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1、3.1 數系的擴充和復數的概念,,3.1.2 復數的幾何意義,1.虛數單位i的基本特征是什么？,（1）i21；,（2）i可以與實數進行四則運算，且原 有的加、乘運算律仍然成立.,復習鞏固,虛數單位i的引入解決了負數不能 開平方的矛盾，并將實數集擴充到了 復數集。,2.復數的一般形式是什么？復數相等的充要條件是什么？,abi（a，bR）；,實部和虛部分別相等.,復習鞏固,3.實數、虛數、純虛數的含義分別如何？,設zabi（a，bR）.,當b0時z為實數；,復習鞏固,當b0時，z為虛數；,當a0且b0時，z為純虛數.,4.復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如何？,,實數,虛數,復習鞏
2、固,5.實數與數軸上的點一一對應，從而實數可以用數軸上的點來表示，這是實數的幾何意義，根據類比推理，復數也應有它的幾何意義.因此，探究復數的幾何意義就成為一個新的學習內容.,提出問題,復數的幾何意義,1、在什么條件下，復數z惟一確定？,給出復數z的實部和虛部,2、設復數zabi（a，bR），以 z的實部和虛部組成一個有序實數對（a，b），那么復數z與有序實數對（a，b）之間是一個怎樣的對應關系？,一一對應,問題探究,3、有序實數對（a，b）的幾何意義是什么？復數zabi（a，bR）可以用什么幾何量來表示？,復數zabi（a，bR）可以用直角坐標系中的點Z（a，b）來表示.,,,,a,b,Z
3、：abi,問題探究,（a，b）,用直角坐標系來表示復數的坐標平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.,形成結論,一般地，實軸上的點，虛軸上的點，各象限內的點分別表示什么樣的數？,各象限內的點表示虛部不為零的虛數.,形成結論,實軸上的點表示實數；,虛軸上的點除原點外都表示純虛數，,1、用有向線段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所確定？,有向線段的始點和終點.,2、用坐標表示平面向量，如何根據向量的坐標畫出表示向量的有向線段？,以原點為始點，向量的坐標對應的點為終點畫有向線段.,,問題探究,3、在復平面內，復數zabi（a，bR）用向量如何表示？,,以原點O為始點，點Z（a，b）為終點
4、的向量 .,問題探究,4、復數zabi（a，bR）可以用向量 表示，向量 的模叫做復數z的模，記作|z|或|abi|，那么|abi|的計算公式是什么？,,問題探究,5、設向量a，b分別表示復數z1，z2， 若ab，則復數z1與z2的關系如何？,規(guī)定：相等的向量表示同一個復數.,6、若|z|1，|z|1，則復數z對應復平面內的點的軌跡分別是什么？,單位圓，單位圓內部.,問題探究,,,,,例1 已知復數 對應的點在直線x2y10上，求實數m 的值.,,,典例講評,例2 若復平面內一個正方形的三個頂點對應的復數分別為z112i，z22i，z312i，求這個正方形第四個頂點對應的復數.,z42i,
5、典例講評,例3 設復數 ， 若|z|5，求x的取值范圍.,,,典例講評,課堂小結,3.復數zabi與復平面內的點 Z（a，b）和向量 是一個三角對應關系，即,復數zabi,,課堂小結,3.2 復數代數形式的四則運算,3.2.1 復數代數形式的加、減 運算及其幾何意義,復習鞏固,,,1.復數的代數形式是什么？在什么條件下，復數z為實數、虛數、純虛數？,代數形式：zabi（a，bR）.,當b0時z為實數； 當b0時，z為虛數； 當a0且b0時，z為純虛數.,2.復數zabi（a，bR）對應復平面內的點Z的坐標是什么？復數z可以用復平面內哪個向量來表示？,對應點Z（a，b），,,用向量 表
6、示.,,提出問題,3.兩個實數可以進行加、減運算，兩個向量也可以進行加、減運算，根據類比推理，兩個復數也可以進行加、減運算，我們需要研究的問題是，復數的加、減運算法則是什么？,提出問題,復數代數形式的加、減 運算及其幾何意義,問題探究,z1z2,問題探究,3、設復數z1abi，z2cdi對應的向量分別為 ， ，那么向量 ， 的坐標分別是什么？,(a，b)， (c，d)， (ac，bd).,問題探究,4、設復數z1abi，z2cdi，則復數z1z2等于什么？,z1z2(ac)(bd)i.,問題探究,5、(abi)(cdi)(ac) (bd)i就是復數的加法法則，如何用文字語言表述這個法則的數
7、學意義？,兩個復數的和仍是一個復數. 兩個復數的和的實部等于這兩個復數的實部之和，兩個復數的和的虛部等于這兩個復數的虛部之和.,問題探究,6、兩個實數的和仍是一個實數，兩個復數的和仍是一個復數，兩個虛數的和仍是一個虛數嗎？,不一定.,問題探究,7、復數的加法法則滿足交換律和結合律嗎？,z1z2z2z1，,(z1z2)z3z1(z2z3).,,問題探究,8、規(guī)定：復數的減法是加法的逆運算，若復數zz1z2，則復數z1等于什么？,z1zz2,9、設復數z1abi，z2cdi，zxyi，代人z1zz2，由復數相等的充要條件得x，y分別等于什么？,xac，ybd.,問題探究,10、根據上述分析，設
8、復數z1abi，z2cdi，則z1z2等于什么？,z1z2(ac)(bd)i,問題探究,復數的減法法則：,2、兩個復數的差仍是一個復數. 兩個復數的差的實部等于這兩個復數的實部之差，兩個復數的差的虛部等于這兩個復數的虛部之差.,形成結論,1、(abi)-(cdi)(a-c)+(b-d)i,1、設復數z1abi，z2cdi對應的向量分別為 ， ，則復數z1z2對應的向量是什么？|z1z2|的幾何意義是什么？,,|z1z2|的幾何意義表示復數z1，z2對應復平面內的點之間的距離.,,問題探究,2、設a，b，r為實常數，且r0，則滿足|z(abi)|r的復數z對應復平面上的點的軌跡是什么？,
9、以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓.,,問題探究,3、滿足|z(abi)||z(cdi)|的復數z對應復平面上的點的軌跡是什么？,,,點(a，b)與點(c，d)的連線段的垂直平分線.,問題探究,4、設a為非零實數，則滿足|za||za|，|zai||zai|的復數z分別具有什么特征？,若|za||za|，則z為純虛數或零；,若|zai||zai|，則z為實數.,問題探究,例1 計算(56i)(2i)(34i).,11i,,,例2 如圖，在矩形OABC中，|OA|2|OC|點A對應的復數為 ，求點B和向量 對應的復數.,,,典例講評,1.復數的加、減運算法則表明，若干個復數的代數和仍是一個復數
10、，復數的和差運算可轉化為復數的實部、虛部的和差運算.,2.在幾何背景下求點或向量對應的復數，即求點或向量的坐標，有關復數模的問題，根據其幾何意義，有時可轉化為距離問題處理.,課堂小結,3. 在實際應用中，既可以將復數的運算轉化為向量運算，也可以將向量的運算轉化為復數運算，二者對立統(tǒng)一.,課堂小結,P109練習：1，2. P112習題3.2A組：2，3.,布置作業(yè),3.2 復數代數形式的四則運算,3.2.2 復數代數形式的乘除運算,1.設復數z1abi，z2cdi，則 z1z2，z1z2分別等于什么？,z1z2(ac)(bd)i.,z1z2(ac)(bd)i,2.設z1，z2為復數，則|z1z
11、2|的幾何意義是什么？,復數z1，z2對應復平面內的點之間的距離.,復習鞏固,復數代數形式 的乘除運算,1、設a，b，c，dR， 則(ab)(cd)怎樣展開？,(ab)(cd)acadbcbd,問題探究,1、設復數z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，則 z1z2(abi)(cdi)，按照上述運算法則將其展開，z1z2等于什么？,z1z2(acbd)(adbc)i.,形成結論,2、(abi)2a2b22abi.,1、復數的乘法是否滿足交換律、結合律和對加法的分配律？,z1z2z2z1，,(z1z2)z3z1(z2z3)，,z1(z2z3)z1z2z1z3.,問題探究,2
12、、對于復數z1，z2，|z1z2|與|z1||z2|相等嗎？,|z1z2||z1||z2|,問題探究,,實部相等，虛部互為相反數的兩個復數叫做互為共軛復數.,3、在實數中， 與 互稱為有理化因式，在復數中，abi 與abi互稱為共軛復數，一般地，共 軛復數的定義是什么？,問題探究,,4、復數z的共軛復數記作 ，虛部不為零的兩個共軛復數也叫做共軛虛數，那么z與 在復平面內所對應的點的位置關系如何？ 等于什么？,,,關于實軸對稱,問題探究,,5、若復數z1z2z，則稱復數z為復數z1除以z2所得的商，即zz1z2. 一般地，設復數z1abi，z2cdi（cdi0），如何求z1z2？,,問題探
13、究,6、 就是復數的除法法則，并且兩個復數相除（除數不為0），所得的商還是一個 復數，那么如何計算 ？,,,,問題探究,,,,7、怎樣理解 ？,問題探究,例1 設z(12i)(34i)(1i)2求 .,,例2 設復數 ，若z為純虛 數，求實數m的值.,m3,典例講評,1.復數的乘法法則類似于兩個多項式相乘，展開后要把i2換成1，并將實部與虛部分別合并.若求幾個復數的連乘積，則可利用交換律和結合律每次兩兩相乘.,課堂小結,2.復數的除法法則類似于兩個根式的除法運算，一般先將除法運算式寫成分式，再將分子分母同乘以分母的共軛復數，使分母化為實數，分子按乘法法則運算.,課堂小結,3.對復數
14、的乘法、除法運算要求掌握它們的算法，不要求記憶運算公式，對復數式的運算結果，一般要化為代數式.,課堂小結,P111練習：1，2，3.,布置作業(yè),復數的概念與運算題型分析,第一課時,題型一：復數的混合運算,,例1 計算：,173i,,例2 設復數z1i，求 的值.,1i,題型二：復數的變式運算,,例3 已知復數z滿足 ， 求 的值.,i,例4 已知復數z滿足 ， 求 的值.,1,題型三：求滿足某條件的復數值,例5 已知復數z滿足 為純虛數， 且 ，求z的值.,例6 已知復數z滿足 ，求z的值.,題型三：求滿足某條件的復數值,例7 已知復數z滿足|z2|
15、2，且 ，求z的值.,z4或 .,題型三：求滿足某條件的復數值,P112習題3.2A組：4，5. P116復習參考題A組：2，3.,復數的概念與運算題型分析,第二課時,題型四：求復數式中的實參數值,例8 已知復數z1i，若 ，求實數a，b的值.,a1，b2.,題型四：證明復數的有關性質,,例9 求證：復數z為純虛數的充要條件是z20.,題型四：證明復數的有關性質,,例10 已知復數z滿足|z|1，求證： .,例11 已知復數z1，z2滿足z1z20，求證：z10或z20.,題型五：求復數式中的實參數值,例12 已知復數z滿足|z|1，且 ,求m的值.,題型六：復數的幾何意義及其應用,例13 已知復數z滿足 ，求復數z對應復平面內的點P的軌跡.,以點（1，0）為圓心，2為半徑的圓.,,例14 已知復數z滿足: ，求|zi|的取值 范圍.,1，3,題型六：復數的幾何意義及其應用,例15 設復數z1，z2，z3分別對應復平面內的點A，B，C，若z1z2z30，且|z1||z2||z3|1，求證:ABC為正三角形.,,題型六：復數的幾何意義及其應用,
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