【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課時檢測 理 （含解析）北師大版

《【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課時檢測 理 （含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【步步高】2014屆高三數(shù)學一輪 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課時檢測 理 （含解析）北師大版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性 一、選擇題 1．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)等于(　　)． A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析　由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.則b＝－1， f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案　D 2．已知定義在R上的奇函數(shù)，f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為 (　　)． A．－1 B．0 C

2、．1 D．2 解析　(構(gòu)造法)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝sin x，則有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一個滿足條件的函數(shù)，所以f(6)＝sin 3π＝0，故選B. 答案　B 【點評】 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造出一個符合條件的具體函數(shù)，是解答抽象函數(shù)選擇題的常用方法，充分體現(xiàn)了由抽象到具體的思維方法. 3．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的任意不恒為零的函數(shù)，則下列判斷：①f(|x|)為偶函數(shù)；②f(x)＋f(－x)為非奇非偶函數(shù)；③f(x)－f(－x)為奇函數(shù)；④[f(x)]2為偶函數(shù)．其中正確判斷的個數(shù)有(　　) A．1個

3、 B．2個 C．3個 D．4個 解析 對于①，用－x代替x，得f(|－x|)＝f(|x|)，所以①正確；對于②，用－x代替x，得f(－x)＋f(x)＝f(x)＋f(－x)，所以②錯誤；對于③，用－x代替x，得f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]，所以③正確；易知④錯誤． 答案　B 4．已知f(x)是定義在R上的周期為2的周期函數(shù)，當x∈[0,1)時，f(x)＝4x－1，則f(－5.5)的值為(　　) A．2 B．－1 C．－

4、 D．1 解析 f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1. 答案　D 5.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2,1]上的圖像，則f(2 011)＋f(2 012)＝(　　) A．3　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：由于f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，所以 f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由圖像可知 f(1)＝1，f

5、(－1)＝2， 所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3. 答案：A 6．設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且當x∈[－3，－2]時，f(x)＝4x，則f(107.5)＝(　　) A．10 B. C．－10 D．－ 解析] 由f(x＋6)＝－＝f(x)知該函數(shù)為周期函數(shù)，周期為6，所以f(107.5)＝f＝f，又f(x)為偶函數(shù)，則f＝f＝－＝－＝. 答案：B 7． 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2009)

6、＋f(2011)的值為(　　) A．－1 B．1 C．0 D．無法計算 解析 由題意得g(－x)＝f(－x－1)，又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期為4， ∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(

7、0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0. 答案：C 二、填空題 8．若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)＝________. 解析　∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)， ∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案?。? 9．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，當x∈[0,5]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y＜0的x的取值集合為________． 解析　由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y

8、＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于坐標原點對稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，得它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y＜0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． 答案　(－2,0)∪(2,5) 10． 設(shè)f(x)是偶函數(shù)，且當x>0時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)＝f的所有x之和為________． 解析 ∵f(x)是偶函數(shù)，f(2x)＝f， ∴f(|2x|)＝f， 又∵f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)， ∴|2x|＝， 即2x＝或2x＝－， 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0， 設(shè)方程2x2＋7x－1＝0的兩根為x1，x2，

9、方程2x2＋9x＋1＝0的兩根為x3，x4. 則(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8. 答案 －8 11．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 013)＝________. 解析　法一　當x＝1，y＝0時，f(0)＝；當x＝1，y＝1時，f(2)＝－；當x＝2，y＝1時，f(3)＝－；當x＝2，y＝2時，f(4)＝－；當x＝3，y＝2時，f(5)＝；當x＝3，y＝3時，f(6)＝；當x＝4，y＝3時，f(7)＝；當x＝4，y＝4時，f(8)＝－；…. ∴f(x)是以6為周期的函數(shù)， ∴f(2 013)＝f(3

10、＋335×6)＝f(3)＝－. 法二　∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， ∴構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)＝cos x， ∴f(2 013)＝cos＝－. 答案　－ 12．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時f(x)＝1－x，則 ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號是________． 解析　由已知條件：f(x＋2)＝f(x)

11、， 則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確； 當－1≤x≤0時0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x，函數(shù)y＝f(x)的圖象 如圖所示： 當3

12、給定區(qū)間內(nèi)的整數(shù)，故由定義知，f(x)＝|x|，x∈. (2)當x∈(k∈Z)時，k為給定區(qū)間內(nèi)的整數(shù)，故f(x)＝|x－k|，x∈(k∈Z)． (3)對任意x∈R，函數(shù)f(x)都存在，且存在k∈Z，滿足k－≤x≤k＋，f(x)＝|x－k|，由k－≤x≤k＋，得－k－≤－x≤－k＋，此時－k是區(qū)間內(nèi)的整數(shù)，因此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． 14．已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求證f(x)是奇函數(shù)； (2)求f(x)在[－3,3]上

13、的最大值和最小值． (1)證明　令x＝y(tǒng)＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x， 則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)為奇函數(shù)． (2)解　任取x1＜x2，則x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)為減函數(shù)．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. 所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6. 15.已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1

14、， (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[1,2]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值． 解析 (1)證明　函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2) 當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]， 又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]． (3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0

15、， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1 又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013) ＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 16.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間． 解析 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4

16、為周期的周期函數(shù)， ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)， 得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 又0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則 S＝4S△OAB＝4×＝4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)， 單調(diào)遞減區(qū)間[4k＋1,4k＋3](k∈Z)． 6