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1、 2.3傅里葉變換性質(zhì)及定理 個(gè)隨之確定，兩者是一一對應(yīng)的。在實(shí)際的信號分析 F f t 傅氏變換揭示了信號時(shí)間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。 信號可以在時(shí)域中用時(shí)間函數(shù) 表示，亦可以在頻域 中用頻譜密度函數(shù) 表示；只要其中一個(gè)確定，另一 氏變換基本性質(zhì)及定理進(jìn)行討論就非常重要。 內(nèi)在聯(lián)系，我們也希望能簡化變換的運(yùn)算，為此對傅 的什么樣變化？反之亦然。除了明白信號時(shí)頻之間的 當(dāng)一個(gè)信號在時(shí)域中發(fā)生了某些變化，會引起頻域中 變換規(guī)律有更深入、具體的了解。例如我們希望清楚， 中，往往還需要對信號的時(shí)、頻特性之間的對應(yīng)關(guān)系、 一、傅里葉變換性質(zhì) 1.線性 傅里葉變換的線性特性
2、表示為 若 則 式中 11 Ftf 22 Ftf 2121 bFaFtbftaf 為任意常數(shù)。 ba、 dtetbftaf tj 21 2121 bFaFdtetfbdtetfa tjtj 證 ： 利用傅氏變換的線性特性，可以將待求信號分解為若干 基本信號之和。 2. 時(shí)延（時(shí)移、移位）性 傅里葉變換的時(shí)延（移位）特性表示為 若 則 時(shí)延（移位）性 說明 波形在時(shí)間軸上時(shí)延，不改變信號 Ftf 0101 tjeFFttftf dtettf tj
3、0 dxexf txj 0 dxexfe xjtj 0 0tjejF 證 ： 0t 線性相位。 振幅頻譜，僅使信號增加一 例 2.3-1 求如圖 2-15所示信號 tf 1 的頻譜函數(shù) 1F 并作頻譜圖。 ， 解 由上節(jié)門函數(shù)的變換 再由線性與時(shí)移性，得到 tf1 與門函數(shù)的關(guān)系為 21 tEftf 2 SaFtf 01 tjeEFF 22 jeSaE t tf1 E 0 的振幅、相位頻譜函數(shù)、如圖 2-16所示。 21 SaEFEF 2/1 tf1 0 F 4 4 22 0
4、4 4 2 2 3、頻移性 傅里葉變換的頻移 (調(diào)制 )特性表示為 若 則 證 ： Ftf 00 Fetf tj dteetf tjtj 0 00 Fdtetf tj 頻移 (調(diào)制 )特性表明信號在時(shí)域中與復(fù)因子 tje 0 0 c tf 0 c tje 0 tje 0 0 信號乘以 相乘， 則在頻域中將使整個(gè)頻譜搬移 0 。通信技術(shù)中的調(diào)制 是將頻譜在 附近的低頻信號乘以 ，使其頻譜 搬移到 附近。反之，頻譜在 0 附近的高頻 使其頻譜搬移到 ，其頻譜被搬移到附近，這就是解調(diào)。 變頻是將頻譜在 附近的信號 tje
5、0 的應(yīng)用。 乘以 ， 附近。這些都是頻移特性 實(shí)際調(diào)制解調(diào)的載波信號是正（余）弦信號，借助歐拉 這樣，若有 則 這正是調(diào)制解調(diào)過程中頻譜搬移情況，所以這一性質(zhì) 公式正（余）弦信號可以表示為 2c o s 00 0 tjtj ee t j eet tjtj 2s in 00 0 Ftf 000 21c os FFttf 000 21s in FFjttf 也稱調(diào)制特性。 例 2-4 求 解 ： 已知 的波形以及頻譜如圖 2-17所示。 圖。 tuttf 0c o s 的頻譜函數(shù)，并畫出頻譜 ，利用頻移性
6、 jtu 1 ttu0c o s 00 00 2 1 2 1 2 jj 22 0 002 j tf 圖 2-17 例 2-4的波形及振幅、相位頻譜 0 2/ 2/ 0 F 2/ 2/ 0 0 0 0 -1 1 0 tf t -A 例 2-5 求如圖 2.-18所示 解 其中 f t F 并作圖。 的 ， tAgtf 1 ttftf 01 c o s 2/1 SaAF 則 01012 1 FFF 圖 2 . 3 - 4 /20 222 00 S
7、aSaA A 2 2 tf t 令 /20 0 1F 4 4 22 A 以及 1F F 如圖 2-19所示。 F 0 2/A 0 0 /20 4、尺度變換 傅里葉變換的尺度變換特性表示為 若 則 證 ： F ， Ftf aFaatf 1 0a atf dteatf tj 0a at x axt / atf dxadt /1則 dxexfa xaj 1 aFa1 令 代入上式 ， F ， 0a at x axt / atf dxadt /1則 dxexfa xaj
8、1 aFa1 令 代入上式 ， F dxexfa xaj 1 綜合 0a 兩種情況，尺度變換特性表示為 0a 、 aFaatf 1 特別地，當(dāng) 尺度特性說明，信號在時(shí)域中壓縮，頻域中就擴(kuò)展；反 其頻譜亦為原頻譜的折疊，即 。 1a f t f t Ftf 時(shí)，得到 的折疊函數(shù) ， 寬無限，反之亦然。 的脈寬與頻寬成反比。一般來說時(shí)寬有限的信號，其頻 之，信號在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮；即信號 a a可以理解為信號波形壓縮（擴(kuò)展） 倍，信號隨時(shí)間 變化加快（慢） 倍，所以信號所包含的頻率分量增加 a a（減少） 倍，頻譜展寬（
9、壓縮） 倍。又因能量守 圖 2-20表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。 恒原理，各頻率分量分量的大小減小（增加） a 倍。 0 tf 2/ 2/ t 0 2 SaAF 4 4 22 A 0 2/2/1 F 44 2/A A 0 2/tf t 0 22F 22 A2 A 0 tf 2 4/ 4/ t 5、時(shí)域微分特性 傅里葉變換的時(shí)域微分特性表示為 交換微、積分運(yùn)算次序 若 則 證 ： 所以 Ftf Fj dt tdf deFdtddt tdf tj2 1 dedtdF tj21
10、 deFj tj21 Fj dt tdf 同理，可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換 Fj dt tdf n n n 式中 j 是微分因子。 6、時(shí)域積分特性 傅里葉變換的時(shí)域積分特性表示為 若 則 Ftf FjFYdfty t 10 證 ： 特別地，當(dāng) F 時(shí) 00 F FjYdfty t 1 dtedfty tjt dtedtuf tj ddtetuf tj dejf j 1 def
11、j dejf j 1 df Fj 1 0F Fj 1 顯然，當(dāng) 時(shí)，有 00 F Fjdf t 1 從時(shí)域上看，一般當(dāng) 利用積分特性可以簡化由折線組成的信號頻譜的求解。 ，說明無直流分量 則 y t dtty 是無限區(qū)間可積時(shí)，即 00 F 。 0 例 2-6 求如圖 2-21(a)所示 的頻譜函數(shù) tf 。 F 2/ 2/ t tf E （ a） 解 ： f t 2 2 0 2 1 t t tE 0 (b) 2/0 02//2 /21 t
12、 t E Etftf 44 1 4 jj eeES aF 4s in42 E Saj 2/ 2/ t /2E /2E tf 如圖 2-21(b)所示。 tf 22222 tttEtftf 0 tf 2/ 2/ /4E /2E /2E t tf 22 22 2 jj eeEF 22c os22 E 4s in8 2 E 如圖 2-21(c)所示 000 21 FF因?yàn)? 最后 22 1 F jF 4s in81 22 E 42 2 SaE 7、頻域微分特性 傅里葉
13、變換的頻域微分特性表示為 若 則 一般頻域微分特性的實(shí)用形式為 對頻譜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)亦成立 或 Ftf tfjt d dF ttfddFj nnnn dFdjtft tfjtddF nn n 證 ： 或 d dF dtetfdd tj dteddtf tj dtetj t f tj 交換微、積分次序 tfjt d dF ttf d dFj 所以 同理可證高階導(dǎo)數(shù) 或 tfjt d dF n n n nnnn dFdjtft
14、例 2-7 求 解 ：利用 的頻譜函數(shù)。 ，則 tutetf at jatue at 1 jad djFtute at 1 22 1 jaja jj 8、對稱（偶）性 傅里葉變換的對稱特性表示為 若： 則 或 證： Ftf ftF 2 ftF21 deFtf tj21 將變量 與 互換 t deFtf tj21 dtetFf tj2 特別地：當(dāng) 或 ttf 是 的偶函數(shù)，那么 fftF 22 tFf 21
15、 由上式看，在此條件下時(shí)域與頻域是完全對稱性關(guān)系。 (2-54) tf f F 的信號，其時(shí)域函數(shù)必為 就是說，當(dāng) 是偶函數(shù)時(shí)，如果的頻譜函數(shù)為 ， 則頻譜為 。 tF21 例 2-8 已知 解 圖 2-22 0 1 1F E 如圖 2-22所示，利用對稱性求 1F 。 tf 1 1 1 1 11 0 1 E F 0 2/ 2/ t tf E f t 2 2 0 2 1 t t tE 42 2 SaEF 其對應(yīng)的 例 2-6的波形是如圖 2-23所示的對稱三角波 ,即 比
16、較圖 2-22、 2-23兩者變化規(guī)律相同，利用對稱性可以 則 得到 (只差 很方便地求出 tf 1 ，因?yàn)橛蓤D可以看出， 只要將 f t 中的 t 12 ； ；就有 f 1F 。這樣一來 tf1 亦可由 F t 12 的 ， 1 2 數(shù) )，即： 系 2 12 1 tSaEtF 222 1 121 1 tSaEtFtf 利用對稱性可以由已知的一對傅氏變換對，方便的推出 利用對稱性，我們還可以得到任意周期信號的傅氏變換。 與之相關(guān)的另一對傅氏變換對，從而減少了大量的運(yùn)算。 例 2.3-8 求 解 由時(shí)延特性，可得 t
17、je 1 的傅氏變換。 00 tjett 利用對稱性，將上式中的 ，我們得到另一對變換對 tje 1 11 22 t 0t 1 2 變換成 、 變換成 ，并乘以系數(shù) 利用上面結(jié)果，可推導(dǎo)周期正、余弦函數(shù)的傅氏變換。 tjtj eet 1121c os 1 11 tjtj eejt 1121s in 1 11 j -1 -1 1 1 0 、 t 1cos t1sin 的波形與頻譜如圖 2-24 所示。 0 ttf 1cos F F 11 1 1 t t t1sin 利用的 的頻譜函數(shù)為 tje 1 傅
18、氏變換，我們還可以推導(dǎo)任意周期函數(shù) tjnn n T eFtf 1 12 nF n n tfT tjnn n eF 1 n tjnneF 1 n nF tjne 1 12 nF n n F F F 證 F 例 2.3-9 求周期單位沖激序列 解 ：先將周期單位沖激序列展開傅氏級數(shù) 其中 nTtt n T 的傅氏變換 , T 2 1 tjnn n T eFt 1 0 1 13121 T/1 nF nF TdttTdtetT T T tjT T T 111 2 2 2 2
19、 即： tjn n T eTt 11 再求這個(gè)級數(shù)的傅氏變換 F tjn n eT 11 1 2 nT n tT 11 n n 的頻譜函數(shù)如圖 2-25b所示。 0 1 13121 1 F 單位周期沖激序列的傅氏變換仍為周期沖激序列。 9、奇、偶、虛、實(shí)性 為實(shí)函數(shù)時(shí)， f t F 的模與幅角、實(shí)部與虛部表示形式 為 dtetfF tj t d ttf c o s t d ttfj s in jXR jeF Rt d ttfR c o s
20、 Xt d ttfX s in FXRF 22 RX1t a n 其中 由上式可知 R X F 是 、 ，是 的偶函數(shù)； 、 的奇函數(shù)。 特別地當(dāng) f t 為實(shí)偶函數(shù)，我們有 0s in t d ttfX t d ttfRF c o s22 0 實(shí)偶函數(shù)。 上式表明 若是 tf t 的實(shí)偶函數(shù)，則 F 必為 的 特別地 為實(shí)奇函數(shù)，則 f t 0c o s t d ttfR t d ttfjjXF s in
21、 虛奇函數(shù)。 上式表明 若是 tf t 的實(shí)奇函數(shù)，則 F 必為 的 10、時(shí)域卷積定理 傅里葉變換的時(shí)域卷積定理表示為 交換積分次序 利用時(shí)延性 若： 則 證： 11 Ftf 22 Ftf 2121 FFtftf tftf 21 dtedtff tj 21 ddtetff tj 21 deFf j21 21 FF 由這個(gè)性質(zhì)，我們可將兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的卷積運(yùn)算變?yōu)閮? 求解信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)。 個(gè)頻譜函數(shù)的相乘 (代數(shù) )運(yùn)算。由此我們可以用頻域法 11.頻域卷積定理
22、 傅里葉變換的頻域卷積定理表示為 若： 則 11 Ftf 22 Ftf 2121 2 1 FFtftf 利用移頻性 證： 2121 FF duuFuF 212 1 deduuFuF tj212 12 1 dudeuFuF tj 21 2 12 1 tftfduetfuF j u t 21212 1 交換積分次序 表 3-1 傅氏變換性質(zhì)（定理） 序號 名稱 時(shí)域 頻域 1 線性 2、 延時(shí) 3、 尺度 4、 頻移性 5、時(shí)域微分 6、時(shí)域積分 7、頻域微分 8、對稱性 9、時(shí)域卷積 10頻域卷積
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