【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題講練 專題四 歸納與猜想（含解析） 新人教版

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1、 專題四　歸納與猜想 歸納猜想問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論，在解答過程中需要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、試驗(yàn)、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系．在中考試卷中多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)． 考向一　數(shù)字規(guī)律問題 數(shù)字規(guī)律問題，即按一定的規(guī)律排列的數(shù)之間的相互關(guān)系或大小變化規(guī)律的問題． 【例1】如圖，一個(gè)數(shù)表有7行7列，設(shè)aij表示第i行第j列上的數(shù)(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行

2、第3列上的數(shù)a53＝7. 1　2　3　4　 3　2　 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7 則(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________. (2)此數(shù)表中的四個(gè)數(shù)anp，ank，amp，amk，滿足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________. 解析：根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律，得a23＝

3、4，a22＝3， a52＝6，a53＝7， 所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0. 對(duì)于(2)中四個(gè)數(shù)anp，ank，amp，amk，可以發(fā)現(xiàn)anp與ank為同一行的數(shù)，且其差為第p個(gè)數(shù)與第k個(gè)數(shù)之差，同理amk與amp之差也為同行中第k個(gè)數(shù)與第p個(gè)數(shù)之差． 根據(jù)數(shù)表中數(shù)字排列規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)差互為相反數(shù)，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0. 答案：(1)0　(2)0 方法歸納 解答數(shù)字規(guī)律問題的關(guān)鍵是，仔細(xì)分析數(shù)表中或行列中前后各數(shù)之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律，利用規(guī)律解題． 考向二　數(shù)式規(guī)律問題 解答此類問題的常用方法是：(1)將所給每個(gè)數(shù)據(jù)化

4、為有規(guī)律的代數(shù)式或等式；(2)按規(guī)律順序排列這些式子；(3)將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用代數(shù)式或等式表示出來；(4)用題中所給數(shù)據(jù)驗(yàn)證規(guī)律的正確性． 【例2】給出下列命題： 命題1：直線y＝x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是(1,1)； 命題2：直線y＝8x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是； 命題3：直線y＝27x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是； 命題4：直線y＝64x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是； …… (1)請(qǐng)你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n(n為正整數(shù))； (2)請(qǐng)驗(yàn)證你猜想的命題n是真命題． 解：(1)命題n：直線y＝n3x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是； (2)將代入直線y＝n3x得：右邊＝n3×＝n2，左

5、邊＝n2， ∴左邊＝右邊．∴點(diǎn)在直線y＝n3x上． 同理可證：點(diǎn)在雙曲線y＝上， ∴直線y＝n3x與雙曲線y＝有一個(gè)交點(diǎn)是. 方法歸納 此類問題要從整體上觀察各個(gè)式子的特點(diǎn)，猜想出式子的變化規(guī)律，并進(jìn)行驗(yàn)證． 對(duì)于本題來說，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化的點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，同時(shí)找出兩個(gè)函數(shù)的系數(shù)和橫坐標(biāo)的關(guān)系． 考向三　數(shù)形規(guī)律問題 根據(jù)一組圖形的排列，探究圖形變化所反映的規(guī)律，其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見． 【例3】用同樣大小的小圓按下圖所示的方式擺圖形，第1個(gè)圖形需要1個(gè)小圓，第2個(gè)圖形需要3個(gè)小圓，第3個(gè)圖形需要6個(gè)小圓，第4個(gè)圖形需要10個(gè)小圓，按照這樣的規(guī)律擺

6、下去，則第n個(gè)圖形需要小圓__________個(gè)(用含n的代數(shù)式表示)． 解析：觀察圖形可知，第n個(gè)圖形比第(n－1)個(gè)圖形多n個(gè)小圓， 所以第n個(gè)圖形需要小圓1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)． 答案：n(n＋1) 方法歸納 解決這類問題的關(guān)鍵是，仔細(xì)分析前后兩個(gè)圖形中基礎(chǔ)圖案的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律．具體地說，先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律，然后將每一個(gè)數(shù)字改寫為等式，再比較各等式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，分析不同點(diǎn)(數(shù)字)與等式序號(hào)之間的關(guān)系，從而得到一般規(guī)律． 一、選擇題 1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，

7、其中，，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6….當(dāng)AB＝1時(shí)，l2 011等于(　　) A． B． C． D． 2．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2 011個(gè)正方形的面積為(　　) A．52 010 B．52 011 C．52 009 D．54 020 二、填空題 3．按

8、一定規(guī)律排列的一列數(shù)，依次為1,4,7，….則第n個(gè)數(shù)是__________． 4．如圖(1)，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1；取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為__________． 5．如圖，在一單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜邊在x軸上、斜邊長(zhǎng)分別為2,4,6，……的等腰直角三

9、角形．若△A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，則依圖中所示規(guī)律，A2 012的坐標(biāo)為__________． 三、解答題 6．觀察下列算式： ①1×3－22＝3－4＝－1 ②2×4－32＝8－9＝－1 ③3×5－42＝15－16＝－1 ④__________________________ …… (1)請(qǐng)你按以上規(guī)律寫出第4個(gè)算式； (2)把這個(gè)規(guī)律用含字母n(n為正整數(shù))的式子表示出來； (3)你認(rèn)為(2)中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由． 7．觀察圖形，解答問題： (1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格： 圖

10、① 圖② 圖③ 三個(gè)角上 三個(gè)數(shù)的積 1×(－1)× 2＝－1 (－3)×(－4)× (－5)＝－60 三個(gè)角上 三個(gè)數(shù)的和 1＋(－1)＋ 2＝2 (－3)＋(－4)＋ (－5)＝－12 積與和的商 －2÷2＝－1 (2)請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x. 8．(1)△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請(qǐng)說明理由． 圖1 圖2 圖3 (2)

11、圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為S1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為S2(如圖2)，則S2＝__________. (3)按(1)(2)的方法，再在余下的四個(gè)三角形中，分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為S3(如圖3)；繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時(shí)，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和． 參考答案 專題提升演練 1．B　可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每段弧的度數(shù)都等于60°，Kn－1Kn的半徑為n，所以l2

12、011＝＝. 2．D　由題意知，OA＝1，OD＝2，DA＝，∴AB＝AD＝，利用互余關(guān)系證得△DOA∽△ABA1，∴＝，∴BA1＝AB＝，∴A1B1＝A1C＝AB＝，同理，A2B2＝A1B1＝2，一般地AnBn＝n，第2 011個(gè)正方形的面積為(A2 010B2 010)2＝54 020，故選D. 3．3n－2　思路一：將數(shù)列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n個(gè)數(shù)是1＋3×(n－1)，即3n－2. 思路二：將數(shù)列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n個(gè)數(shù)是3n－2. 4．　因?yàn)锳1，B1分別是EF，F(xiàn)D的中點(diǎn)，所以A1B1

13、＝ED.因?yàn)檎切切蜛1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積:正六角星形AFBDCE的面積＝2＝.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積＝.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積:正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積＝2＝，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積＝×＝2.如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積等于4＝. 5．(2,1 006) 6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1； (2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由： 因?yàn)閚(n＋2)－(n＋1)2＝n2

14、＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立． 7．解：(1)圖②：(－60)÷(－12)＝5， 圖③：(－2)×(－5)×17＝170， (－2)＋(－5)＋17＝17， 170÷10＝17. (2)圖④：5×(－8)×(－9)＝360， 5＋(－8)＋(－9)＝－1， y＝360÷(－12)＝－30， 圖⑤：＝－3，解得x＝－2. 8．解：(1)如圖甲，由題意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如圖乙，設(shè)MN＝x，則由題意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x， ∴3x＝2，解得x＝. ∴S正方形PNMQ＝2＝. 又∵1＞， ∴甲種剪法所得的正方形的面積更大． (2)S2＝. (3)S10＝. 解法1：探索規(guī)律可知：Sn＝. 剩余三角形的面積和為2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－＝. 解法2：由題意可知， 第1次剪取后剩余三角形面積和為2－S1＝1＝S1. 第2次剪取后剩余三角形面積和為S1－S2＝1－＝＝S2. 第3次剪取后剩余三角形面積和為S2－S3＝－＝＝S3. … 第10次剪取后剩余三角形面積和為S9－S10＝S10＝. 6