電工技術(shù)（西電第二版）第3章正弦交流電路

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1、第3章正弦交流電路,,3.1正弦交流電的基本概念 3.2正弦量的相量表示法 3.3單一參數(shù)電路元件的交流電路 3.4電阻電感電容串聯(lián)電路 3.5正弦交流電路的一般分析方法 3.6電路的諧振 3.7功率因數(shù)的提高 本章小結(jié) 思考題與習(xí)題,3.1 正弦交流電的基本概念3.1.1 電力生產(chǎn)過程介紹圖3-1為燃煤電廠的火力發(fā)電生產(chǎn)及輸送過程示意圖。,,,圖3-1 火力發(fā)電生產(chǎn)及輸送過程示意圖,水力發(fā)電及輸送過程示意圖如圖3-2所示。 電力生產(chǎn)所耗用的一次能源量是很大的， 一座100萬千瓦燃煤發(fā)電廠日耗原煤量約1100013000噸。 在生產(chǎn)過程中， 電廠自身需用電量， 火電廠的廠用電率為7%9%。水電

2、廠的廠用電率為0.3%左右。 在供電過程中， 輸配電設(shè)備的線損率為8%左右， 管理不善的系統(tǒng)還要高得多。,,,圖3-2 水力發(fā)電及輸送過程示意圖,3.1.2 發(fā)電機(jī)的工作原理圖3-3是一個(gè)最簡單的交流發(fā)電機(jī)的原理示意圖。 交流發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)， 主要由一對(duì)能夠產(chǎn)生磁場的磁極（定子）和能夠產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的線圈（轉(zhuǎn)子）組成。 轉(zhuǎn)子線圈的兩端分別接到兩只互相絕緣的銅滑環(huán)上， 銅環(huán)與連接外電路的電刷相接觸。 圖3-4是線圈在磁場運(yùn)動(dòng)中切割磁力線的情況。,,,圖3-3 交流發(fā)電機(jī)原理示意圖,,圖3-4 交流發(fā)電機(jī)線圈在磁場中的運(yùn)動(dòng),在圖3-3中， 由于發(fā)電機(jī)線圈cd邊切割磁力線運(yùn)動(dòng)， 所以其產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

3、為ecd=BLv sin(t+j0) (3-1)同理， 線圈ab邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為eab=BLv sin(t+j0) (3-2)所以整個(gè)線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為e=eab+ecd=2BLv sin(t+j0)=Em sin(t+j0) (3-3)式中， Em=2BLv是感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值， 又叫振幅。,,3.1.3 周期和頻率 周期電流應(yīng)該是i(t)=i(t+kT) (3-4)式中， k為任意正整數(shù)， 單位為秒（s）。 周期電流波形如圖3-5所示。式（3-4）表明， 在時(shí)間t和時(shí)刻t+kT的電流值是相等的。,,,圖3-5 正弦交流電的波形,于是, 將T稱為周期， 周期的倒數(shù)稱為頻率， 用

4、符號(hào)f表示， 即,,,(3-5),頻率表示了單位時(shí)間內(nèi)周期波形重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)。 頻率的單為1/s， 有時(shí)稱為赫茲（Hz）。 我國工業(yè)和民用電的頻率是50 Hz， 稱為標(biāo)準(zhǔn)工業(yè)頻率或簡稱工頻。,3.1.4 相位和相位差1 相位 正弦電流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為i(t)=Im sin(t+ji) (3-6)式中的三個(gè)常數(shù)Im、、ji稱為正弦量的三要素。 Im為正弦電流的振幅， 它是正弦電流在整個(gè)變化過程中所能達(dá)到的最大值。 稱為正弦電流i的角頻率， 正弦量隨時(shí)間變化的核心部分是t+ji， 它反映了正弦量的變化進(jìn)程， 稱為正弦量的相角或相位，就是相角隨時(shí)間變化的速度， 單位是rad/s。,,反映正弦量

5、變化快慢的要素， 與正弦量的周期T和頻率f有如下關(guān)系T=2或,,,ji稱為正弦電流i的初相角（初相）。 它是正弦量t=0時(shí)刻的相角， 它的大小與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。 初相角ji在工程上用角度來度量， 一般總是取小于或等于的數(shù)值。,我們以正弦交流電過零變正的時(shí)刻為一個(gè)周期的波形起始點(diǎn)， 如在t=0時(shí)，正弦交流電正好處于波形起始點(diǎn)， 則認(rèn)為初相角ji=0； 如正弦交流電在t=0之前已經(jīng)到達(dá)波形的起始點(diǎn)，則認(rèn)為ji0；如正弦交流電在t=0之后才到達(dá)波形起始點(diǎn)，則認(rèn)為ji<0。用正弦交流電的三要素能完全表征正弦交流電在任何瞬間的數(shù)值瞬時(shí)值。如圖3-6所示為正弦電流的瞬時(shí)值波形。電壓或電流瞬時(shí)值常用小寫

6、字母u(t)或i(t)來表示。,,,圖3-6 正弦電流的瞬時(shí)值波形,2 相位差 在正弦電流電路的分析中， 經(jīng)常要比較同頻率的正弦量的相位差。 設(shè)任意兩個(gè)同頻率的正弦量 i1(t)=I1m sin(t+j1)i2(t)=I2m sin(t+j2)它們之間的相位之差稱為相位差， 用j表示， 即j=(t+j1)(t+j2)=j1j2 (3-8),,如圖3-7所示， 若j0， 表明i1超前i2， 稱i1超前i2一個(gè)相位角j， 或者說i2滯后i1一個(gè)相位角j 。 若j =0， 表明i1與i2同時(shí)達(dá)到最大值， 則稱它們是同相位的， 簡稱同相。 若j =180， 則稱它們的相位相反， 簡稱反相。若j <

7、0， 表明i1滯后i2一個(gè)相位角j 。,,,圖3-7 兩個(gè)同頻率正弦量之間的相位差,例3-1 已知正弦電壓u和電流 i1、 i2的瞬時(shí)值表達(dá)式為u=310 sin(t45)Vi1=14.1 sin(t30)Ai2=28.2 sin(t+45)A 試以電壓u為參考量重新寫出u和電流i1、i2的瞬時(shí)值表達(dá)式。,,解 以電壓u為參考量， 則電壓u的表達(dá)式為u=310 sint V由于i1與u的相位差為j1=ji1ju=30(45)=15故電流i1的瞬時(shí)值表達(dá)式為i1=14.1 sin(t+15)A由于i2與u的相位差為j2=ji2ju=45(45)=90故電流i2的瞬時(shí)值表達(dá)式為i2=28.2 s

8、in(t+90)A,,3.1.5 有效值 交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)原理來規(guī)定的。 在數(shù)值相同的電阻R上分別通以周期電流i和直流電流I。 當(dāng)周期電流流過電阻時(shí)， 該電阻在一個(gè)周期T內(nèi)所消耗的電能為,,,當(dāng)直流電流流過電阻R時(shí)， 在相同時(shí)間T內(nèi)所消耗的電能為PT=I2RT 如果在周期電流一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)， 這兩個(gè)電阻所消耗的電能相等， 也就是說，就其做功平均能力來說， 這兩個(gè)電流是等效的， 則該直流電流I的數(shù)值可以表征周期電流i的大小， 于是， 把這一等效的直流電流I稱為交流電流i的有效值， 即,,,,,,由式（3-9）可知， 周期電流的有效值等于電流瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值再

9、開方， 因此， 有效值又稱為均方根值。,同理可得周期電壓U的有效值為,,,正弦交流電流i(t)=Im sin(t+ji)的有效值為,,(3-10),,3.2 正弦量的相量表示法3.2.1 相量求解一個(gè)正弦量必須先求得它的三要素， 但在分析正弦交流電路時(shí)， 由于電路中所有的電壓、 電流都是同一頻率的正弦量， 而且它們的頻率與正弦電源的頻率相同，因此， 只要分析另外兩個(gè)要素幅值（或有效值）及初相位就可以了。 正弦量的相量表示就是用一個(gè)復(fù)數(shù)來表示正弦量。 這樣的一個(gè)復(fù)數(shù)稱為相量。 由歐拉公式可知,,,,,(3-12),式（3-12）把一個(gè)實(shí)變數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)和兩個(gè)實(shí)變數(shù)t的正弦函數(shù)聯(lián)系了起來。,,,(

10、3-13),式中, “Re”表示對(duì)復(fù)數(shù)函數(shù)取實(shí)部， “Im”表示對(duì)復(fù)數(shù)函數(shù)取虛部。 這樣， 一個(gè)正弦電流i(t)=Im sin(t+ji)可以寫為,,,,(3-14）,其中,,,3.2.2 相量圖 相量在復(fù)平面上可以用有向線段表示， 電壓相量如圖3-8所示。,圖3-8 電壓相量圖,旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影便是正弦電流， 如圖3-9所示。,圖3-9 旋轉(zhuǎn)相量及其在實(shí)軸和虛軸的投影,例3-3 已知， ， 求總電流i=i1+i2的瞬時(shí)值。 解 方法一： i1、i2的有效值相量分別為,,,,,,所以,,,,,方法二： i1、 i2的相量圖如圖3-10所示， 用平行四邊行法則求得,,,,,,,,圖3-10

11、 例3-3的圖,,3.3 單一參數(shù)電路元件的交流電路3.3.1 電阻電路1. 電壓電流關(guān)系圖3-11（a）是一個(gè)線性電阻元件的交流電路。,,,圖3-11 電阻元件的交流電路 (a) 電路； (b) 波形圖； (c) 相量圖,電阻元件的電壓電流關(guān)系由歐姆定律確定， 在u、 i參考方向一致時(shí)， 兩者的關(guān)系為u=Ri設(shè)電流為參考正弦量， 即i=Im sint (3-15)則u=Ri=RIm sint=Um sint (3-16),,比較式（3-15）和式（3-16）可知， 電壓u和電流i有如下大小和相位關(guān)系： u、 i的相位差為j=juji=0即電阻元件上的電壓和電流同相。 u、 i的幅值

12、關(guān)系為 Um=RIm u、 i的有效值關(guān)系為 U=RI,,2 功率功率的變化曲線如圖3-12所示， 從曲線可以看出， 電阻所吸收的功率在任一瞬時(shí)總是大于等于零的， 即電阻是耗能元件。 瞬時(shí)功率無實(shí)用意義， 通常都是計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)取用功率的平均值， 稱為平均功率或有功功率， 用大寫字母P表示。,,,,圖3-12 電阻元件的功率,例3-4 已知一個(gè)白熾燈泡， 工作時(shí)的電阻為484 ， 其兩端的正弦電壓u=311 sin(314t60)V， 試求： （1） 通過白熾燈的電流相量 及瞬時(shí)表達(dá)式i； （2） 白熾燈工作時(shí)的功率。,,,解 （1） 電壓相量為,,,電流相量為,,,,,電流瞬時(shí)值表達(dá)式

13、為,(2) 平均功率為,,3.3.2 電感電路1 電壓電流關(guān)系 電感電路如圖3-13（a）所示。,圖3-13 電感元件的交流電路 (a) 電路； (b) 波形圖； (c) 相量圖,在關(guān)聯(lián)參考方向下， 電感元件的電壓、 電流關(guān)系為,,,若設(shè)電流 i為參考正弦量， 即 i = Im sint (3-18） 則,,(3-19）,u、i的相量關(guān)系如下： 若電流相量為 ， 根據(jù)前面的關(guān)系式可得電壓相量為,,,,即,,(3-20),2 功率 電感電路所吸收的瞬時(shí)功率為,,,電感元件的功率變化曲線如圖3-14所示。 從功率曲線可以看出， 曲線所包圍的正、 負(fù)面積相等，

14、 故平均功率（有功功率）為,,,圖3-14 電感元件的功率,例3-5 已知一個(gè)電感線圈， 電感L=0.5H， 電阻可略去不計(jì)， 接在50 Hz、 220 V的電源上， 試求： （1） 該電感的感抗XL； （2） 電路中的電流I及其與電壓的相位差j； （3） 電感占用的無功功率QL。 ,,解 （1） 感抗為XL=2fL=2500.5 =157 (2) 選電壓 為參考相量， 即 =2200V， 則,,,,即電流的有效值 I=1.4 A， 相位上滯后于電壓90。,3.3.3 電容電路1 電壓電流關(guān)系 電容元件的交流電路如圖3-15所示。,圖3-15 電容元件的交流電路 (a) 電路； (b

15、) 波形圖； (c) 相量圖,在關(guān)聯(lián)參考方向下， 電容元件的電壓電流關(guān)系為,,,在圖3-15（a）所示電路中， 設(shè)電壓為參考正弦量， 即,,(3-22）,則,,u、 i的相位差為j=juji=90即電容元件上電流比電壓超前90。 u、 i的幅值關(guān)系為 Im=CUm 或 u、 i的有效值關(guān)系為,,,,式中， XC稱為容抗， 單位為歐姆()， 且,,,(3-24）,u、i的相量關(guān)系： 由式（3-23）、 （3-24）可知,,或,,2 電容電路中的功率 電容電路所吸收的瞬時(shí)功率為功率瞬時(shí)值曲線見圖3-16。,,,（3-25）,,圖3-16 電容元件的功率瞬時(shí)值,例3-6 一個(gè)10 F的電容元件，

16、 接到頻率為50 Hz、 電壓有效值為12 V的正弦電源上， 求電流 I。 若電壓有效值不變， 而電源頻率改為1000 Hz， 試重新計(jì)算電流 I。 解 （1） 當(dāng)頻率f=50 Hz時(shí)， 容抗為,,,電流為,,(2) 當(dāng)頻率f=1000 Hz時(shí)， 容抗為,,,電流為,,,3.4 電阻電感電容串聯(lián)電路3.4.1 電壓與電流之間的關(guān)系 圖3-17所示為R、 L、C串聯(lián)電路。,,,圖3-17 R、 L、C串聯(lián)的交流電路,1 電壓有效值 將與的相量和定義為， 由相量圖可知外接電壓相量、 相量構(gòu)成一個(gè)直角三角形， 稱為電壓三角形， 如圖3-18（a）所示。,,,,,,,,不難求出,,(3-27）,,圖3

17、-18 電壓、 阻抗及功率三角形 (a) 電壓三角形； (b) 阻抗三角形； (c) 功率三角形,代入式（3-27），得,,,(3-28）,根式 具有阻礙電流的性質(zhì)， 稱為電路的阻抗， 用符號(hào)|Z|表示，它的單位也是歐姆()， 即,,,(3-29）,2 電壓u與電流i有效值之間的關(guān)系 阻抗中的XLXC被稱為電抗， 用符號(hào) X 表示， 將X=XLXC代入式（3-29）， 有,,,阻抗|Z|、 R與X的關(guān)系也可用直角三角形表示， 稱為阻抗三角形， 如圖3-18（b）所示。 于是， 電壓、 電流的有效值關(guān)系為 U=|Z|I,3 電壓u與電流i的相位差 由于以為參考相量， ji=0， 所以u(píng)、i的相位

18、差j=juji=ju， 由電壓三角形可知,,,,可見， 當(dāng)電源頻率一定時(shí)， 電壓u與電流i的相位關(guān)系和有效值關(guān)系都取決于電路參數(shù)R、 L、C。,4 電壓u與電流i的相量關(guān)系 由單一參數(shù)電路的電壓關(guān)系可得,,,(3-30）,式中, R+j(XLXC)稱為復(fù)阻抗， 用符號(hào)Z表示， 即,,有了復(fù)阻抗的概念， 則式（3-30）可寫成式（3-31）與直流電路中歐姆定律有相似的形式， 稱為歐姆定律的相量形式。 進(jìn)一步展開推導(dǎo)， 有,,,(3-31）,,例3-7 已知一個(gè)R、L串聯(lián)電路， R=30 ， XL=40 ， 求電流 i。 解 方法一： 分別確定i的初相ji和有效值 I。,,,,所以,,阻抗為,,,

19、電流為,,,因此,,方法二： 用相量、的關(guān)系求解。 電壓相量為,,,,,復(fù)數(shù)阻抗為,電流相量為,,因此,,3.4.2 電阻電感電容串聯(lián)電路的功率1 平均功率（有功功率） 在R、 L、C串聯(lián)的正弦交流電路中， 若u、i參考方向一致， 且設(shè)有正弦電流i=Im sint通過，則電壓u=Um sin(t+j), 電路的瞬時(shí)功率為,,,,,電路的平均功率為,,,（3-32）,由電壓三角形可知 U cosj=UR 所以 P=UI cosj=URI=RI2 (3-33）,2 無功功率 在R、L、C串聯(lián)的正弦交流電路中， 電感元件的瞬時(shí)功率為pL=uLi， 電容元件的瞬時(shí)功率為

20、pC=uCi。 由于電壓uL和電流uC反相， 因此當(dāng)pL為正值時(shí)， pC為負(fù)值， 即電感元件取用能量時(shí)， 電容元件正放出能量； 反之，當(dāng)pL為負(fù)值時(shí)，pC為正值， 即電感元件放出能量時(shí)， 電容元件正取用能量， 因此R、 L、C串聯(lián)的正弦交流電路中無功功率為Q=QLQC,,由于QL=ULI， QC=UCI， 所以,,,,由電壓三角形可知 UX=U sinj 故 Q=UI sinj (3-34）,3 視在功率 在正弦交流電路中， 把電流、 電壓的有效值的乘積定義為視在功率， 用S表示， 即S=UI (3-35） 由式（3-33）、 （3-35）可以得到 (3-36

21、） P、Q、 S三者也構(gòu)成直角三角形， 稱為功率三角形， 如圖3-18（c）所示。,,,圖3-19所示即為一二端網(wǎng)絡(luò)。,圖3-19 二端網(wǎng)絡(luò),例3-8 計(jì)算例3-7電路的平均功率、 無功功率及視在功率。 解 因?yàn)閁=220 V, I=4.4 A,,,,所以視在功率為 S=UI=2204.4=968 VA 平均功率為 p=UI cosj=2204.4cos53.1=580.8 W,無功功率為 Q=UI sinj=2204.4sin53.1=774.4 var或 P=RI2=304.42=580.8 W Q=XLI2=404.42=774.4 var,,,3.5 正弦交流電

22、路的一般分析方法3.5.1 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫電流定律對(duì)電路中的任一節(jié)點(diǎn)在任一瞬時(shí)都是成立的， 即ik=0。,,將方程改寫為 i1+i2++in=0正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中， 這些電流ik都是同頻率的正弦量， 可用相量表示為,,,或,,(3-37）,3.5.2 復(fù)阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)如圖3-20(a)所示的多個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)， 其總復(fù)阻抗等于各個(gè)分復(fù)阻抗之和， 即 Z=Z1+Z2++Zn圖3-20(b)所示的多個(gè)復(fù)阻抗并聯(lián)時(shí)， 其總復(fù)阻抗的倒數(shù)等于各個(gè)分復(fù)阻抗的倒數(shù)之和， 即,,,,圖3-20 復(fù)阻抗的串聯(lián)和并聯(lián) (a) 串聯(lián)； (b) 并聯(lián),上列各式是復(fù)數(shù)運(yùn)算， 并不是實(shí)數(shù)運(yùn)算。

23、 因此， 在一般情況下， 當(dāng)復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)|Z||Z1|+|Z2|++|Zn|當(dāng)復(fù)阻抗并聯(lián)時(shí)有,,,3.5.3 應(yīng)用舉例例3-9 圖3-21的電路中， R1=100 ， R2=100 ， R3=50 ， C1=10 F, L3=50 mH, U=100 V, =1000 rad/s。 求各支路電流。,圖3-21 例3-9圖,解 由已知條件可得,,,,電路的等效復(fù)阻抗為,,,設(shè)則,,,,,,,例3-10 圖3-22電路中， 兩臺(tái)交流發(fā)電機(jī)并聯(lián)運(yùn)行， 供電給Z=5+j5 的負(fù)載。 每臺(tái)發(fā)電機(jī)的理想電壓源電壓US1、US2均為110 V， 內(nèi)阻抗Z1=Z2=1+j1 ， 兩臺(tái)發(fā)電機(jī)的相位差為30， 求

24、負(fù)載電流。,,,,圖3-22 例3-10圖,解 先假定各支路電流的參考方向， 再選取獨(dú)立回路、 ， 并指定回路的繞行方向，對(duì)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用基爾霍夫電流定律， 得,,,對(duì)回路、 回路分別應(yīng)用基爾霍夫電壓定律得,,,,,3.6 電路的諧振3.6.1 串聯(lián)諧振 R、L、C串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件為ImZ(j)=X=0， 設(shè)發(fā)生諧振時(shí)激勵(lì)的頻率為0， 則,,,0為R、L、C串聯(lián)電路的諧振角頻率， 可解得,,(3-38）,由于0=2f0， 所以有,,,(3-39）,式中， f0稱為串聯(lián)電路的諧振頻率， 它與電阻R無關(guān)， 反映了串聯(lián)電路的一種固有的性質(zhì)， 對(duì)于每一個(gè)R、L、C串聯(lián)電路， 總有一個(gè)對(duì)應(yīng)的諧振頻率，

25、 而且改變、L或C都可使電路發(fā)生諧振或消除諧振。,串聯(lián)諧振的特性如下： （1） 電流與電壓同相位， 電路呈電阻性。 （2） 電路的阻抗最小， 電流最大。 因諧振時(shí)電路復(fù)阻抗的虛部為零， 阻抗為純電阻， 阻抗的模為最小值， 電路中的最大電流十分容易求出：,,,由R、L、C串聯(lián)電路的阻抗表達(dá)式,,,可知， 如果電源輸入電壓不變， 當(dāng)電源頻率ff0或f

26、 (b) 電流響應(yīng)曲線； (c) R與電流響應(yīng)的關(guān)系,（3） 電感端電壓與電容端電壓大小相等， 相位相反； 電阻端電壓等于外加電壓。 諧振時(shí)， 電感端電壓與電容端電壓有效值相等， 相位相反， 相互完全抵消。 外施電壓全部加在電阻上， 電阻上的電壓達(dá)到最大值， 即,,,,（4） 電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。 諧振時(shí)， 電感或電容的端電壓與外加電壓的比值為,,,,Q稱為諧振回路的品質(zhì)因數(shù)或諧振系數(shù)。 當(dāng)XL遠(yuǎn)大于R時(shí)， Q值一般可達(dá)幾十至幾百， 所以串聯(lián)諧振時(shí)電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。,電路的阻值越小， 電流響應(yīng)曲線就越尖銳， 如圖3-23(c)所示。 電路選擇性的

27、好壞便用品質(zhì)因數(shù)來表示： Q值越大， 選擇性越好； Q值越小， 選擇性越差。 因?yàn)镼值遠(yuǎn)大于1， 當(dāng)電路在接近諧振時(shí)， 電感和電容上會(huì)出現(xiàn)超過外施電壓Q倍的高電壓。 在電力系統(tǒng)中， 出現(xiàn)這種高電壓是不允許的， 這將引起某些電氣設(shè)備的損壞，但在無線電技術(shù)中它是有用的。,,例3-11 收音機(jī)的輸入回路可以用圖3-24所示的等效電路來表示， 設(shè)線圈的電阻為16 ， 電感為0.4 mH， 電容為600 pF。 試求： (1) 電路的諧振頻率、 總阻抗和品質(zhì)因數(shù)； (2) 當(dāng)頻率高于諧振頻率20%時(shí)， 電路的總阻抗。,,,圖3-24 例3-11的圖,解 （1） 電路發(fā)生諧振時(shí)， 諧振頻率為,,,總阻

28、抗為 |Z|=R=16 品質(zhì)因數(shù)為,,(2) 當(dāng)頻率高于諧振頻率20%時(shí)， f=(1+0.2)f0， 則 感抗為,,,容抗為,,總阻抗為,,3.6.2 并聯(lián)諧振 諧振也可以發(fā)生在并聯(lián)電路中， 下面以圖3-25所示的電感線圈與電容器并聯(lián)的電路為例來討論并聯(lián)諧振。,圖3-25 并聯(lián)諧振電路,在圖3-25所示電路中， 當(dāng)電路參數(shù)選取適當(dāng)時(shí)， 可使總電流 與外加電壓 同相位， 這時(shí)稱電路發(fā)生了并聯(lián)諧振。 此時(shí)RL支路中的電流,,,,,電容C支路中的電流為,,總電流為,,,,若總電流與外加電壓同相位， 則上式虛部應(yīng)為零， 即,,,,在一般情況下， 線圈的電阻R很小， 故,,,于是， 諧振角頻率為,,,

29、故諧振頻率為,,這說明并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振的條件基本相同。 并聯(lián)諧振相量圖如圖3-26所示。,圖3-26 并聯(lián)諧振相量圖,并聯(lián)諧振有以下特征： （1） 電流與電壓同相位， 電路呈電阻性。 （2） 電路的阻抗最大， 電流最小。 諧振時(shí)的電流為,,,式中,,（R相對(duì)很?。?（3） 電感電流與電容電流幾乎大小相等， 相位相反。 由于 與 同相， 且 的數(shù)值極小， 故 與 必然近乎大小相等， 相位相反。 （4） 電感或電容支路的電流有可能大大超過總電流。 并聯(lián)諧振的品質(zhì)因數(shù)為電感或電容支路的電流與總電流之比， 即,,,,,,,,3.7 功率因數(shù)的提高3.7.1 提高功率因數(shù)的

30、意義1. 使電源設(shè)備得到充分利用 電源設(shè)備的額定容量SN是指設(shè)備可能發(fā)出的最大功率， 實(shí)際運(yùn)行中設(shè)備發(fā)出的功率P還要取決于cosj， 功率因數(shù)越高， 發(fā)出的功率越接近于額定功率， 電源設(shè)備的能力就越能得到充分發(fā)揮。,,2. 降低線路損耗和線路壓降 輸電線上的損耗為Pl=I2Rl， 其中Rl為線路電阻， 線路壓降為Ul=RlI， 而線路電流 I=P/（U cosj）， 由此可見， 當(dāng)電源電壓U及輸出有功功率P一定時(shí)， 提高功率因數(shù)可以使線路電流減小， 從而降低傳輸線上的損耗， 提高供電質(zhì)量。 提高功率因數(shù)還可以在相同線路損耗的情況下節(jié)約用銅。,,3.7.2 提高功率因數(shù)的方法對(duì)感性負(fù)載提高功率因

31、數(shù)的電路如圖3-27(a)所示。,圖3-27 功率因數(shù)的提高,由圖3-27(b)還可以看出， 并聯(lián)電容后， 電容電流補(bǔ)償了一部分感性負(fù)載電流的無功分量IL sinj1， 因而減小了線路中電流的無功分量。 顯然， 并入電容支路的電流有效值為 IC=IL sinj1I sinj因?yàn)?,,所以， 要使電路的功率因數(shù)由原來的cosj1提高到cosj， 需要并聯(lián)的電容器的電容量為,,,(3-40）,并聯(lián)電容的無功功率為 QC=QLQ=P(tanj1tanj) (3-41） 其中, P為感性負(fù)載的有功功率。,又因?yàn)?,,所以,,(3-42）,式（3-42）就是提高功率因數(shù)所需電

32、容的計(jì)算公式。,例3-12 一個(gè)220 V, 40 W的日光燈， 功率因數(shù)cosj1=0.5， 接入頻率 f=50 Hz， 電壓U=220 V的正弦交流電源， 要求把功率因數(shù)提高到cosj=0.95， 試計(jì)算所需并聯(lián)電容的電容值。 ,,解 因?yàn)閏osj1=0.5， cosj=0.95， 所以tanj1=1.732, tanj=0.329QC=P(tanj1tanj)=40(1.7320.39)=56.12 var,,,,本 章 小 結(jié) 幅值、 頻率和初相位是確定一個(gè)正弦量的三要素。 只要知道了正弦量的三要素，就可用波形圖、 正弦函數(shù)表達(dá)式和相量表示法來表達(dá)一個(gè)正弦量。 正弦交流電的頻率f與周

33、期T、 角頻率的關(guān)系為,,,,，,有效值與幅值的關(guān)系為,,,兩個(gè)同頻率正弦量之和仍為頻率相同的正弦量， 其和的有效值（幅值）及初相位可通過相量相加的方法求得。,當(dāng)串聯(lián)交流電路或并聯(lián)交流電路對(duì)外呈現(xiàn)電阻性時(shí)， 電路被稱為發(fā)生了串聯(lián)諧振或并聯(lián)諧振。 發(fā)生諧振的條件是端口的電壓相量與電流相量同相位， 諧振角頻率0滿足式子,,,,,對(duì)于電壓U和功率P一定的感性負(fù)載， 其功率因數(shù)cosj越低， 則工作電流越大，這將使電源設(shè)備的容量不能得到充分利用， 供電線路的能量損耗增加和供電效率的降低。 因此， 對(duì)電感性負(fù)載常采用并聯(lián)電容的方法來提高功率因數(shù)， 電容的無功功率QC和電容值C可按以下公式計(jì)算：

34、 QC=P(tanj1tanj),,,,思考題與習(xí)題3-1 指出下列各正弦量的幅值、 頻率、 初相角， 并畫出它們的波形圖。 （1） i=10 sin(6280t+45)mA（2） u=220sin(314t120)V（3） u=5 sin(2000t+90)V,,,3-2 在圖3-28中給出了某正弦交流電路的相量圖， 已知U=220 V, I1=6 A, I2=8 A, 試寫出u、i1、i2的瞬時(shí)值表達(dá)式（角頻率為）。,圖3-28 習(xí)題3-2圖,3-3 在圖3-29所示正弦交流電u1=220 sint V, u2=220 sin(t120)V, 試用相量表示法求出電壓ua、ub。,圖3-

35、29 習(xí)題3-3圖,3-4 電感元件L=1.59 H, 接于u=220 sin314 V的正弦電源上， 求感抗XL和電流i。 3-5 電容元件C=31.8 F接于u=220 sin314 V的正弦電源上， 求容抗XC和電流i。 3-6 一個(gè)電阻為1.5 k， 電感為6.37 H的線圈， 接于50 Hz, 380 V的正弦電源上，求電流I, 功率因數(shù)cosj和功率P、 Q、 S。 3-7 R、 L串聯(lián)的電路接于50 Hz、 100 V的正弦電源上， 測得電流I=2 A， 功率P=100 W, 試求電路參數(shù)R、 L。,3-8 R、 C串聯(lián)的電路接于50 Hz的正弦電源上， 如圖3-30所示， 已知

36、R=100 ， ， 電壓相量U=2000V， 求復(fù)阻抗Z、 電流和電壓， 并畫出電壓和電流的相量圖。,,,,,,圖3-30 習(xí)題3-8圖,3-9 有一RC移相電路如圖3-31所示， 已知C=100 F, U=200 V, f=50 Hz, 求感抗XL、 容抗XC、 復(fù)阻抗Z及電流I。,圖3-31 習(xí)題3-9圖,3-10 在R、L、C串聯(lián)電路中， R=10 , L=0.2 H, C=100 F, U=200 V, f=50 Hz, 求感抗XL、 容抗XC、 復(fù)阻抗Z及電流I。 3-11 在圖3-32中， 求。,,,,,,圖3-32 習(xí)題3-11圖,3-12 在圖3-33所示正弦交流電路中， 已知

37、電流表A1讀數(shù)為40 mA, A2讀數(shù)為80 mA, A3讀數(shù)為50 mA， 求電流表A的讀數(shù)。,圖3-33 習(xí)題3-12圖,3-13 圖3-34所示電路， 已知U=100 V, R1=20 , R2=10 , X2=10。 （1） 求電流I， 并畫出電壓電流相量圖； （2） 計(jì)算電路的功率P和功率因數(shù)cosj。,,,,圖3-34 習(xí)題3-13圖,3-14 圖3-35所示正弦交流電路， 已知 求, 并畫出相量圖。,圖3-35 習(xí)題3-14圖,,,3-15 圖3-36所示正弦交流電路，已知XC=50 , XL=100, R=100 , 電流, 求電阻上的電流和總電壓。 ,圖3-36 習(xí)題3-15圖,,,,3-16 已知， 流過不同負(fù)載得到以下不同的電壓值， 問各種情況下負(fù)載阻抗的大小和負(fù)載的性質(zhì)。,,,,3-17 某電視機(jī)的吸收回路如圖3-37所示， 要求吸收37 MHz的干擾信號(hào)， 已知C1=C2=6.2 pF, 求電感量L應(yīng)為多少。,圖3-37 習(xí)題3-17圖,3-18 日光燈與鎮(zhèn)流器串聯(lián)后接到交流電源上， 可看做R、 L串聯(lián)電路。 若已知220 V， 40 W的日光燈的功率因數(shù)為cosj1=0.5, 現(xiàn)采用并聯(lián)電容的方法提高功率因數(shù)，使cosj=0.96, 求所需的電容量C。,,,