《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、選擇題
1． {an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和．若S10＝S11，則a1＝( )
A．18 B．20
C．22 D．24
解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
答案：B
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 由a4＋a6＝a1
2、＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，從而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n＝6.
答案 A
3．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則S9等于( )．
A．66 B．99 C．144 D．297
解析 ∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，
∴3a4＝39,3a6＝27，
∴a4＝13，a6＝9.
∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，
∴d＝－2，
∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，
∴S9＝＝9a5＝99.
答案 B
4．
3、設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝30，S4＝7，則a4的值等于( )
A. B.
C. D.
解析 由已知，得，即
解得
則a4＝a1＋3d＝，故選C.
答案 C
5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝( )．
A．8 B．7 C．6 D．5
解析 由a1＝1，公差d＝2得通項(xiàng)an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2
4、，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.
答案 D
6．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為( )．
A．12 B．15 C．12 D．15
解析 不妨設(shè)角A＝120°，c＜b，則a＝b＋4，c＝b－4，于是cos 120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin 120°＝15.
答案 B
7.在等差數(shù)列中，,則的前5項(xiàng)和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 .
答案 B
二、填空題
5、8．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.
解析：a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.
答案：3
9. 定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，那么a18的值為________．
解析 由題意知an＋an＋1＝5，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，…，a18＝3.
答案 3
10．在等差數(shù)列{
6、an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為________．
解析 (直接法)設(shè)公差為d，則11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
所以d＝，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．
令an≤0，所以－3＋(n－1)·≤0，所以n≤，
又n∈N*，前6項(xiàng)均為負(fù)值，
所以Sn的最小值為－.
答案?。?
【點(diǎn)評(píng)】 本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值.
11．兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比為，則它們的第7項(xiàng)之比為________．
解析 設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn
7、}的前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則＝，而＝＝＝＝.
答案 3∶1
12．已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且為等差數(shù)列，則λ的值是________．
解析 由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，則－＝－－＝－－＝－，當(dāng)λ的值是－1時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
答案?。?
三、解答題
13．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范圍．
思路分析 第(1)問建立首項(xiàng)a1與公差d的方程組求解；第(2)問建立首項(xiàng)a1與公差d的方程，利用完全
8、平方公式求范圍．
解析 (1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因?yàn)镾5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范圍為d≤－2或d≥2.
【點(diǎn)評(píng)】 方程思想在數(shù)列中常常用到，如求通項(xiàng)an及Sn時(shí)，一般要建立首項(xiàng)a1與公差d(或公比q)的方程組.
14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝10n－n2，(n∈N*)．
(1)求a1和an；
(2)記bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
9、
解析 (1)∵Sn＝10n－n2，∴a1＝S1＝10－1＝9.
∵Sn＝10n－n2，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，
Sn－1＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11，
∴an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11)
＝－2n＋11.
又n＝1時(shí)，a1＝9＝－2×1＋11，符合上式．
則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n＋11(n∈N*)．
(2)∵an＝－2n＋11，∴bn＝|an|＝
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，
n≤5時(shí)，Tn＝＝10n－n2；
n>5時(shí)Tn＝T5＋＝25＋＝25＋(n－5)2＝n2－10n＋50，
∴數(shù)列{b
10、n}的前n項(xiàng)和Tn＝
15．在數(shù)列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.
(1)求an；
(2)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求Sn的最小值．
思路分析 由已知條件可推知n應(yīng)分奇數(shù)和偶數(shù)．
解析 (1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，
an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.
∴an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.
同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以a2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列．
從而an＝
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn＝(a1＋
11、a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n，
故當(dāng)n＝22時(shí)，Sn取得最小值－242.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44)
＝－23＋－22(n－1)
＝－22n－.
故當(dāng)n＝21或n＝23時(shí)，Sn取得最小值－243.
綜上所述：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn取得最小值為－242；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn取最小值為－24
12、3.
【點(diǎn)評(píng)】 數(shù)列中的分類討論一般有兩種：一是對(duì)項(xiàng)數(shù)n的分類；二是對(duì)公比q的分類，解題時(shí)只要細(xì)心就可避免失誤．
16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1， am，am＋2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
解析 (1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，兩式相減可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a
13、2＝ra1＝ra，
所以當(dāng)r＝0時(shí)，數(shù)列{an}為：a,0，…，0，…；
當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，
于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，
∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝r(r＋1)n－2a.
綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝
(2)對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．證明如下：
當(dāng)r＝0時(shí)，由(1)知，an＝
∴對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．
當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，
使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，則Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.
由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是
對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，從而am＋2＝4am，
∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．
綜上，對(duì)于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列．
5
【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版
