《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)檢測(cè) 理 (含解析)北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)檢測(cè) 理 (含解析)北師大版(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、選擇題
1. {an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng)和.若S10=S11,則a1=( )
A.18 B.20
C.22 D.24
解析:由S10=S11得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.
答案:B
2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 由a4+a6=a1
2、+a9=-11+a9=-6,得a9=5,從而d=2,所以Sn=-11n+n(n-1)=n2-12n=(n-6)2-36,因此當(dāng)Sn取得最小值時(shí),n=6.
答案 A
3.在等差數(shù)列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,則S9等于( ).
A.66 B.99 C.144 D.297
解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,
∴3a4=39,3a6=27,
∴a4=13,a6=9.
∴a6-a4=2d=9-13=-4,
∴d=-2,
∴a5=a4+d=13-2=11,
∴S9==9a5=99.
答案 B
4.
3、設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S8=30,S4=7,則a4的值等于( )
A. B.
C. D.
解析 由已知,得,即
解得
則a4=a1+3d=,故選C.
答案 C
5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 由a1=1,公差d=2得通項(xiàng)an=2n-1,又Sk+2-Sk=ak+1+ak+2
4、,所以2k+1+2k+3=24,得k=5.
答案 D
6.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為( ).
A.12 B.15 C.12 D.15
解析 不妨設(shè)角A=120°,c<b,則a=b+4,c=b-4,于是cos 120°==-,解得b=10,所以S=bcsin 120°=15.
答案 B
7.在等差數(shù)列中,,則的前5項(xiàng)和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 .
答案 B
二、填空題
5、8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,則k=________.
解析:a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,
Sk=k+×2=k2=9.又k∈N*,故k=3.
答案:3
9. 定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為_(kāi)_______.
解析 由題意知an+an+1=5,所以a2=3,a3=2,a4=3,…,a18=3.
答案 3
10.在等差數(shù)列{
6、an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_(kāi)_______.
解析 (直接法)設(shè)公差為d,則11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,
所以d=,所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.
令an≤0,所以-3+(n-1)·≤0,所以n≤,
又n∈N*,前6項(xiàng)均為負(fù)值,
所以Sn的最小值為-.
答案?。?
【點(diǎn)評(píng)】 本題運(yùn)用直接法,直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào),進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小,最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值.
11.兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比為,則它們的第7項(xiàng)之比為_(kāi)_______.
解析 設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn
7、}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn,則=,而====.
答案 3∶1
12.已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且為等差數(shù)列,則λ的值是________.
解析 由an+1=2an+2n-1,可得=+-,則-=--=--=-,當(dāng)λ的值是-1時(shí),數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
答案?。?
三、解答題
13.設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范圍.
思路分析 第(1)問(wèn)建立首項(xiàng)a1與公差d的方程組求解;第(2)問(wèn)建立首項(xiàng)a1與公差d的方程,利用完全
8、平方公式求范圍.
解析 (1)由題意知S6==-3,a6=S6-S5=-8,
所以
解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.
(2)因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a+9da1+10d2+1=0,
故(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.
故d的取值范圍為d≤-2或d≥2.
【點(diǎn)評(píng)】 方程思想在數(shù)列中常常用到,如求通項(xiàng)an及Sn時(shí),一般要建立首項(xiàng)a1與公差d(或公比q)的方程組.
14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=10n-n2,(n∈N*).
(1)求a1和an;
(2)記bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
9、
解析 (1)∵Sn=10n-n2,∴a1=S1=10-1=9.
∵Sn=10n-n2,當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),
Sn-1=10(n-1)-(n-1)2=10n-n2+2n-11,
∴an=Sn-Sn-1=(10n-n2)-(10n-n2+2n-11)
=-2n+11.
又n=1時(shí),a1=9=-2×1+11,符合上式.
則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n+11(n∈N*).
(2)∵an=-2n+11,∴bn=|an|=
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,
n≤5時(shí),Tn==10n-n2;
n>5時(shí)Tn=T5+=25+=25+(n-5)2=n2-10n+50,
∴數(shù)列{b
10、n}的前n項(xiàng)和Tn=
15.在數(shù)列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23.
(1)求an;
(2)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,求Sn的最小值.
思路分析 由已知條件可推知n應(yīng)分奇數(shù)和偶數(shù).
解析 (1)由an+1+an=2n-44(n∈N*),
an+2+an+1=2(n+1)-44.
∴an+2-an=2,又a2+a1=2-44,∴a2=-19.
同理得:a3=-21,a4=-17.故a1,a3,a5,…是以a1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,a2,a4,a6,…是以a2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列.
從而an=
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Sn=(a1+
11、a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2×(n-1)-44]
=2[1+3+…+(n-1)]-·44=-22n,
故當(dāng)n=22時(shí),Sn取得最小值-242.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=a1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44]
=a1+2[2+4+…+(n-1)]+·(-44)
=-23+-22(n-1)
=-22n-.
故當(dāng)n=21或n=23時(shí),Sn取得最小值-243.
綜上所述:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn取得最小值為-242;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn取最小值為-24
12、3.
【點(diǎn)評(píng)】 數(shù)列中的分類討論一般有兩種:一是對(duì)項(xiàng)數(shù)n的分類;二是對(duì)公比q的分類,解題時(shí)只要細(xì)心就可避免失誤.
16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,試判斷:對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1, am,am+2是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
解析 (1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,兩式相減可得an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,又a
13、2=ra1=ra,
所以當(dāng)r=0時(shí),數(shù)列{an}為:a,0,…,0,…;
當(dāng)r≠0,r≠-1時(shí),由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),
于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*),
∴a2,a3,…,an,…成等比數(shù)列,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=r(r+1)n-2a.
綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
(2)對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列.證明如下:
當(dāng)r=0時(shí),由(1)知,an=
∴對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
當(dāng)r≠0,r≠-1時(shí),∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在k∈N*,
使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,則Sk+1+Sk+2=2Sk,
∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.
由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比r+1=-2,于是
對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,從而am+2=4am,
∴am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
綜上,對(duì)于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
5