩個(gè)面上的通量：,“前”面中心處場(chǎng)量為:,“前”面通量近似為：,散度計(jì)算式的推導(dǎo)：,第一章 矢量分析(4),15,

8、以下來(lái)考慮通過(guò)前后兩個(gè)面上的通量：,“前”面通量近似為：,同理，“后”面通量近似為：,故前后兩面的通量為：,左右兩面的通量為：,上下兩面的通量為：,,,,,,第一章 矢量分析(4),16,,(散度的計(jì)算式，同時(shí)也可以算是散度的定義式),圓柱坐標(biāo)系的散度計(jì)算式：,,球坐標(biāo)系的散度計(jì)算式：,第一章 矢量分析(4),17,散度的物理意義： 圍繞點(diǎn)p作足夠小的球面，通過(guò)計(jì)算矢量場(chǎng)在點(diǎn)p的散度可以得到矢量場(chǎng)向外的凈流量 凈流量的大小和球面內(nèi)部的源有關(guān) 凈流量為正，則內(nèi)部的發(fā)散源 凈流量為負(fù)，則內(nèi)部為收縮源 凈流量為零，則表明內(nèi)部無(wú)散度源(凈源為0) 注意：凈流量為零未必表明內(nèi)部無(wú)源，例如漩渦,第一章 矢

9、量分析(4),18,證明：在直角坐標(biāo)中，空間位置矢量的表達(dá)式為,根據(jù)散度計(jì)算式，可以得到其散度為,在Maxwell方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮散度的宏觀形式，即：,散度定律,第一章 矢量分析(4),19,散度定律：矢量分析重要定律之一(需熟練),,考慮如圖相鄰兩個(gè)面(體)元S1和S2，其公共面設(shè)為S。 在考慮左邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如紅箭頭所示 而考慮右邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示,即面元S在散度求和過(guò)程中被利用了兩次，計(jì)算過(guò)程中場(chǎng)量F沒(méi)有變化，而兩次計(jì)算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對(duì)通量累加沒(méi)有作用。 進(jìn)一步說(shuō)，凡是在累加過(guò)程中，面元被采

10、用兩次的都存在這個(gè)問(wèn)題，這種面元也只能位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個(gè)體積元中，故被保留下來(lái)。 所以最終有：,,第一章 矢量分析(4),20,解：該區(qū)域存在5個(gè)表面，分別對(duì)應(yīng)dS1,dS2,dS3,dS4,dS5,同時(shí)在面dS3上有,第一章 矢量分析(4),21,代入整理得：,故,而,第一章 矢量分析(5),22,矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度,環(huán)流：矢量場(chǎng)F沿場(chǎng)中的一條閉合路徑C的曲線積分稱為矢量場(chǎng)F沿閉合路徑C的環(huán)路。簡(jiǎn)而言之，即環(huán)路積分。,,環(huán)流也是與源有關(guān)的量，如 則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種源產(chǎn)生的場(chǎng)是一種類似漩渦的場(chǎng)，與電荷產(chǎn)生的場(chǎng)有明顯的不同。,由于積分路徑與場(chǎng)F始終一致，故該積

11、分必不為0 但是有意思的是，這種場(chǎng)的散度卻必為0 這種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種矢量線的源稱為漩渦源,第一章 矢量分析(5),23,同樣，這個(gè)積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點(diǎn)的場(chǎng)量特性？,,該積分顯然為0,,,,,,環(huán) 流 面 密 度,注意：環(huán)流面密度顯然與S的方向有關(guān)，為何顯然？,第一章 矢量分析(5),24,環(huán)流面密度顯然與S的方向有關(guān)(以一特例說(shuō)明),簡(jiǎn)圖說(shuō)明： 矢量場(chǎng)為方向場(chǎng)，且為常數(shù) S1為圓形回路C1圍成面積 S2為橢圓形回路C2圍成面積 S1為S2在水平方向投影 結(jié)論： 在上述條件下，有,但是顯然兩個(gè)環(huán)路所圍成的面積并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度并不相等。,第一章 矢量

12、分析(5),25,由于矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的環(huán)流面密度與面元方向(以法線方向記)有關(guān)，因此一個(gè)給定點(diǎn)處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總存在一個(gè)最大的環(huán)流面密度。,仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分相同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，因此環(huán)路C1(S1)的環(huán)流面密度大于C2(S2)的。,同樣可以看到在該點(diǎn)處S1的面積總是最小，所以環(huán)流其面密度必然最大。,旋度的定義： 方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)流面密度最大值，記為rotF。,旋度的表達(dá)式：,第一章 矢量分析(5),26,旋度的性質(zhì)：,,,,,,2. 空間某點(diǎn)旋度垂直于該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向 證明：略(從圖中即可得到),

13、3. 考慮旋度時(shí)，其面元S方向垂直于矢量場(chǎng)方向，或者閉合回路C和矢量場(chǎng)方向一致,同樣說(shuō)明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。,第一章 矢量分析(5),27,旋度計(jì)算式：,預(yù)備知識(shí)：,因此，通過(guò)求解某點(diǎn)x，y和z方向的環(huán)流面密度，可得旋度的計(jì)算式。根據(jù)環(huán)流面密度的定義有：,通過(guò)計(jì)算上式，即可求解出環(huán)流面密度及旋度。,第一章 矢量分析(5),28,說(shuō)明：,y,z足夠小，路徑1,2,3,4上的場(chǎng)量可以看作均勻 點(diǎn)M位于閉合環(huán)路的正中 矢量場(chǎng)F在M點(diǎn)為F(x0,y0,z0)，投影到各分量分別為Fx,Fy,Fz 環(huán)路圍成面積為yz，方向?yàn)閤正向,第一章 矢量分析(5),29,積分線路1：,積分線路2：,積分

14、線路3：,積分線路4：,+,,,,,根據(jù)偏微分(微分）定義,,,,第一章 矢量分析(5),30,故積分環(huán)路為：,,,同理：,,,旋度的計(jì)算式兼定義式,第一章 矢量分析(5),31,圓柱坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算：,球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算：,例：如果標(biāo)量函數(shù)f(x,y,z)為連續(xù)可微函數(shù)，證明：,證明：,,結(jié)論非常 有用,注：另外重要恒等式,第一章 矢量分析(5),32,旋度定理：矢量分析的重要定理之一(需熟練),證明：,,由于有相鄰邊界的線元在累加過(guò)程中會(huì)進(jìn)行計(jì)算兩次，而兩次的取向相反，故被抵消，最后只剩下位于邊界處的線元積分，即可得到上述結(jié)論。,第一章 矢量分析(5),33,解：,由于面元均為r方向，

15、故求解面積分只需要考慮旋度的r方向即可,,而環(huán)路C的方向?yàn)榉较?，故考慮矢量場(chǎng)的方向即可,代入：,則,驗(yàn)證完畢！,第一章 矢量分析(6),34,對(duì)梯度，散度和旋度的理解： 對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)，由于比較簡(jiǎn)單，在已知場(chǎng)值后，進(jìn)一步了解其最陡方向即可。 對(duì)于矢量場(chǎng)，由于場(chǎng)值一方面有場(chǎng)的大小還有場(chǎng)的方向，故需要用散度和旋度來(lái)“探測(cè)”場(chǎng)的方向特性。 對(duì)于散度和旋度，可以理解成電路中的“電流表”和“電壓表”的作用 散度和旋度是相互獨(dú)立的算子，僅僅靠散度或者旋度無(wú)法確定一個(gè)場(chǎng)的情況。,第一章 矢量分析(6),35,根據(jù)場(chǎng)的散度和旋度特點(diǎn)，可以將場(chǎng)分為四大類：,,,,,,,,,Laplaces Equation,,求解

16、f,,,求解矢量場(chǎng),,紅圈表示的有源區(qū)域，在無(wú)源區(qū)域的場(chǎng)為第一類場(chǎng),第一類場(chǎng)的典型代表是無(wú)源區(qū)域的靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng),第一章 矢量分析(6),36,,,,,,,,,PoissonsEquation,,求解f,,,求解矢量場(chǎng),,紅圈表示的有源區(qū)域，在有源區(qū)域的場(chǎng)為第二類場(chǎng),第二類場(chǎng)的典型代表為有源區(qū)域的靜電場(chǎng),第一章 矢量分析(6),37,,,,,,,,,第三類場(chǎng)的典型代表為有源區(qū)域的靜磁場(chǎng),,,,Poissons vector Equation,,求解A,,,求解矢量場(chǎng),第一章 矢量分析(6),38,,,,時(shí)變電磁場(chǎng)屬于該類型。,第一章 矢量分析(7),39,Laplaces Operator,標(biāo)

17、量算子：,標(biāo)量Laplaces Operator,,(應(yīng)該知道),直角坐標(biāo)系:,柱坐標(biāo)系：,球坐標(biāo)系：,第一章 矢量分析(7),40,矢量Laplaces Operator,,,x分量,第一章 矢量分析(7),41,,,一個(gè)矢量方程轉(zhuǎn)換為三個(gè)標(biāo)量Laplaces 方程，稍易,如有方程：,第一章 矢量分析(7),42,Greens theorem: 本書最重要的用途是證明“唯一性定理” 揭示兩個(gè)獨(dú)立場(chǎng)所滿足的關(guān)系,,,,,,,高斯定理,,Green第一恒等式,Green第二恒等式：,,,,,,,梯度的性質(zhì),第一章 矢量分析(8),43,Helmholtz定理：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件唯一確定。,簡(jiǎn)單說(shuō)明：,(1)如僅僅給出散度信息 和邊界條件(無(wú)窮遠(yuǎn)處為0)，則下列兩種情況無(wú)法區(qū)分,第一章 矢量分析(8),44,(2)如僅僅給出旋度信息 和邊界條件(無(wú)窮遠(yuǎn)處為0) ，則下列兩種情況無(wú)法區(qū)分,(3)如不給出邊界條件，則自由空間的電荷激發(fā)電場(chǎng)與導(dǎo)體附近激發(fā)電場(chǎng)無(wú)法區(qū)分。,