概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第三章.ppt

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1、河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 二維隨機(jī)變量 邊緣分布 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1、二維隨機(jī)變量 一、概念 定義 1 設(shè)在試驗(yàn) E的樣本空間 S=e上定義了兩個 隨機(jī)變量 X、 Y,稱向量 (X,Y)為 二維隨機(jī)變量 或 二維隨 機(jī)向量 . 二維隨機(jī)變量 (X,Y)不僅與各個隨機(jī)變量 X,Y有關(guān) , 也與 X,Y間的 內(nèi)在聯(lián)系 有關(guān) . 因此 ,不能試圖通過單獨(dú)研究隨機(jī)變量 X,Y而來了解 二維隨機(jī)變量 (X,Y),必須將 (X,Y

2、)作為一個整體來研究 . 類似于一維隨機(jī)變量 ,我們也可利用 “ 分布函數(shù) ” 來 研 究二維隨機(jī)變量 (X,Y),并且分別就離散型與連續(xù)型來加 以分析 . 請 你 注 意 定義 2 設(shè) (X,Y)為二維隨機(jī)變量 ,稱二元函數(shù) ,),( yYxXPyxF 為二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) ,也稱為隨機(jī)變量 X 與 Y的 聯(lián)合分布函數(shù) ,其中 為 任意實(shí)數(shù) . yx, 分布函數(shù) 在點(diǎn) 處的函數(shù)值就是事件 “ 隨機(jī)點(diǎn) (X,Y)落在以點(diǎn) 為右上頂點(diǎn)的角形區(qū) 域 ” 的概率 . ),( yxF ),( yx ),( yx

3、二、分布函數(shù)及其性質(zhì) 定義域?yàn)?全平面 分布函數(shù)具有下列 基本性質(zhì) : 關(guān)于 x、 y均 單調(diào)不減 右連續(xù) . ),( yxF 對任意點(diǎn) 均有： 21212211 ,),,(),,( yyxxyxyx , 2121 yYyxXxP ;0),(),(),(),( 12212211 yxFyxFyxFyxF ;1),(;1),(0 FyxF ;0),(),(),( FxFyF

4、 分布函數(shù)與離散型二維隨機(jī)變量 分布律 、連 續(xù)型二維隨機(jī)變量 概率密度 的關(guān)系 見后 . 隨機(jī)向量落在矩 形區(qū)域的概率 三、離散型二維隨機(jī)變量 1、概念 定義 3 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)所有可能取值為 有限個或可列無限個點(diǎn) ,則稱 (X,Y)為 二維離散型隨機(jī) 變量 . ).,2,1,(, jipyYxXP ijji 2、分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)可能取值為 ),,2,1,)(,( jiyx ji 則 (X,Y)的 分布律 (概率分布 )X與 Y的 聯(lián)合分布律 為 分布律 滿足 : .1 1 1

5、 i j ijp 分布律可用表格 表示 : X Y ixxx 21 12111 ippp ijjj ppp 21 22212 ippp j y y y 2 1 );,2,1,(0 jip ij 概率的非負(fù)性 概率的規(guī)范性 【 例 1】 P.71 將一枚硬幣連拋三次 ,以 X表示在 “ 三次中出現(xiàn)正 面的次數(shù) ” ,Y表示 “ 三次中正、反面次數(shù)差的絕對 值 ” ,求 X與 Y的聯(lián)合分布律 . 解 X取值 0,1,2,3;Y取值 1,3.基本事件總數(shù)為 8. X與 Y的 聯(lián)合分布律 為 : PX=0,Y=1=P()=0; PX=0

6、,Y=3=1/8; TTT PX=1,Y=1=3/8; HTT,THT,TTH PX=1,Y=3=P()=0; PX=2,Y=1=3/8; HHT,HTH,THH PX=2,Y=3=P()=0; PX=3,Y=1=P()=0; PX=3,Y=3=1/8. HHH 古典概率 例 1-續(xù) X與 Y的聯(lián)合分布律為： 二維離散型隨機(jī)變量的分布列形象化解釋 設(shè)想將一單位質(zhì)量的物質(zhì)分配在（ X， Y）所 有可能取值的點(diǎn)處，相應(yīng)分配的量就是對應(yīng)的概 率值。 這樣一來，隨機(jī)變量取值落在某個平面區(qū)域 G上的概率就等于 G內(nèi)各可能

7、取值點(diǎn)處概率之和。 ,),( ),( j Gyx i yYxXPGYXP ji 請自學(xué) P.72:例 2。 四、連續(xù)型二維隨機(jī)變量 ,),(),( y x d u d vvufyxF 1、概念 定義 4 設(shè) 為二維隨機(jī)變量 (X,Y)分布函數(shù) , 如果存在非負(fù)函數(shù) 使對任意實(shí)數(shù) 有 ),( yxF ),( yxf yx, 則稱 (X,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ,其中 稱為 隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度 ,或稱為隨機(jī)變量 X與 Y的聯(lián) 合概率密度 . ),( yxf 2、概率密度及其性質(zhì) 概率密度具有下列 性質(zhì) :

8、 設(shè) G為平面 xoy上的一個區(qū)域 ,則隨機(jī)點(diǎn) (X,Y) 落在 G內(nèi)的概率為 : .),(),( G d x d yyxfGYXP );),((0),( 2Ryxyxf ;1),( d x d yyxf 曲頂柱 體體積 確定待定參數(shù) 概率密度性質(zhì) .),(),( 2 yx yxFyxf 若 在點(diǎn) 處連續(xù) ,則有 ),( yxf ),( yx 由分布函數(shù) 求概率密度 ,),(),( y x d u d vvufyxF 由概率密度 求分布函數(shù)

9、【 例 2】 (典型題） 設(shè) r.v.(X,Y)的概率密度為 解 由概率密度性質(zhì)得 其它,0 ,0,0, ),( )2( yxCe yxf yx d x d yyxf ),(1 (1)確定 C的值 ;(2)求 (X,Y)的分布函數(shù) ;(3)求概率 . XYP (1) 因?yàn)? ,2|)1(|)21( 002 CeeC yx 2 00 xyC e dx e dy 所以 .2C 其它,0 ,0,0,2 ),( )2( yxe yxf yx 故 例 2-續(xù) 1 (2)由概率密度求分布函數(shù) . 解題思路

10、 畫出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 ; 點(diǎn) (x,y)在全平面范圍 內(nèi)取值 ; 綜合上述兩點(diǎn)得出就 (x,y)的分段情形 . y x d u d vvufyxF ),(),( ,,0 ,0,0,2 0 0 2 其它 yxdvedue x y vu ,,0 ,0,0,|| 002 其它 yxee yvxu ,,0 ,0,0),1)(1( 2 其它 yxee yx 例 2-續(xù) 2 本例中分布函數(shù)應(yīng)分為兩段來計(jì)算 :就 x0,y0與 “ 其它 ” 。 利用重積分對積分 區(qū)域的可加性 ,只 保留

11、非零積分 例 2-續(xù) 3 (3)求概率 PYX. 只需在 概率密度 f的非零 區(qū)域 與 事件區(qū)域 G=(x,y)|yx 的 交集 D上積分 . 由公式 .),(),( G d x d yyxfGYXP 得 : .),(),( xy D d x d yyxfd x d yyxfXYP dxeedyedxe xyx x yx 0 0 2 00 2 |)1(22 例 2-續(xù) 4 . 3 1 3 21| 3 2)1(2 0 32 0 2 xxxx eedxee 本例是一個 典型題 .大家應(yīng)熟練

12、掌握分析與計(jì)算 的方法。特別是會根據(jù) 不同形狀 的 概率密度非零區(qū)域 與所求概率的 事件 區(qū)域 G來處理這類問題。 就 P.73:例 3來共同考慮如何分段 ?應(yīng)分幾段 ?怎 樣計(jì)算各段值 ?(板書 ) 二維均勻分布 設(shè) G為一個平面有界區(qū)域 ,其 面積為 A.如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密 度為 ,,0 ,),(, 1 ),( 其它 Gyx Ayxf 則稱 (X,Y)服從區(qū)域 G上的均勻分布 ,記為 (X,Y)U(G). 1、二維均勻分布 兩種常見的二維連續(xù)型分布 二維正態(tài)分布 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y) 的概

13、率密度為 2、二維正態(tài)分布 2 1 2 1 22 21 )( )1(2 1e x p 12 1),( xyxf 2 2 2 2 21 21 )())((2 yyx 其中 均為常數(shù) ,稱 (X,Y) 為服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布 ,記為 )11,0,(,,,, 212121 ,,,, 2121 ).,,,,(),( 2121 NYX 2、邊緣分布 一、邊緣分布函數(shù)及其求法 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)為 ,X與 Y 作為單個隨機(jī)

14、變量的分布函數(shù)分別為 ,稱 ),( yxF )(),( yFxF YX )(),( yFxF YX 分別為二維隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X和關(guān)于 Y的 邊緣分布 函數(shù) . 問題 :聯(lián)合分布 (函數(shù) )與邊緣分布 (函數(shù) )有什么關(guān)系 ? 結(jié)論 :聯(lián)合分布 (函數(shù) ) 邊緣分布 (函數(shù) ) 但當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時 ,聯(lián)合分布 (函數(shù) )與 邊緣分布 (函數(shù) )可相互確定 . 3 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)為 ,邊緣分 布函數(shù) 即 X與 Y的分布函數(shù) 為 ，則有 ),( yxF )(),( yFx

15、F YX 因此，由聯(lián)合分布函數(shù)可 求得邊緣分布函數(shù)： ),()( ),()( yFyF xFxF Y X ).,(,)( yFyYXPyYPyF Y ),,(,)( xFYxXPxXPxF X 即可通過 聯(lián)合分布函數(shù)求極限 來確定邊緣分布函數(shù) 。 二、離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律 設(shè) 離散型 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 分布律 為 xx j ijX i pxFxF 1 ),()( ).,2,1,(, jipyYxXP ijji 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合分布律關(guān) 系得： )( xx iX i xXPxF 又由一維離散型隨機(jī)

16、變量分布函數(shù)與分布律關(guān)系得： 比較可得 X的分布律 為： i j iji ppxXP 1 同理可得 Y的分布律 為： 1i ijj pp 我們稱 1j iji pp j i ijj ppyYP 1 (X,Y)關(guān)于 X的 邊緣分布律 (X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣分布律 顯然 ,由聯(lián)合分布律 可 求 得各個 邊緣分布律 ,只需 采用 “ 同一表格法 ” . 設(shè) r.v.X與 Y的聯(lián)合分布律為 解 利用公式得邊緣分布律 ,見上表 “ 邊緣 ” . 求 X,Y的邊緣分布律 . 【 例 3】 三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊

17、緣概率密度 設(shè) 連續(xù)型 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 為 dxdyyxfxFxF x X ),(),()( )),) ((,( 2Ryxyxf 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度 關(guān)系得： dttfxF x XX )()( 又由一維連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與概率密度關(guān)系得： 比較可得 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,且 X的概率密度 為： dyyxfxf X ),()( 同理可得 Y的概率密度 為： 我們稱 dyyxfxf X ),()( dxyxfyf Y ),()( (X,Y)關(guān)于 X的 邊緣概率

18、密度 (X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣概率密度 顯然 ,由聯(lián)合概率密度 可 求 得各個 邊緣概率密度 , 只需對某 一個變量在 (-,+)上積分 ,但必須注意 另 一個變量應(yīng)在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值 . dxyxfyf Y ),()( 參量積分 【 例 4】 (典型題） 設(shè) r.v.X與 Y的聯(lián)合概率密度為 解題思路 求 X,Y的邊緣概率密度 . ,,0 ,,6),( 2 其它 xyxyxf 畫出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 ; 參量 x(y)在 實(shí)數(shù) 范圍 內(nèi)取值 ; 綜合上述兩點(diǎn)就 x(y) 分兩種情形 關(guān)于 y(x

19、)由 -積分到 +,只需在積分直線 與非零區(qū)域 交線 上進(jìn)行 . dyyxfxf X ),()( ,,0 ,10,6 2 其它 xdy x x .,0 ,10)(6 2 其它 xxx 類似可得 : 解 由公式得 : 例 4-續(xù) 1 dxyxfyf Y ),()( 例 4-續(xù) 2 dxyxfyf Y ),()( ,,0 ,10,6 其它 ydx y y .,0 ,10)(6 其它 yyy 本例是求邊緣概率密 度的 典型題 ，不同的題目 只是非零區(qū)域形狀和積分 表達(dá)式的變化，必須熟練 掌握 . 二維正態(tài)分布

20、的邊緣分布 );( 2 1)( 2 1 2 1 2 )( 1 xexf x X 不難求得 二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的邊緣概率密 度 為 : 由此可知 :二維正態(tài)分布的邊緣分布均為一維正 態(tài)分布 ,且與參數(shù) 無關(guān) . ).( 2 1)( 2 2 2 2 2 )( 2 yeyf x Y 表明 :由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布 ,但由邊緣 分布未必能確定聯(lián)合分布 . 3、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 則稱隨機(jī)變量 X與 Y是 相互獨(dú)立 的 . ,, yYPxXPyYxXP 定義 1 設(shè) 分別為二維隨機(jī) 變量 (X,Y)分布函數(shù)與邊緣分布

21、函數(shù) .如果對于任意 的實(shí)數(shù) 均有 )(),(),,( yFxFyxF YX yx, 一、概念 即 ),()(),( yFxFyxF YX 利用兩事件的獨(dú)立性可以定義兩隨機(jī)變量的獨(dú) 立性 . 二、判定 由定義可以判定隨機(jī)變量 X與 Y的 獨(dú)立性 : ).),()(()(),( 2RyxyFxFyxF YX X與 Y相互 獨(dú)立 特別的，對離散性和連續(xù)性隨機(jī)變量，也可利 用其分布律與概率密度來判定獨(dú)立性。 1、離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 (X,Y)的分布律、邊緣分布律 分別為 ,,, jiiijji yYPpxXPpyYxXP 則 X與 Y

22、相互獨(dú)立的 充要條件 是 :對 (X,Y)的 所有 可能 取得值 ,均有 ),( ji yx , jiji yYPxXPyYxXP 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度、邊緣概率 密度分別為 )(),(),,( yfxfyxf YX 則 X與 Y相互獨(dú)立的 充要條件 是 :在全平面上 幾乎處處 成立 )()(),( yfxfyxf YX 2、連續(xù)型隨機(jī)變量 總之，聯(lián)合分布可確定邊緣分布 ;但當(dāng) X與 Y相互 獨(dú)立時，邊緣分布也可確定聯(lián)合分布。 一般，要判定 X與 Y的獨(dú)立性，可先求邊緣分布 , 再依據(jù)上述條件之一判定 . 【 例 1】 設(shè)隨機(jī)變量

23、(X,Y)的概率密度為 ,,0 ,10,||,1 ),( 其它 xxy yxf (1)求 (X,Y)的邊緣概率密度 ; (2)判定 X,Y的獨(dú)立性 . 解 (1)求 (X,Y)的邊緣概率 密度 dyyxfxf X ),()( ,,0 ,10,1 其它 xdy x x ,,0 ,10,2 其它 xx dxyxfyf Y ),()( ,,0 01,1 10,1 1 1 其它 ydx ydx y y ,,0 ,11|,|1 其它 yy ,,0 01,1 10,1 其它 yy

24、 yy 例 1-續(xù) 1 (2)判定獨(dú)立性 因?yàn)? )()(),( yfxfyxf YX 即 X與 Y不獨(dú)立 。 ,,0 ,11|,|1 )( 其它 yy yf Y ,,0 ,10,2 )( 其它 xx xf X 所以在聯(lián)合概率密度非零區(qū)域內(nèi) 例 1-續(xù) 2 【 例 2】 (典型題） 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且 X服從 (0,1)上的均勻分 布 ,Y的概率密度為 ,,0 ,0, 2 1 )( 2 其它 yeyf y Y (1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 ; (2)求關(guān)于 t的二次方程 t2+2Xt+Y=0 有實(shí)根的概率 . 解

25、 (1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 因?yàn)?X,Y獨(dú)立 ,且有 ,,0 ,10,1 )( 其它 x xf X ,,0 ,0, 2 1 )( 2 其它 yeyf y Y 所以 ,X與 Y的聯(lián)合概率密度為 .,0 0,10,)()(),( 221 其它 yxeyfxfyxf y YX 例 2-續(xù) 1 (2)求方程有實(shí)根的概率 “方程有實(shí)根 ” 即為 ,04)2( 2 YX 故所求概率為 ; 2 ),( 2 xy d x d yyxfXYP dxe x 1 0 2 2 2 1 21 2 ),( 2 xy

26、 d x d yyxfXYP D y dx dye 2 2 1 dyedx x y 2 0 2 1 02 1 dxe x y 1 0 0 2 2 | dxe x 1 0 2 )1( 2 )0()1(21 5.08413.05066.21 1445.0 例 2-續(xù) 2 均勻分布的概率密度； 當(dāng)兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立時，可由邊緣概率 密度確定聯(lián)合概率密度； 由聯(lián)合概率密度求事件 “ 二維隨機(jī)變量取值 落 在一個平面區(qū)域內(nèi) ” 概率的積分公式； 二重積分的計(jì)算； 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)計(jì)算有關(guān)概率積 分值； 一元

27、二次方程有實(shí)根的條件，等。 本題知識點(diǎn)回顧 不難看出：對于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X,Y),X與 Y相 互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) =0. 參數(shù) 稱為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) (ch4). 如果隨機(jī)變量 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) =0,稱 X與 Y是 不 相關(guān) 的 . 一般 ,X與 Y相互 獨(dú)立 X與 Y不相關(guān) . 但對 二維正態(tài) 隨機(jī)變量 (X,Y),X與 Y獨(dú)立 與 不相 關(guān) 是 等價 的 . 續(xù) 由一、二維隨機(jī)變量推廣至 n維隨機(jī)變量 .請看教 材 我們知道： 二維正態(tài) 隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 為

28、 2 1 2 1 22 21 )( )1(2 1e x p 12 1),( xyxf 2 2 2 2 21 21 )())((2 yyx );( 2 1)( 2 1 2 1 2 )( 1 xexf x X 兩個 邊緣概率密度 為 二維正態(tài)分布與邊緣分布 ).( 2 1)( 2 2 2 2 2 )( 2 yeyf x Y 4、條件分布 一、離散型二維隨機(jī)變量的條件分布律 定義 1 設(shè)（ X， Y）為離散型二維隨機(jī)變量， 對于固定的 j，當(dāng) 時，稱 0 jyYP j ij j ji ji p

29、p yYP yYxXP yYxXP , | ),2,1( i 為 在 條件下 X的條件分布律 ； jyY 由條件概率可以自然地引入條件分布。 為 在 條件下 Y的條件分布律 。 ixX i ij i ji ij p p xXP yYxXPxXyYP ,| ),2,1( j 對于固定的 i，當(dāng) 時，稱 0 ixXP 設(shè) r.v.X與 Y的聯(lián)合分布律為 求在 Y=1條件下 X的條件分布律 . 【 例 1】 解 先求邊緣分布律 ,見上表 “ 邊緣 ” . 再求條件分布律： ,251248/25 4/11 1,

30、11|1 YP YXPYXP ,25648/25 8/11 1,21|2 YP YXPYXP ,25448/25 12/11 1,31|3 YP YXPYXP .25348/25 16/11 1,41|4 YP YXPYXP 顯然，條件分布律也滿足分布律的性質(zhì)。 例 1-續(xù) )( ),()|( | yf yxfyxf Y YX 定義 2 設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密 度為 ，邊緣概率密度為 ，則當(dāng) 時，稱 ),( yxf )(),( yfxf YX 0)( yfY 為 在條件 下 X的條件概率

31、密度 ；當(dāng) 時， 稱 yY 0)( xf X )( ),()|( | xf yxfxyf X XY 為 在條件 下 Y的條件概率密度 xX 二、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的條件概率密度 【 例 2】 設(shè) r.v.X與 Y的聯(lián)合概率密度為 ,,0 ;10,||,1),( 其它 xxyyxf 求條件概率密度 。 )|(| xyf XY 解 先求邊緣概率密度： dyyxfxf X ),()( 其它,0 ;10,1 xdy x x .,0 ;10,2 其它 xx 再先條件概率密度：當(dāng) 時， 10

32、x )( ),()|( | xf yxfxyf X XY .,0 ,||, 2 1 其它 xy x 5、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布在前一章已經(jīng)討論過， 下面就幾個具體的分布來討論 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分 布 。 主要就 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)來根據(jù)具體情況應(yīng)用 公式 : .),(),( G d x d yyxfGYXP 至于 離散型 隨機(jī)變量情形可參照處理 . 5、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布在前一章已經(jīng)討論過， 下面就幾個具體的分布來討論 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分 布 。 主要就

33、連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)來根據(jù)具體情況應(yīng)用 公式 : .),(),( G d x d yyxfGYXP 至于 離散型 隨機(jī)變量情形可參照處理 . )()( zFzf ZZ dxdyyxf dz d xz ),( dxdyyxf dz d xz ),( dxxzxf ),( 由 對稱性 得： .),(),()( dyyyzfdxxzxfzf Z 因此 ,由 聯(lián)合概率密度 求 和分布 Z=X+Y的概率密 度 公式為： .),()( dyyyzfzf Z 特別，當(dāng) X與 Y相互 獨(dú)立 時 ,幾乎處處有 : )()(

34、),( yfxfyxf YX 于是 ,上述公式變?yōu)?卷積公式 : YXYXYXZ ffdyyfyzfdxxzfxfzf *)()()()()( 因此 ,一般 可由 X與 Y的聯(lián)合概率密度求和分布 Z=X+Y的概率密度 ;當(dāng) X與 Y獨(dú)立 時 ,可由邊緣概率密 度的卷積公式求之 . 參照 D就 z在 (-,+)上進(jìn)行分段 ; 對上述各分段中取定的 z值 ,就 x從 - 積分至 +,實(shí)際只需在非零區(qū)域 D上一段積分 . 卷積計(jì)算思路 在 xoz平面上確定被積函數(shù)及其非零區(qū)域 D; dxxzfxfzf YXZ )()(

35、)( 注意：上述也是一般參量積分的計(jì)算方法。 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 , 求 Z=X+Y的概率分布 . ),( 2 1)( 2 2 xexf x X 所以由卷積公式得 Z=X+Y概率密度為 解 因?yàn)?X,Y獨(dú)立且其概率密度分別為 dxxzfxfzf YXZ )()()( dxee xzx 2 )( 2 22 2 1 【 例 1】 ),( 2 1)( 2 2 yeyf y Y 1、 z在 (-,+)上取值 ; 2、 x在 (-,+)上積分 ; 3、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域 ; 4、在 xoz系中綜合上

36、述各點(diǎn) 確定 z的分段情形 . dxee zxz 22 ) 2 ( 4 2 1 4 2 2 1 ze 2 zxt dtee t z 2 2 4 2 1 2 2 )2(2 22 1 z e 例 1-續(xù) 1 所以 ZN(0,2). ).( z 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且概率密度均為： ,,0 ,100, 50 10 )( 其它 t t tf 解 因?yàn)?X,Y獨(dú)立 ,所以 和分布 概率密度可由 卷 積公式 計(jì)算 : dxxzfxfzf YXZ )()()( 求 Z=X+Y概率密度。 計(jì)算積分 思路 :1

37、.被積函數(shù)非零區(qū)域 ;2. z取任意實(shí) 數(shù) ;3.x在 (-,+)上積分 ;4.綜合上述就 z分段 . 【 例 2】 (典型題 ) ,,0 ,100, 50 10 )( 其它 xxxf X 例 2-續(xù) 1 由邊緣概率密度確定 的表達(dá)式 , 特別是其非零區(qū)域 : )()( xzfxf YX 由題目條件得 : ,,0 ,100, 50 )(10 )( 其它 xzxzxzf Y ,,0 10,100, 50 )(10 50 10 )()( 其它 xzxxxzxxzfxf YX 故得 : 計(jì)算卷積 : 函數(shù)自變量

38、為 z,積分變量為 x,當(dāng) z取值范圍確 定后 ,x由 -積分至 + (只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積 分 ). z Z dx xzxzf 0 50 10 50 10)( z dxxzxz 0 2 )10100( 2500 1 100 z 1 5 0 0 0 60600 32 zzz 例 2-續(xù) 2 2010 z 10 10 50 10 50 10)( z Z dx xzxzf 1 5 00 0 )20( 3z 10 10 2 )10100( 2 5 0 0 1 z dxxzxz 200 zz 或 ,0)()( xzfxf YX 因?yàn)? 所以 .0)(

39、 zfZ 例 2-續(xù) 3 .0 ,2010, 15000 )20( ,100, 15000 60600 )( 3 32 其它 z z z zzz zf Z 綜上可得 : 例 2-續(xù) 4 離散型隨機(jī)變量和分布 設(shè) 離散型 隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率分布 為 kjikji zyx ijji zyx k pyYxXPzZP , ),3,2,1,(, jipyYxXP ijji 則隨機(jī)變量 Z=X+Y的 概率分布 為： ),3,2,1( k 特別 ,當(dāng) X,Y獨(dú)立時 ,則 Z=X+Y的 概率分布 為： j zyx iji zyx k ppyYP

40、xXPzZP kjikji .. 【 例 3】 P.90:例 1 解 Z=X+Y可能取值為 -3,-2,-1,0,1,2,3;且 33 YXPZP ; 12 12,1 YXP 22 YXPZP ; 12 11,1 YXP 11 YXPZP ; 12 30,1 YXP 00 YXPZP ; 12 22,2 YXP 11 YXPZP ; 12 11,2 YXP 22 YXPZP ;01,3 YXP 33 YXPZP . 12 20,3 YXP 值得注意 :二項(xiàng)分布和泊松分布均具有 “ 可加性 ” ： ),(),,( 21 pnBYpnBX ),( 21

41、 pnnBYX )(),( 21 PYPX )( 21 PYX 設(shè) 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 為 )( zZPzF Z ),( yxf 則隨機(jī)變量 Z=X/Y的 分布函數(shù) 為： / zYXP .),( / zyx d x d yyxf yz dxyxfdy ),( 0 yz dyyxfdy ),( 0 二、商分布 Z=X/Y 21 ),(),( GG d xd yyxfd xd yyxf )),(( 2Ryx 由廣義積分求導(dǎo)公式得： Z=X/Y的概率密度為 )()( zFzf ZZ yz dxyxfdydzd ),

42、( 0 yz dyyxfdydzd ),( 0 yz yz dxyxf dz ddydxyxf dz ddy ),(),( 0 0 0 0 ),(),( dyyyzyfdyyyzyf dyyyzfy ),(|| dyyyzfyzf Z ),(||)( 即 商分布的概率密度 為： 于是 ,上述公式變?yōu)?: ydyfyzfyzf YXZ )()(||)( 特別，當(dāng) X與 Y相互 獨(dú)立 時 ,幾乎處處有 : )()(),( yfxfyxf YX 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立 ,且概率密度均為： ,,0 ,1000, 1000 )

43、( 2 其它 t ttf 求 Z=X/Y概率密度。 解 因?yàn)?X,Y獨(dú)立 ,所以由 公式 ydyfyzfyzf YXZ )()(||)( 計(jì)算商分布的概率密度。 【 例 4】 計(jì)算積分 思路 :1.被積函數(shù)非零區(qū)域 ;2. z取任意實(shí) 數(shù) ;3.y在 (-,+)上積分 ;4.綜合上述就 z分段 . 計(jì)算方法與 卷積類似 由邊緣概率密度確定 的表達(dá)式 , 特別是其非零區(qū)域 )()( yfyzf YX 由題目條件得 : ,,0 1000,1000, 1000 )( 1000 )()( 22 其它 yzy yyz

44、yfyzf YX 故得 : ,,0 ,1000, )( 1000 )( 2 其它 yz yzyzf X ,,0 ,1000, 1000 )( 2 其它 y yyf Y 例 4-續(xù) 1 計(jì)算參量積分 函數(shù)自變量為 z,積分變量為 y,當(dāng) z取值范圍確 定后 ,x由 -積分至 + (只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積 分 ). z Z dyyyzyzf 1000 22 1 0 0 0 )( 1 0 0 0)( 10 z ,21 z1 1000 22 1000 )( 1000)( dy yyzyzf Z ,212z 例 4-續(xù) 2 0z 因

45、為 所以 ,0)()( yfyzf YX .0)( zfZ 綜上可得 : .,0 ,1 2 1 ,10, 2 1 )( 2 其它 z z z zf Z 例 4-續(xù) 3 三、極大 (小 )分布 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互 獨(dú)立 ，其 分布函數(shù) 分別為 ), m a x ()(m a x zYXPzMPzF )(),( yFxF YX 現(xiàn)求隨機(jī)變量 M=maxX,Y,N=minX,Y的 分布函數(shù) . 由分布函數(shù)的定義得； , zYPzXPzYzXP );()( zFzF YX 1)(m i n zNPzNPzF

46、 ,1), m i n (1 zYzXPzYXP 111 zYPzXP 1 zYPzXP )(1)(11 zFzF YX )(1)(11)( )()()( m i n m a x zFzFzF zFzFzF YX YX 于是， 極大 (小 )分布 的分布函數(shù)為 特別 ,當(dāng) X,Y獨(dú)立且同分布時 ,有 2 m i n 2 m a x )(11)( )()( zFzF zFzF 上述結(jié)果可推廣到有限個隨機(jī)變量情形 . P.102:1; 2; 3 ; 7; P.103:12; P.104: 14;15;17 ; P.105:20;22 。 本章作業(yè)