【步步高】2014屆高三數學一輪 12.7 正態(tài)分布課時檢測 理 （含解析）北師大版

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1、 12.7 正態(tài)分布 一、選擇題 1．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝(　　) A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 解析 通過正態(tài)分布對稱性及已知條件得 P(X＞4)＝＝＝0.1587，故選B. 答案　B 2. 設隨機變量服從正態(tài)分布 ，則函數不存在零點的概率為( ) A. B. C. D. 解析 函數不存在零點,則 因為，所以 答案 C 3．以Φ(x)表示標準正態(tài)總體在區(qū)間

2、(－∞，x)內取值的概率，若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|＜σ)等于(　　)． A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1) C．Φ D．2Φ(μ＋σ) 解析　由題意得，P(|ξ－μ|＜σ)＝P＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案　B 4．已知隨機變量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，則D(η)等于(　　)． A．0 B．1 C．2 D．4 解析　由X＝2η＋3，得D(X)＝4D

3、(η)，而D(X)＝σ2＝4， ∴D(η)＝1. 答案　B 5．標準正態(tài)總體在區(qū)間(－3,3)內取值的概率為(　　)． A．0.998 7 B．0.997 4 C．0.944 D．0.841 3 解析　標準正態(tài)分布N(0,1)，σ＝1，區(qū)間(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率 P＝0.997 4. 答案　B 6．已知三個正態(tài)分布密度函數φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則(　　)． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

4、 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解析　正態(tài)分布密度函數φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關于同一條直線對稱，所以其平均數相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的對稱軸的橫坐標值比φ1(x)的對稱軸的橫坐標值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案　D 7．在正態(tài)分布N中，數值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)內的概率為(　　)． A．0.097 B．0.046 C．0.03

5、D．0.0026 解析　∵μ＝0，σ＝ ∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案　D 二、填空題 8. 隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，則P(ξ＜2)＝________. 答案 0.7 9．某班有50名學生，一次考試后數學成績ξ(ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計該班學生數學成績在110分以上的人數為________． 解析　由題意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，∴該班學生數學成績在110分以上的人數為0.2×50

6、＝10. 答案　10 10．在某項測量中，測量結果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內取值的概率為0.4，則X在(0,2)內取值的概率為________． 解析　∵X服從正態(tài)分布(1，σ2)， ∴X在(0,1)與(1,2)內取值的概率相同均為0.4. ∴X在(0,2)內取值概率為0.4＋0.4＝0.8 答案　0.8 11．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，記Ф(x)＝P(ξ＜x)，給出下列結論： ①Φ(0)＝0.5； ②Φ(x)＝1－Φ(－x)； ③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1. 則正確結論的序號是________． 答案?、佗冖? 12．

7、商場經營的某種包裝大米的質量(單位：kg)服從正態(tài)分布X～N(10,0.12)，任選一袋這種大米，質量在9.8～10.2 kg的概率是________． 解析　P(9.8

8、 所以此人在10分鐘至20分鐘和40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為 0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正態(tài)曲線關于直線x＝30對稱得此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為0.135 9. 14．若一批白熾燈共有10 000只，其光通量X服從正態(tài)分布，其概率密度函數是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，試求光通量在下列范圍內的燈泡的個數． (1)209－6～209＋6； (2)209－18～209＋18. 解析　由于X的概率密度函數為 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)， ∴μ＝209，σ＝6. ∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ

9、－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18. 因此光通量X的取值在區(qū)間(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)內的概率應分別是0.682 6和0.997 4. (1)于是光通量X在209－6 ～209＋6范圍內的燈泡個數大約是 10 000×0.682 6＝ 6 826. (2)光通量在209－18～209＋18范圍內的燈泡個數大約是 10 000×0.997 4＝9 974. 15．在某次數學考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N(100,100)，已知滿分為150分． (1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(80,120]內的

10、概率； (2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數． 解析　(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考試成績位于區(qū)間(80,120]內的概率為0.954 4. (2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10) ＝0.682 6， ∴P(ξ＞110)＝(1－0.682 6)＝0.158 7， ∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人數為2 000×0.841 3≈1 683(人)．

11、16．在某市組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上的學生有13人． (1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？ (2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生，問受獎學生的分數線是多少？ 解析　設學生的得分情況為隨機變量X，X～N(60,100)． 則μ＝60，σ＝10. (1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3 ∴學生總數為：＝10 000(人)． (2)成績排在前228名的學生數占總數的0.022 8. 設分數線為x. 則P(X≥x0)＝0.022 8. ∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x0＝60＋2×10＝80(分)． 5