光路計算與近軸光學系統.ppt

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1、第三節(jié) 光路計算與近軸光學系統 一 、 基本概念與符號法則 二 、 實際光線的光路計算 三 、 近軸光線的光路計算 O：頂點。 C：球面曲率中心。 OC：球面曲率半徑， r。 OE：透鏡球面，也是兩種介質 n 與 n 的分界面。 h：光線投射高度。 物方截距：頂點 O到入射光線與光軸交點，用 L表示。 物方傾斜角：入射光線 AE與光軸的夾角，也叫物方孔徑角，用 U表示。 像方截距：頂點 O到折射光線與光軸交點，用 L表示。 像方傾斜角：折射光線 EA與光軸的夾角，也叫像方孔徑角，用 U表示。 入射角 I 折射角

2、 I 法線與光軸的夾角 子午平面：通過物點和光軸的截面 A -L O E -U C r A U I I n n L h 一、基本概念與符號法則 只知道無符號的參數，光線可能有四種 情況。要確定光線的位置，僅有參量是 不夠的，還必須對符號作出規(guī)定。 符號規(guī)則 （一）光路方向 從左向右為正向光路，反之為反向光路。 正向光路 反向光路 （二）線段 即線段的原點為起點， 向右為正，向左為負 。 原點 + 原點 1. 沿軸線段：從起點（原點）到 終點的方向與光線傳播方向相 同，為正；反之為負。 （ 1）曲率半徑 r，以球面頂點 O 為原點， 球心

3、C 在右為正 ， 在左為負 。 E A O +r C A E C -r O （ 2）物方截距 L 和像方截距 L 也以頂點 O 為原 點，到光線與光軸交點， 向右為正，向左為負 。 A A -L +L E O C A E C -L -L A O （ 3）球面間隔 d 以前一個球面的頂點為 原點， 向右為正，向左為負 。 O1 O2 O1 O2 O1 O2 +d （在折射系統中總為正，在反射和折反系統中才有為負的情況） A B +y O E C +h A B -y 2. 垂軸線段：以光軸為界， 上方為正，下方為負 。 （三）角度 角度的度量一律以銳角來度量，由起始邊 順時針轉到

4、終止邊為正，逆時針為負。 （ 1）光線與光軸的夾角，如 U、 U，以光軸為起始邊。 A B -L y O E C r L A B h -y 起始邊規(guī)定如下： -U U （ 2）光線與法線的夾角，如 I、 I，以光線為起始邊。 A B -L y O E -U C r L A U B h -y I I I -I” I -I” -I （ 3）入射點法線與光軸的夾角 （球心角），以光軸為起始邊。 A B -L y O E -U C r L A U B h -y I I 練習：試用符號規(guī)則標出下列 光組及光線的位置 （ 1） r = -30mm、 L = -100mm、 U = -10

5、 （ 2） r = 30mm、 L = -100mm、 U = -10 （ 3） r1 = 100mm、 r2 = -200mm、 d = 5mm、 L = -200mm、 U = -10 （ 4） r = -40mm、 L = 200mm、 U = -10 （ 5） r = -40mm、 L = -100mm、 U = -10 、 L= -200mm 符號規(guī)則是人為規(guī)定的， 一經定下，就要嚴格遵 守，只有這樣才能導出 正確結果 當結構參數 r , n , n 給定時，只要 知道 L 和 U ，就可求 L 和 U A -L O E -U C r A U I I n n L 二、實際

6、光線的光路計算 A -L O E -U C r A U I I n n L AEC中， L r = AC， 并由正弦定理可得： Ur rLI s ins in nsin I sin I n U I U I U U I I 在 EAC中， CA = L-r， 由正弦定理，可得 L r r s i n I s i n U 1 sin I L r ( )sin U Ur rLI s ins in nsin I sin I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 上述四個公式就是子午面內光路計算 的實際光路公式，當

7、 n、 n、 r 和 L、 U 已知時，可依次求出 U 和 L。 當物點位于光軸上無限遠處時，可以認為它發(fā)出的光 是平行于光軸的平行光，此時有 L = -， U = 0 然后再按其它實際光路公式計算 O E C r I n n h 入射角可以按 r hI s in 計算 例：已知一折射球面其 r = 36.48mm， n = 1， n = 1.5163。 軸上點 A的截距 L = -240mm，由它發(fā)出一同心光束，今 取 U 為 -1 、 -2 、 -3 的三條光線，分別求它們經折 射球面后的光路。（即求像方截距 L和像方傾斜角 U） A E O C n n -240mm U= -

8、1 : U= 1.596415 L=150.7065mm U= -2 : U= 3.291334 L=147.3711mm U= -3 : U= 5.204484 L=141.6813mm Ur rLI s ins in nsin I sin I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 可以發(fā)現：同一物點發(fā)出的物方傾斜角 不同的光線過光組后并不能交于一點！ E A O C n n -240mm 軸上點以寬光束經 球面成像時，存在 像差（球差）。 折射球面對軸上點以寬光束成 像是不完善的，所成的像不是 一點，而是個模糊的像斑，在 光學上稱其為彌散

9、斑。 一個物體是由無數發(fā)光點組成的，如果每個點 的像都是彌散斑，那么物體的像就是模糊的。 將物方傾斜角 U 限制在一個很 小的范圍內，人為選擇靠近光軸 的光線，只考慮近軸光成像，這 是可以認為可以成完善像 U， U， I， I 都很小，我們用弧 度值來代替它的正弦值，并用 小寫字母表示。 同時 L， L 也用小寫表示。 uUs in uUs in iIs in iIs in 三、近軸光線的光路計算 則實際光路公式可寫成： ur rli ni i n u u i i 1 il r ( )u 稱為近軸公式 Ur rLI s ins in nsin I si

10、n I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 當無限遠物點發(fā)出的平行光入射時，有 r hi 繼續(xù)用其余三個公式。 O E C r i n n h 例 2：仍用上例的參數 r = 36.48mm, n = 1, n = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017 求： l, u 與大 L 公式計算的結果比較： L = 150.7065mm.(1 ) 1288.0)017.0(48.36 48.36240 ur rli 1 0 12 88 0 08 5 1 51 63 ni i . . n . 0 0 1 7

11、 0 1 2 8 8 6 0 0 8 5 0 0 2 6 8 6u u i i . . . . 0 08 51 36 48 1 15 1 92 3 0 02 68 6 i .l r ( ) . ( ) . m m u . 近軸光學的基本公式的推導 對于近軸光而言， AO = -l， OA = l， tgu = u， tgu = u 有： lu = lu = h A -l O E -u C r A u i i n n l h 如將 ur rli 1 il r ( )u 和 中的 i, i 代入 n i in h ( n n )n u nu r

12、 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q r l r l n n n n l l r h ( n n )n u nu r 給出了 u 和 u 的關系 n n n n l l r 給出了 l 和 l 的關系 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q r l r l “阿貝不變量”。 當物點位置一定時， 物空間和像空間的 Q 值相等。 由阿貝不變量公式和物像位置關系公式可知， l 與 u 無關。 由近軸細光束成的完善像稱為高斯像 光學系統在近軸區(qū)成像性質和規(guī)律 的光學稱為高斯光學或近軸光學。 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q

13、 r l r l n n n n l l r 這說明軸上點發(fā)出的靠近光軸的細小同心光束經球面折射后仍 是同心光束，可以會聚到一點，也就是所成的像是完善的。 第四節(jié) 球面光學成像系統 一 、 單個折射面成像 二 、 球面反射鏡成像 三 、 共軸球面系統 （一）垂軸放大率 垂直于光軸，大小為 y 的物體經折射球面后成的像大小為 y，則 稱為垂軸放大率或橫向放大率 y y A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 一、單個折射面成像 ABC ABC 有： y l r y l r 由阿貝不變量公式可得： l r n

14、l l r n l 代入上式 可得： y n l y n l 可見 只取決于介質折射率和物體位置。 A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 根據 的定義和公式，可以 確定物體的成像特性： （ 1）若 0，即 y 與 y 同號，表示 成正立像。反之成 倒立像。 對橫向放大率的討論 （ 2）若 0，即 l 與 l 同 號，表示物象在折射球面 同側，物像虛實相反。反 之 l 與 l 異號，物像虛實 相同。 可歸結為： 0，成正立像且物像虛實相反。 1，則 |y| |y|，成放大像，反 之 |y| < |y|

15、，成縮小像 y n l y n l 還可發(fā)現，當物體由遠而近時， 即 l 變小，則 增大 成像的位置、大小、虛實、 倒正極為重要?。。? 軸向放大率表示光軸上一對共軛點沿軸向移動量之間的關系。 它定義為物點沿光軸作微小移動 dl 時，所引起的像點移動量 dl 與 dl 之比，用 表示。 dl dl 對公式 n n n n l l r 微分，有 22 0 n d l n d l l l （二）軸向放大率 2 2 dl nl dl n l 整理后 由于 n l n l 所以 2n n （ 1）折射球面的軸向放大率恒為正， 說明物點沿軸向移

16、動時，像點沿光軸 同方向移動。 （ 2）軸向與垂直放大率不等，空間物 體成像時要變形，立方體放大后不再 是立方體。折射球面不可能獲得與物 體相似的立體像。 （ 3）公式應用條件： dl 很小。 討論： 由 2n n 得到以下結論： 在近軸區(qū)內，角放大率定義為一對共軛光線 與光軸夾角 u 與 u 的比值，用 表示 u u （三）角放大率 A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 將式 l u = l u = h 代入上式 可得 上式兩邊乘以 n/n，并利用垂軸放大率公式，可得 u l u l 1n n 上式為角放大率與橫向放大率之間

17、的關系式。 角放大率表明了折射球面將光束變寬或變 細的能力，只與共軛點的位置有關，與光 線的孔徑角無關 將軸向放大率與角放大率公式相乘，有： 上式為三種放大率的關系。 y n u y n u 即： y n u y n u J J 稱為拉赫不變量或傳遞不變量，可以利用這一性質， 在物方參數固定后，通過改變 u 來控制 y 的大小，也 就是可以通過控制像方孔徑角來控制橫向放大率。 上式稱為 拉格朗日赫姆霍茲公式 ，它表明實際光學系統在近軸區(qū)域成 像時，在一對共軛面內，其 n， u， y 或 n， u， y 的乘積為一常數 J。 y n u y n u J

18、 A O E -u C A u n y -y B B n 1 15 1 83 8 0 41 72 1 51 63 24 0 0 41 72 20 8 34 48 nl . . n l . ( ) y y . . m m 解： < 0：倒立、實像、兩側 || < 1：縮小 例 1-3：已知一個光學系統的結構參數， r = 36.48mm, n=1, n=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出： l=151.838mm， 現求 , y （橫向放大率與像的大?。? 上例中，若 l1 = -100mm， l2

19、= -30mm，求像的位置大小。 當 l1 = -100mm 時： l1 = 365.113mm 1 = -2.4079 y1 = -48.1584mm 放大倒立實像，兩側 n n n n l l r 利用公式 當 l2 = -30mm 時： l2 = -79.0548mm 2 = 1.7379 y2 = 34.7578mm 放大正立虛像同側 （一）物像關系 二、球面反射鏡成像 將 nn 代入 n n n n l l r rll 21 1 A -l O E C r A n -l y -y B B （二）放大率 A -l O E

20、 C r A n -l y -y B B y n l y n l 1n n 2 2 dl nl dl n l l l 2 2 l l 1 yuuyJ 將 nn 代入 由兩個折射面組成的透鏡， 1 2 1 2 1 2 1n , n , n , n , r , r , d 均已知。 現在已知 l1 和 u1，要求 l2 和 u2 A1=A2 A1 O1 O2 n1 n2 n1=n2 -l1 u1 u2 u1=u2 l2 d1 l2 l1 三、共軸球面系統 （ 1）用近軸公式算出光線經第一個折射 面后的像方截距 l1 和孔徑角 u1 問題分兩步解決： A1

21、O1 n1 n1 -l1 u1 u1 l1 A1 （ 2）將第一個面的出射光線作為第二個面的入射 光線，再利用近軸公式求解最終的 l2 和 u2 將 第一個折射面像空間參數轉化為第二個折射面物空間參數， 稱為轉面公式。 注意： 21u u ; 2 1 1l l d ; 21n n O1 O2 n2 n1=n2 u2 u1=u2 l2 d1 l2 l1 A1=A2 推而廣之，如果有 k個折射球面，也必須先給定 光學系統的結構參數： （ 1）每個球面的曲率半徑 r1， r2 rk （ 2）每個球面間隔 d1， d2 dk （ 3）每個球面間介質折射率 n1， n1=n2， n2=n3

22、nk-1=nk，最 后一個面后的折射率為 nk. 反復應用近軸公式進行計算， 此時，前一個面的像空間就是 后一個面的物空間。 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 3 2 1 kk kk k k k kk n n , n n .. .. .. n n u u , u u , .. .. .. u u l l d , l l d .. .. .. l l d y y , y y .. .. .. y y 參數關系： 上述公式為共軸球面系統近軸光線計算的 轉面公式，它對于寬光束成像

23、也適用，只 需將小寫字母 u 和 l 換成大寫即可。 1 1 1 1k k k k k kl u l u d u 由于： kkk hul 有： 1 1 1k k k kh h d u 這就是光線高度轉面公式的一般形式，在計算時 如 u1 和 h1 已知，則可算出 hk 和 uk 將公式 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 kk k k k u u , u u , . . . . . .u u l l d , l l d . . . . . .l l d 兩式中對應項相乘，可得： 拉赫公式 由第一面，有拉赫公式

24、1 1 1 1 1 1y n u y n u J 同樣第二面，有 2 2 2 2 2 2y n u y n u J 而 1 1 1 2 2 2y n u y n u 所以有 1 1 1 1 1 1 2 2 2 kkky n u y n u y n u . . . . . . y n u J 這說明，拉赫不變量不僅對于一個面的物像空間， 而且對于整個系統的每一個面都是不變量。 利用這一點，我們可以對計算結果進行檢驗 放大率公式 （一）橫向放大率 1 kyy 由于 y1=y2, y2=y3 上式可以寫成：

25、12 12 1 1 2 kk k k y y y y .. .. .. .. .. .. y y y y 整個系統的橫向放大率是各個折射面放大率的乘積 若將 kk k kk n l n l 代入，可得： kk k llln llln ...... ...... 21 2 11 由拉赫公式 1 1 1 1 1 1 2 2 2 kkky n u y n u y n u . . . . . . y n u J 還可得到： 11 1 k kk y nu y n u 1 kdl dl 說明整個光學系統的軸向放大率是各個折

26、射面放大率的乘積 2 1 knn 12 1 2 3 1 1 2 kk k k dl dl dl dl dl dl dl dl （二）軸向放大率 （三）角放大率 1 ku u 根據轉面的一般公式可變換為： 12 12 1 1 2 kk k k u u u u ...... u u u u 1 1 k n n （四）三者關系 很明顯，為： 成像計算中有三種方法 ur rli ni i n u u i i 1 il r ( )u 及過渡公式 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 kk k k k u u ,

27、u u , . . . . . .u u l l d , l l d . . . . . .l l d 方法 1： 對每一面用追跡公式 對每一面應用物像位置公式 n n n n l l r 2 1 1 3 2 2 1 1k k kl l d , l l d . . . . . .l l d 及過渡公式 方法 2： 方法 3： h ( n n )n u nu r 像平面上 y 0 來計算物體經過 多個折射球面后像面的位置。 及過渡公式 ,. .. .. ., .. .. . ., 11122231112 12

28、312 kkkk kk udhhudhhudhh uuuuuu 對每一面應用物像位置公式 1 30 1 1. 5 10 1 2 r m m n n mm ： 一 個 球 面 半 徑 ， 物 像 方 的 折 射 率 ， ， 平 行 光 的 入 射 高 度 為 。 （ ） 求 實 際 出 射 光 線 的 像 方 截 距 ； （ ） 求 近 軸 光 線 的 像 距 ， 并 比 較 之 。 2 18 180 30 1 1.52 m m m m r m m nn ： 一 個 高 的 物 體 位 于 折 射 球 面 前 處 ， 球 面 半 徑 ， ， ， 求 像 的 位 置 、 大 小 、 正 倒 及 虛 實 情 況 。 作業(yè)