《直線與圓的位置關(guān)系》教案

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1、課題：直線與圓的位置關(guān)系 臚崗植英中學 郭梓華 教材：普通高中課程標準實驗教科書必修2 第四章第2節(jié) 教學目標 1.能根據(jù)直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系； 2.通過直線與圓相交所得的弦長求割線的方程，向?qū)W生滲透類比、分類、數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學生觀察、分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力。 3. 能應用直線與圓的位置關(guān)系解決一些相關(guān)的生活問題。 教學重點與難點 1.直線與圓的方程的應用； 2.如何實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合。 教學方法與手段 直觀演示，分析類比，講練結(jié)合。 教學過程 一.情景引入 讓學生欣賞一幅“海上日出圖”，說出他們所看到的數(shù)學元素——圓和直

2、線，由此引出對直線與圓的位置關(guān)系的思考。教師借助多媒體平臺演示：模擬日出的全過程，讓學生觀察，得出直線與圓的三種位置關(guān)系： 相交、相切、相離。 二、知識新授 1、復習題問： 我們可以怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？ 相交 相切 相離 方法1 從交點個數(shù)看（代數(shù)法）： 直線l：Ax＋By＋C＝0；圓：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，聯(lián)立可得： 一元二次方程 方法2 從圓心到直線的距離看（幾何法）： 直線l：Ax＋By＋C＝0；圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心(a，b)到

3、直線l的距離為d＝ 3、例題分析： 例1、如圖，已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系。如果相交，求它們交點的坐標。 讓學生自主討論，小結(jié)方法： ①聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組。過程為： ∵ 消去y，整理，得 x2-3x+2=0 ∴△=9-48=1>0 ∴解得或，故直線與圓有兩個交點(2,0)和(1,3)。 ②依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系。過程是： ∵x2+y2-2y-4=0可整理為x2+(y+2)2=5 ∴C(0,-2)，r= ∴圓心到直線的距離為 ∴直線與圓相交。 接下來，再聯(lián)立

4、直線和圓的方程求交點坐標。 教師點評：對比兩種解法，哪種方法更優(yōu)越？ 例2、已知直線L過點 M(-3,-3)，且被⊙N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦AB以M為中點，求直線L的方程。 設問：已知直線過一點，要求直線方程，關(guān)鍵是確定什么量？ 學生會發(fā)現(xiàn)：只要求出直線的斜率就行，而直線NM⊥AB，因此由互相垂直的 直線的斜率的關(guān)系可得L的斜率，問題可順利解決。 變式1 已知直線L過點 M(-3,-3)，且被⊙N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為|AB|=4，求直線L的方程。 通過學生討論，可能有兩種解答方法（代數(shù)法、幾何法），教師可根據(jù)實際情況，引導學生在草圖中尋找有

5、用信息，使他們能初步建立起從數(shù)到圖的過度，并小結(jié)出“半弦長、弦心距和半徑長”之間的數(shù)量關(guān)系。在解法的對比上，加深學生對利用圖形的認識、理解。 A B C N M 請一學生板書解答過程： 解：過N作NC⊥AB于C，連結(jié)NA 設直線方程為y+3=k(x+3) ∵x2+y2+4y-21=0可化為 x2+(y+2)2=25 ∴|NA|=5，|AM|=2 ∴|MN|= ∴ 解得 k=2 或 k= ∴所求的方程是y+3=2(x+3), y+3=-(x+3) 即2x-y+3=0或x+2y+9=0 變式2 已知直線L過點 M(-3,

6、-3)，且被⊙N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為|AB|=8，求直線L的方程。 學生在上面一道題的基礎上，很快便能計算出直線方程是4x+3y+21=0。 由此提問：為什么題目條件相似，方法一樣，上面一道題就得兩個方程，這一道題就只有一個呢？ 根據(jù)學生討論的結(jié)果，教師小結(jié)：不是所有的直線都有斜率，用點斜式求直線方程時，應該先考慮直線斜率不存在的情況。 練習： 已知直線L過點 M(-3,-3)，且被⊙N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為|AB|=2，求直線L的方程。 答案：3x+y+12=0 學生發(fā)言，教師總結(jié)，從代數(shù)、幾何兩個方面分析解法，進一步加深

7、對“數(shù)形結(jié)合”優(yōu)越性的認識。 探究 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域。已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？ 臺風 港口 設問：若你是船長，你認為是否必須改變航線？ 提示：是否改變航線，主要是由什么因素來決定？ 由學生找出解決方案。 方法一 建立坐標系，借助直線與圓的位置關(guān)系求解。 方法二 由三角形面積不變，可得。 三、小結(jié) 1、學生小結(jié)：直線與圓位置關(guān)系的判斷方法（從交點個數(shù)和點線距離兩方面） 2、教師小結(jié)：①求直

8、線方程時，要注意斜率不存在的情況； ②解題時注意分析圖形中隱含的“礦藏”。 四、課外思考題 若實數(shù)x，y滿足方程：x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。 【教案設計說明】 圓是學生比較熟悉的曲線，初中平面幾何對圓的基本性質(zhì)作了比較系統(tǒng)的研究，因此這節(jié)課的重點確定為用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法及其簡單應用。首先，由海上日出引出課題，讓學生感受到數(shù)學就在每個人的身邊，增強學生用數(shù)學的意識。然后，由判斷直線與圓的位置關(guān)系的例1開始，由淺入深，引導學生探求解題方法。為了培養(yǎng)學生的理性思維，我在例2中，設計了兩次改變弦長的問題，拓寬學習

9、思路，培養(yǎng)學生的分類討論的能力。在問題的設計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，并且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產(chǎn)生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成. 學好數(shù)學是為了讓數(shù)學更好地服務于生活。所以，我設置了一道探究題，使整節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、教師的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現(xiàn)以教師為主導，以學生為主體的指導思想。應用啟發(fā)式的教學方法把學生學習知識的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時鍛煉了思維．提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心。