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1、第三節(jié) 光路計(jì)算與近軸光學(xué)系統(tǒng) 一 、 基本概念與符號(hào)法則 二 、 實(shí)際光線的光路計(jì)算 三 、 近軸光線的光路計(jì)算 O：頂點(diǎn)。 C：球面曲率中心。 OC：球面曲率半徑， r。 OE：透鏡球面，也是兩種介質(zhì) n 與 n 的分界面。 h：光線投射高度。 物方截距：頂點(diǎn) O到入射光線與光軸交點(diǎn)，用 L表示。 物方傾斜角：入射光線 AE與光軸的夾角，也叫物方孔徑角，用 U表示。 像方截距：頂點(diǎn) O到折射光線與光軸交點(diǎn)，用 L表示。 像方傾斜角：折射光線 EA與光軸的夾角，也叫像方孔徑角，用 U表示。 入射角 I 折射角
2、 I 法線與光軸的夾角 子午平面：通過物點(diǎn)和光軸的截面 A -L O E -U C r A U I I n n L h 一、基本概念與符號(hào)法則 只知道無符號(hào)的參數(shù)，光線可能有四種 情況。要確定光線的位置，僅有參量是 不夠的，還必須對(duì)符號(hào)作出規(guī)定。 符號(hào)規(guī)則 （一）光路方向 從左向右為正向光路，反之為反向光路。 正向光路 反向光路 （二）線段 即線段的原點(diǎn)為起點(diǎn)， 向右為正，向左為負(fù) 。 原點(diǎn) + 原點(diǎn) 1. 沿軸線段：從起點(diǎn)（原點(diǎn)）到 終點(diǎn)的方向與光線傳播方向相 同，為正；反之為負(fù)。 （ 1）曲率半徑 r，以球面頂點(diǎn) O 為原點(diǎn)， 球心
3、C 在右為正 ， 在左為負(fù) 。 E A O +r C A E C -r O （ 2）物方截距 L 和像方截距 L 也以頂點(diǎn) O 為原 點(diǎn)，到光線與光軸交點(diǎn)， 向右為正，向左為負(fù) 。 A A -L +L E O C A E C -L -L A O （ 3）球面間隔 d 以前一個(gè)球面的頂點(diǎn)為 原點(diǎn)， 向右為正，向左為負(fù) 。 O1 O2 O1 O2 O1 O2 +d （在折射系統(tǒng)中總為正，在反射和折反系統(tǒng)中才有為負(fù)的情況） A B +y O E C +h A B -y 2. 垂軸線段：以光軸為界， 上方為正，下方為負(fù) 。 （三）角度 角度的度量一律以銳角來度量，由起始邊 順時(shí)針轉(zhuǎn)到
4、終止邊為正，逆時(shí)針為負(fù)。 （ 1）光線與光軸的夾角，如 U、 U，以光軸為起始邊。 A B -L y O E C r L A B h -y 起始邊規(guī)定如下： -U U （ 2）光線與法線的夾角，如 I、 I，以光線為起始邊。 A B -L y O E -U C r L A U B h -y I I I -I” I -I” -I （ 3）入射點(diǎn)法線與光軸的夾角 （球心角），以光軸為起始邊。 A B -L y O E -U C r L A U B h -y I I 練習(xí)：試用符號(hào)規(guī)則標(biāo)出下列 光組及光線的位置 （ 1） r = -30mm、 L = -100mm、 U = -10
5、 （ 2） r = 30mm、 L = -100mm、 U = -10 （ 3） r1 = 100mm、 r2 = -200mm、 d = 5mm、 L = -200mm、 U = -10 （ 4） r = -40mm、 L = 200mm、 U = -10 （ 5） r = -40mm、 L = -100mm、 U = -10 、 L= -200mm 符號(hào)規(guī)則是人為規(guī)定的， 一經(jīng)定下，就要嚴(yán)格遵 守，只有這樣才能導(dǎo)出 正確結(jié)果 當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù) r , n , n 給定時(shí)，只要 知道 L 和 U ，就可求 L 和 U A -L O E -U C r A U I I n n L 二、實(shí)際
6、光線的光路計(jì)算 A -L O E -U C r A U I I n n L AEC中， L r = AC， 并由正弦定理可得： Ur rLI s ins in nsin I sin I n U I U I U U I I 在 EAC中， CA = L-r， 由正弦定理，可得 L r r s i n I s i n U 1 sin I L r ( )sin U Ur rLI s ins in nsin I sin I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 上述四個(gè)公式就是子午面內(nèi)光路計(jì)算 的實(shí)際光路公式，當(dāng)
7、 n、 n、 r 和 L、 U 已知時(shí)，可依次求出 U 和 L。 當(dāng)物點(diǎn)位于光軸上無限遠(yuǎn)處時(shí)，可以認(rèn)為它發(fā)出的光 是平行于光軸的平行光，此時(shí)有 L = -， U = 0 然后再按其它實(shí)際光路公式計(jì)算 O E C r I n n h 入射角可以按 r hI s in 計(jì)算 例：已知一折射球面其 r = 36.48mm， n = 1， n = 1.5163。 軸上點(diǎn) A的截距 L = -240mm，由它發(fā)出一同心光束，今 取 U 為 -1 、 -2 、 -3 的三條光線，分別求它們經(jīng)折 射球面后的光路。（即求像方截距 L和像方傾斜角 U） A E O C n n -240mm U= -
8、1 : U= 1.596415 L=150.7065mm U= -2 : U= 3.291334 L=147.3711mm U= -3 : U= 5.204484 L=141.6813mm Ur rLI s ins in nsin I sin I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 可以發(fā)現(xiàn)：同一物點(diǎn)發(fā)出的物方傾斜角 不同的光線過光組后并不能交于一點(diǎn)！ E A O C n n -240mm 軸上點(diǎn)以寬光束經(jīng) 球面成像時(shí)，存在 像差（球差）。 折射球面對(duì)軸上點(diǎn)以寬光束成 像是不完善的，所成的像不是 一點(diǎn)，而是個(gè)模糊的像斑，在 光學(xué)上稱其為彌散
9、斑。 一個(gè)物體是由無數(shù)發(fā)光點(diǎn)組成的，如果每個(gè)點(diǎn) 的像都是彌散斑，那么物體的像就是模糊的。 將物方傾斜角 U 限制在一個(gè)很 小的范圍內(nèi)，人為選擇靠近光軸 的光線，只考慮近軸光成像，這 是可以認(rèn)為可以成完善像 U， U， I， I 都很小，我們用弧 度值來代替它的正弦值，并用 小寫字母表示。 同時(shí) L， L 也用小寫表示。 uUs in uUs in iIs in iIs in 三、近軸光線的光路計(jì)算 則實(shí)際光路公式可寫成： ur rli ni i n u u i i 1 il r ( )u 稱為近軸公式 Ur rLI s ins in nsin I si
10、n I n U U I I 1 sin I L r ( )sin U 當(dāng)無限遠(yuǎn)物點(diǎn)發(fā)出的平行光入射時(shí)，有 r hi 繼續(xù)用其余三個(gè)公式。 O E C r i n n h 例 2：仍用上例的參數(shù) r = 36.48mm, n = 1, n = 1.5163, l = -240mm, sinU = u = -0.017 求： l, u 與大 L 公式計(jì)算的結(jié)果比較： L = 150.7065mm.(1 ) 1288.0)017.0(48.36 48.36240 ur rli 1 0 12 88 0 08 5 1 51 63 ni i . . n . 0 0 1 7
11、 0 1 2 8 8 6 0 0 8 5 0 0 2 6 8 6u u i i . . . . 0 08 51 36 48 1 15 1 92 3 0 02 68 6 i .l r ( ) . ( ) . m m u . 近軸光學(xué)的基本公式的推導(dǎo) 對(duì)于近軸光而言， AO = -l， OA = l， tgu = u， tgu = u 有： lu = lu = h A -l O E -u C r A u i i n n l h 如將 ur rli 1 il r ( )u 和 中的 i, i 代入 n i in h ( n n )n u nu r
12、 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q r l r l n n n n l l r h ( n n )n u nu r 給出了 u 和 u 的關(guān)系 n n n n l l r 給出了 l 和 l 的關(guān)系 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q r l r l “阿貝不變量”。 當(dāng)物點(diǎn)位置一定時(shí)， 物空間和像空間的 Q 值相等。 由阿貝不變量公式和物像位置關(guān)系公式可知， l 與 u 無關(guān)。 由近軸細(xì)光束成的完善像稱為高斯像 光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)成像性質(zhì)和規(guī)律 的光學(xué)稱為高斯光學(xué)或近軸光學(xué)。 1 1 1 1n ( ) n ( ) Q
13、 r l r l n n n n l l r 這說明軸上點(diǎn)發(fā)出的靠近光軸的細(xì)小同心光束經(jīng)球面折射后仍 是同心光束，可以會(huì)聚到一點(diǎn)，也就是所成的像是完善的。 第四節(jié) 球面光學(xué)成像系統(tǒng) 一 、 單個(gè)折射面成像 二 、 球面反射鏡成像 三 、 共軸球面系統(tǒng) （一）垂軸放大率 垂直于光軸，大小為 y 的物體經(jīng)折射球面后成的像大小為 y，則 稱為垂軸放大率或橫向放大率 y y A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 一、單個(gè)折射面成像 ABC ABC 有： y l r y l r 由阿貝不變量公式可得： l r n
14、l l r n l 代入上式 可得： y n l y n l 可見 只取決于介質(zhì)折射率和物體位置。 A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 根據(jù) 的定義和公式，可以 確定物體的成像特性： （ 1）若 0，即 y 與 y 同號(hào)，表示 成正立像。反之成 倒立像。 對(duì)橫向放大率的討論 （ 2）若 0，即 l 與 l 同 號(hào)，表示物象在折射球面 同側(cè)，物像虛實(shí)相反。反 之 l 與 l 異號(hào)，物像虛實(shí) 相同。 可歸結(jié)為： 0，成正立像且物像虛實(shí)相反。 1，則 |y| |y|，成放大像，反 之 |y| < |y|
15、，成縮小像 y n l y n l 還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體由遠(yuǎn)而近時(shí)， 即 l 變小，則 增大 成像的位置、大小、虛實(shí)、 倒正極為重要！！！ 軸向放大率表示光軸上一對(duì)共軛點(diǎn)沿軸向移動(dòng)量之間的關(guān)系。 它定義為物點(diǎn)沿光軸作微小移動(dòng) dl 時(shí)，所引起的像點(diǎn)移動(dòng)量 dl 與 dl 之比，用 表示。 dl dl 對(duì)公式 n n n n l l r 微分，有 22 0 n d l n d l l l （二）軸向放大率 2 2 dl nl dl n l 整理后 由于 n l n l 所以 2n n （ 1）折射球面的軸向放大率恒為正， 說明物點(diǎn)沿軸向移
16、動(dòng)時(shí)，像點(diǎn)沿光軸 同方向移動(dòng)。 （ 2）軸向與垂直放大率不等，空間物 體成像時(shí)要變形，立方體放大后不再 是立方體。折射球面不可能獲得與物 體相似的立體像。 （ 3）公式應(yīng)用條件： dl 很小。 討論： 由 2n n 得到以下結(jié)論： 在近軸區(qū)內(nèi)，角放大率定義為一對(duì)共軛光線 與光軸夾角 u 與 u 的比值，用 表示 u u （三）角放大率 A -l O E -u C r A u n n l h y -y B B 將式 l u = l u = h 代入上式 可得 上式兩邊乘以 n/n，并利用垂軸放大率公式，可得 u l u l 1n n 上式為角放大率與橫向放大率之間
17、的關(guān)系式。 角放大率表明了折射球面將光束變寬或變 細(xì)的能力，只與共軛點(diǎn)的位置有關(guān)，與光 線的孔徑角無關(guān) 將軸向放大率與角放大率公式相乘，有： 上式為三種放大率的關(guān)系。 y n u y n u 即： y n u y n u J J 稱為拉赫不變量或傳遞不變量，可以利用這一性質(zhì)， 在物方參數(shù)固定后，通過改變 u 來控制 y 的大小，也 就是可以通過控制像方孔徑角來控制橫向放大率。 上式稱為 拉格朗日赫姆霍茲公式 ，它表明實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)在近軸區(qū)域成 像時(shí)，在一對(duì)共軛面內(nèi)，其 n， u， y 或 n， u， y 的乘積為一常數(shù) J。 y n u y n u J
18、 A O E -u C A u n y -y B B n 1 15 1 83 8 0 41 72 1 51 63 24 0 0 41 72 20 8 34 48 nl . . n l . ( ) y y . . m m 解： < 0：倒立、實(shí)像、兩側(cè) || < 1：縮小 例 1-3：已知一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)， r = 36.48mm, n=1, n=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出： l=151.838mm， 現(xiàn)求 , y （橫向放大率與像的大?。? 上例中，若 l1 = -100mm， l2
19、= -30mm，求像的位置大小。 當(dāng) l1 = -100mm 時(shí)： l1 = 365.113mm 1 = -2.4079 y1 = -48.1584mm 放大倒立實(shí)像，兩側(cè) n n n n l l r 利用公式 當(dāng) l2 = -30mm 時(shí)： l2 = -79.0548mm 2 = 1.7379 y2 = 34.7578mm 放大正立虛像同側(cè) （一）物像關(guān)系 二、球面反射鏡成像 將 nn 代入 n n n n l l r rll 21 1 A -l O E C r A n -l y -y B B （二）放大率 A -l O E
20、 C r A n -l y -y B B y n l y n l 1n n 2 2 dl nl dl n l l l 2 2 l l 1 yuuyJ 將 nn 代入 由兩個(gè)折射面組成的透鏡， 1 2 1 2 1 2 1n , n , n , n , r , r , d 均已知。 現(xiàn)在已知 l1 和 u1，要求 l2 和 u2 A1=A2 A1 O1 O2 n1 n2 n1=n2 -l1 u1 u2 u1=u2 l2 d1 l2 l1 三、共軸球面系統(tǒng) （ 1）用近軸公式算出光線經(jīng)第一個(gè)折射 面后的像方截距 l1 和孔徑角 u1 問題分兩步解決： A1
21、O1 n1 n1 -l1 u1 u1 l1 A1 （ 2）將第一個(gè)面的出射光線作為第二個(gè)面的入射 光線，再利用近軸公式求解最終的 l2 和 u2 將 第一個(gè)折射面像空間參數(shù)轉(zhuǎn)化為第二個(gè)折射面物空間參數(shù)， 稱為轉(zhuǎn)面公式。 注意： 21u u ; 2 1 1l l d ; 21n n O1 O2 n2 n1=n2 u2 u1=u2 l2 d1 l2 l1 A1=A2 推而廣之，如果有 k個(gè)折射球面，也必須先給定 光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)： （ 1）每個(gè)球面的曲率半徑 r1， r2 rk （ 2）每個(gè)球面間隔 d1， d2 dk （ 3）每個(gè)球面間介質(zhì)折射率 n1， n1=n2， n2=n3
22、nk-1=nk，最 后一個(gè)面后的折射率為 nk. 反復(fù)應(yīng)用近軸公式進(jìn)行計(jì)算， 此時(shí)，前一個(gè)面的像空間就是 后一個(gè)面的物空間。 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 3 2 1 kk kk k k k kk n n , n n .. .. .. n n u u , u u , .. .. .. u u l l d , l l d .. .. .. l l d y y , y y .. .. .. y y 參數(shù)關(guān)系： 上述公式為共軸球面系統(tǒng)近軸光線計(jì)算的 轉(zhuǎn)面公式，它對(duì)于寬光束成像
23、也適用，只 需將小寫字母 u 和 l 換成大寫即可。 1 1 1 1k k k k k kl u l u d u 由于： kkk hul 有： 1 1 1k k k kh h d u 這就是光線高度轉(zhuǎn)面公式的一般形式，在計(jì)算時(shí) 如 u1 和 h1 已知，則可算出 hk 和 uk 將公式 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 kk k k k u u , u u , . . . . . .u u l l d , l l d . . . . . .l l d 兩式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘，可得： 拉赫公式 由第一面，有拉赫公式
24、1 1 1 1 1 1y n u y n u J 同樣第二面，有 2 2 2 2 2 2y n u y n u J 而 1 1 1 2 2 2y n u y n u 所以有 1 1 1 1 1 1 2 2 2 kkky n u y n u y n u . . . . . . y n u J 這說明，拉赫不變量不僅對(duì)于一個(gè)面的物像空間， 而且對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的每一個(gè)面都是不變量。 利用這一點(diǎn)，我們可以對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn) 放大率公式 （一）橫向放大率 1 kyy 由于 y1=y2, y2=y3 上式可以寫成：
25、12 12 1 1 2 kk k k y y y y .. .. .. .. .. .. y y y y 整個(gè)系統(tǒng)的橫向放大率是各個(gè)折射面放大率的乘積 若將 kk k kk n l n l 代入，可得： kk k llln llln ...... ...... 21 2 11 由拉赫公式 1 1 1 1 1 1 2 2 2 kkky n u y n u y n u . . . . . . y n u J 還可得到： 11 1 k kk y nu y n u 1 kdl dl 說明整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的軸向放大率是各個(gè)折
26、射面放大率的乘積 2 1 knn 12 1 2 3 1 1 2 kk k k dl dl dl dl dl dl dl dl （二）軸向放大率 （三）角放大率 1 ku u 根據(jù)轉(zhuǎn)面的一般公式可變換為： 12 12 1 1 2 kk k k u u u u ...... u u u u 1 1 k n n （四）三者關(guān)系 很明顯，為： 成像計(jì)算中有三種方法 ur rli ni i n u u i i 1 il r ( )u 及過渡公式 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 kk k k k u u ,
27、u u , . . . . . .u u l l d , l l d . . . . . .l l d 方法 1： 對(duì)每一面用追跡公式 對(duì)每一面應(yīng)用物像位置公式 n n n n l l r 2 1 1 3 2 2 1 1k k kl l d , l l d . . . . . .l l d 及過渡公式 方法 2： 方法 3： h ( n n )n u nu r 像平面上 y 0 來計(jì)算物體經(jīng)過 多個(gè)折射球面后像面的位置。 及過渡公式 ,. .. .. ., .. .. . ., 11122231112 12
28、312 kkkk kk udhhudhhudhh uuuuuu 對(duì)每一面應(yīng)用物像位置公式 1 30 1 1. 5 10 1 2 r m m n n mm ： 一 個(gè) 球 面 半 徑 ， 物 像 方 的 折 射 率 ， ， 平 行 光 的 入 射 高 度 為 。 （ ） 求 實(shí) 際 出 射 光 線 的 像 方 截 距 ； （ ） 求 近 軸 光 線 的 像 距 ， 并 比 較 之 。 2 18 180 30 1 1.52 m m m m r m m nn ： 一 個(gè) 高 的 物 體 位 于 折 射 球 面 前 處 ， 球 面 半 徑 ， ， ， 求 像 的 位 置 、 大 小 、 正 倒 及 虛 實(shí) 情 況 。 作業(yè)
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