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1、平面及其基本性質(zhì),一、空間概念,空間圖形是由空間的點、線、面所構(gòu)成,這些圖形上的點不完全在同一平面內(nèi),例如:桌子、書、粉筆、螺母等物體,以及我們所熟悉的長方體、圓柱、圓錐等幾何圖形,這些都屬于空間圖形,平面圖形是空間圖形的一部分。 從集合觀點看,空間圖形是滿足某種條件的空間點的集合。,什么是空間圖形?,象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的局部形象,1.平面的概念:,光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉.,2.平面的特征:,平面沒有大小、厚薄和寬窄,平面在空間是無限延展的。,數(shù)學中的平面概念是現(xiàn)實平面加以抽象的結(jié)果。,平面,黑板面是平面,(),,A,D,C,B,平面,、平
2、面AC,二.平面的表示方法,1.圖形語言:通常用平行四邊形來表示平面,2.符號語言:通常用希臘字母 等來表示,如:平面 也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示,如:平面AC,直立平面,水平平面,注意: (1) 當平面是水平放置的時候,通常把平行四邊形的銳角畫成45,橫邊畫成鄰邊長的2倍。,(2)畫直立平面時,要有一組對邊為豎直。,一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖,,(3)相交兩平面:,補充:用數(shù)學符號來表示點、線、面之間的位置關(guān)系:,點A在直線a上:,記為:Aa,點B不在直線a上:,點A在平面內(nèi):,記為:A,點B不在平面上:,(1)點與直線的位置關(guān)系:
3、,(2)點與平面的位置關(guān)系:,,,觀察下列問題,你能得到什么結(jié)論?,三.平面的基本性質(zhì),1公理1: 文字語言:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi) ;,圖形語言:,,,符號語言:Al;Bl,A,B AB .,l,練習:,(1),。,(2),。,公理1的作用有兩個:(1)作為判斷和證明直線是否在平面內(nèi)的依據(jù),即只需要看直線上是否有兩個點在平面內(nèi)就可以了;,(2)公理1可以用來檢驗?zāi)骋粋€面是否為平面,檢驗的方法為:把一條直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn),固定兩個點在面內(nèi)后,如果其他點也在面內(nèi),則該面為平面。,將一把直尺置于桌面上,通過是否漏光 就能檢查桌面是否平整,3公理
4、2: 文字語言:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面,也可以說成不共線的三點確定一個平面。,圖形語言:,符號語言:A、B、C三點不共線,有且只有一個平面,使得A,B, C.,C,如何理解公理2? (1) 公理2是確定平面的條件,也是證明兩個平面重合的依據(jù). (2) 確定平面的條件是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要依據(jù),也為證明直線共面問題提供了依據(jù). (3) 深刻理解“有且只有”的含義,這里的“有”是說平面存在,“只有”是說平面惟一,“有且只有”強調(diào)平面存在并且惟一這兩方面.,,觀察下列問題,你能得到什么結(jié)論?,,,,天花板,墻面,墻面,2. 公理3: 文字語言:如果兩個不
5、重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過這個點的公共直線.,圖形語言:,符號語言:,.,如何理解公理3? (1) 公理3反映了平面與平面的位置關(guān)系,只要“兩面共一點”,就有“兩面共一線,且過這一點,線惟一”. (2) 從集合的角度看,對于不重合的兩個平面,只要他們有公共點,它們就是相交的位置關(guān)系,交集是一條直線.,(3) 公理3的作用: 其一判定兩個平面是否相交; 其二可以判定點在直線上. 點是某兩個平面的公共點,線是這兩個平面的公共交線,則這點在線上. 因此它還是證明點共線或線共點,并且作為畫截面的依據(jù).,,觀察下列問題,你能得到什么結(jié)論?,平面基本性質(zhì)的推論,六. 平面基本性質(zhì)
6、的推論,文字語言 :經(jīng)過一條直線和直線外的一點,有且只有一個平面.,圖形語言:,符號語言:,,a與A共屬于平面且平面惟一 .,(1)推論1:,(2)推論2:,文字語言 :經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.,圖形語言:,符號語言:,a,b共面于平面,且是惟一的 .,A,(3)推論3:,文字語言 :經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.,圖形語言:,符號語言:,a,b共面于平面,且是惟一的 .,a,1.正方體的各頂點如圖所示,正方體的三個面所在平面 ,分別記作 ,試用適當?shù)姆柼羁?,,,,,,,,,2.判斷題: (1)如果一條線段在一個平面內(nèi),那么這條線段的延長線也在這個平面內(nèi)。
7、 (2)三點確定一個平面。 (3)過一條直線可以作無數(shù)多個平面。 (4)三條相交于一點的直線,最多能確定一個平面。 (5)四條線段首尾相連,所得的封閉圖形一定是平面圖形。 (6)兩平面相交,有時只有一個公共點。 (7)過直線外一點,引三條直線與已知直線相交,這三條直線一定在同一平面內(nèi)。 (8)三角形、梯形是平面圖形。 (9)空間三條直線兩兩平行,這樣的三條直線最多可以確定三個平面。,提高題:如圖,在長方體中, 為棱的中點,畫出 由,,三點所確定 的平面與長方體表面的交線,分析:因為點既在平面 內(nèi)又在平面內(nèi),所以點 P在平面 與平面AB1 的交線 上.同理,點A1在平面 與平面 AB1的交線上,因此,PA1就是平面 與平面AB1的交線.,作法: 連結(jié)A1P,PC1,A1C1,它們 就是平面與長方體表面的交線.,1.平面的基本性質(zhì),兩點,不在一條直線,有且只有一條,