2017專轉(zhuǎn)本高數(shù)核心知識點積分變換第2講.ppt

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1、積分變換 第 2講 習題一 1. 試證 : 若 f(t)滿足傅氏積分定理的條 件 , 則有 00 ( ) ( ) c o s d ( ) s i n d ,f t a t b t 1 ( ) ( ) c o s d , 1 ( ) ( ) sin d . af bf 其中 證 由第 8頁 1.6式 0 c o s ( )1( ) ( ) d dtf t f c o s ( ) c o s c o s sin sint t t 得 c os 1 ( ) c os ( ) 1 ( )

2、c os d 1 ( ) si n si n d f t d f f t t 即 a() 0 1 ( ) c o s ( )( ) ddftft 1 ( ) c o s d 1 ( ) s i s nd co s in t f t f b() 2. 證 : 當 f(t)為奇函數(shù) 00 0 ( ) ( ) c os d ( ) si n d , 1 ( ) d 0 1 ( ) d 2 () ( ) c os ( si ) si d n n f f f t a t b t a b

3、f 奇函數(shù) 偶函數(shù) 當 f(t)為偶函數(shù) 00 0 ( ) ( ) c os d ( ) si n d , 1 ( ) d 2 d 1 () ( ) c os ( ) c os ( ) si n d0 f t a b b f a f tt f 偶函數(shù) 奇函數(shù) 習題一 3. dc os s i n2 dc osdc os 2 dc osdc os)( 2 )( 2 )(, 1||0 1||1 )( 0 0 1 0 0 0 t t

4、tftf tf t t tf 題的結(jié)果有根據(jù)第 為偶函數(shù)則因為設(shè) 函數(shù)的圖形為 1 1 o t f(t) 1 可得 2 d)s i n c (d s i n ,0 1||0 1|| 1|| d c oss i n 00 4 2 0 xxx x x t t t t t 有時因此可知當 普阿松積分公式 | 0 0 2 2 0 0 2 2 2 22 22 2 , ,s i n,c os, , , r rr yx t e drer dr

5、 deI r dr d ryrx dy dxeI dteI 則積分元為 令作極坐標變換 證 :2的曲線形狀為函數(shù) te O t f(t) 如果 a是任一實數(shù) , 則顯然也有 bR bR s R b b sat sat at sesete btsbaa a sete tsats te j j j j )( )( )( dlimdd ,j,j, , dd dd,, d 222 22 2 還是令為虛數(shù)假設(shè)同 但含義不為復(fù)數(shù)時也成立這件事情即使在 則只要令因為 積分路線如圖所示 : 0lim ,0 , ,, 2 )( jyR R e

6、 BCDA BACD RA B C D 此二直線上確有 但在的積分是否趨近于到和從到從 要看的相等到的積分是否與從到從 時因此當一周的積分為零繞 A B C D b R R O 實軸 虛軸 此外 , 因 t b t t bt t t de ,0 de ,0 de 2 2 2 )( 和任意的復(fù)數(shù)而對于任意的正數(shù) 都有對于任意的正數(shù) 傅氏變換 1.傅氏變換的概念 我們知道 , 若函數(shù) f(t)滿足傅氏積分定理的條 件 , 則在 f(t)的連續(xù)點處 , 有 )9.1(de)( 2 1 )( )8.1(de)()( )7.1(dede)(

7、 2 1 )( j j jj t t t Ftf ttfF ftf 則 設(shè) (1.8)式叫做 f(t)的 傅氏變換式 , (1.9)式為 F()的 傅式逆變換式 , f(t)與 F()可相互轉(zhuǎn)換 ,可記為 F()=F f(t) 和 f(t)=F 1F() 還可以將 f(t)放在左端 , F()放在右端 , 中間用 雙向箭頭連接 : f(t) F() (1.8)式右端的積分運算 , 叫做 f(t)的傅氏變換 , 同樣 , (1.9)式右端的積分運算 , 叫做 F()的傅 氏逆變換 . F()稱作 f(t)的 象函

8、數(shù) , f(t)稱作 F()的 象原函數(shù) . 可以說象函數(shù) F()和象原函數(shù) f(t)構(gòu)成了一個 傅氏變換對 . ., )(.0, 0,e 0,0 )(1 一個函數(shù)是工程技術(shù)中常碰到的衰減函數(shù) 叫做指數(shù)這個其中其積分表達式 的傅氏變換及求函數(shù)例 tf t t tf t t f(t) 根據(jù) (1.8)式 , 有 22 0 )j( 0 j j j j 1 de dee de)()()( t t ttftfF t tt t F 這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換 . 根據(jù) (1.9)式 , 有

9、 0e 02/ 00 d s i nc os d s i nc os1 de j 2 1 de)( 2 1 )()( 0 22 0 22 j 22 j1 t t t tt tt FFtf t t t 因此 F 42 j 4 j j 2 2 2 2 2 edee dee de)()()( ,)8.1( ., .0,, e)(2 AtAA tA ttftfF A Atf t tt t t F 有式根據(jù) 的一個函數(shù)也是工程技術(shù)中常碰到函數(shù) 這個函數(shù)叫做鐘形脈沖

10、其中表達式 的傅氏變換及其積分求函數(shù)例 因此有 如果令 =1/2, 就有 4 2 2 ee AA t 22 22 e2e AA t 可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù) 求鐘形脈沖函數(shù)的積分表達式 , 根據(jù) (1.9)式 2 2 2 2 )(dc ose dc ose d)s i nj( c ose 2 1 de)( 2 1 )()( 0 4 0 4 4 j1 t t etf A t t A ttA FFtf 因此 F 2. 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 在物理和工程技術(shù)中 , 常常會碰到單

11、位脈沖函 數(shù) . 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) , 如在 電學中 , 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電 勢作用后產(chǎn)生的電流 ; 在力學中 , 要研究機械 系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等 . 研究此類 問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù) . 在原來電流為零的電路中 , 某一瞬時 (設(shè)為 t=0) 進入一單位電量的脈沖 , 現(xiàn)在要確定電路上的 電流 i(t). 以 q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù) , 則 .0,1 ;0,0 )( t t tq t tqttq t tqti t )()(lim d )(d)( 0 由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率 , 即 所以 ,

12、 當 t0時 , i(t)=0, 由于 q(t)是不連續(xù)的 , 從 而在普通導(dǎo)數(shù)意義下 , q(t)在這一點是不能求 導(dǎo)數(shù)的 . 如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù) , 則得 tt qtq i tt 1 lim )0()0( lim)0( 00 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個 函數(shù)能夠表示這樣的電流強度 . 為了確定這樣 的電流強度 , 引進一稱為狄拉克 (Dirac)的函數(shù) , 簡單記成 d-函數(shù) . 有了這種函數(shù) , 對于許多集 中于一點或一瞬時的量 , 例如點電荷 , 點熱源 , 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的 脈沖等 , 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣 ,

13、 以 統(tǒng)一的方式加以解決 . 對于在 (,)上定義的所有可積函數(shù)的集合 , 也可以構(gòu)成一線性空間 , 進一步地在上面定義 內(nèi)積 , 就可以構(gòu)成一歐氏空間 , 兩個函數(shù) f(t)和 g(t)的內(nèi)積可以定義為 : ttgtf d)()( 對于給定的 f(t), 我們希望找到一個函數(shù)和它 的內(nèi)積能夠正好等于 f(0). 如果 f(t)在 0處連續(xù) , 我們可以用一非常小的正數(shù) e0, 計算 f(t)在區(qū) 間 0,e上的平均值 , 則這個平均值近似等于 f(0): )0(0dt)( 1 0 ftf e e e 而實際上這相當于 f(t)和一稱作 de(t)的函數(shù)內(nèi) 積 : 其它0

14、 0/1 )( ee d e t t t de(t) 1/e e O 稱 de(t)的弱極限為 d-函數(shù) , 記為 d(t) )0(d)()(limd)()( )(lim)( 0 0 fttftttft tt e e e e dd dd 則有 其它0 0/1 )( ee d e t t de(t) 1/e e O 如 f(t)在 0點連續(xù) , 則在 0附近的非常小的一個 領(lǐng)域可以看作是常數(shù) c=f(0). 因此 , 任給一個在 (,)上積分值為 1的函數(shù) g(t) )0(d)(d)()( , )(lim)(, 1 )( 1d 1 ,1d)( 0 fctctttft t

15、t t gt t t gttg ee e e e dd e dd ee d ee 則非常小當 則令 則 圖例 : O t O t 工程上將 d-函數(shù)稱為 單位脈沖函數(shù) , 可將 d-函 數(shù)用一個長度等于 1的有向線段表示 , 這個線 段的長度表示 d-函數(shù)的積分值 , 稱為 d-函數(shù)的 強度 . t O d(t) 1 d-函數(shù)有性質(zhì) )(d)()( )0(d)()( 1d)( 00 tfttftt fttft tt d d d 及 1ede)( )()( 0 t tjtj tt tF d d F d

16、-函數(shù)的傅氏變換為 : t O d(t) 1 O F() 1 可見 , 單位脈沖函數(shù) d(t)與常數(shù) 1構(gòu)成了一傅氏 變換對 . 同理 , d(tt0)和 亦構(gòu)成了一個 傅氏變換對 . 0je t 在物理學和工程技術(shù)中 , 有許多重要函數(shù)不滿 足傅氏積分定理中的絕對可積條件 , 即不滿足 條件 ttf d|)(| 例如常數(shù) , 符號函數(shù) , 單位階躍函數(shù)以及正 , 余 弦函數(shù)等 , 然而它們的廣義傅氏變換也是存在 的 , 利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求 出它們的傅氏變換 . 所謂廣義是相對于古典意 義而言的 , 在廣義意義下 , 同樣可以說 , 象函數(shù) F()和

17、象原函數(shù) f(t)亦構(gòu)成一個傅氏變換對 . ).( 1 01 ;0,0 )(3 d j t t tu 的傅氏變換為 證明單位階躍函數(shù)例 O |F()| O t u(t) 0 j j j j 1 d s i n1 2 1 d s i n 2 1 d)( 2 1 d j2 1 d)( 2 1 d)( j 1 2 1 )()( ),( j 1 )(, d d d d t t e e e e Ftf F t t t t F 若事實上 0,

18、1 0,0 d s i n1 2 1 )( 0, 2 0,0 0, 2 d s i n , 2 d s i n 0 0 0 t tt tf t t t t 則因為 若 F()=2d()時 , 由傅氏逆變換可得 1de)(2 2 1de)( 2 1)( jj d ttFtf 所以 1和 2d()也構(gòu)成傅氏變換對 . 同理 , 如 F()=2d(0) 對也構(gòu)成了一個傅氏變換和即 )(2e ede)(2 2 1 de)( 2 1 )( 0 j jj 0 j 0 0 d d t tt t Ftf 由上面兩個函數(shù)的變換可得

19、)(2de )(2de 0 )j( j 0 d d t t t t 例 4 求正弦函數(shù) f(t)=sin0t的傅氏變換 )()(j )(2)(2 j2 1 dee j2 1 de j2 ee ds i ne)()( 00 00 j()j( j jj 0 j 00 00 dd dd t t tttfF tt t tt t F 如圖所示 : t sint 0 0 O |F()| 在頻譜分析中 , 傅氏變換 F()又稱為 f(t)的頻 譜函數(shù) , 而它的模 |F()|稱為 f(t)的振幅頻譜 (亦 簡稱為頻譜 )

20、. 由于 是連續(xù)變化的 , 我們稱之 為連續(xù)頻譜 , 對一個時間函數(shù)作傅氏變換 , 就 是求這個時間函數(shù)的頻譜 . 例 5 作如圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖 2 s i n c|)(| 2 s i n c 2 s i n 2 e j dede)()( 2 2 j jj 2 2 EF E EE tEttfF t tt 則振幅頻譜 f(t) 單個矩形脈沖的頻譜 函數(shù)為 : t E /2 /2 矩形脈沖的頻譜圖為 E |F()| 2 4 6 O 振幅函數(shù) |F()|是角頻率 的偶函數(shù) , 即 .|)(||)(| ds i n)(dc os)(|)(| ds i n)(jdc os)( de)()(, |)(||)(| 22 j FF tttftttfF tttftttf ttfF FF t 顯然有 所以 因為 我們定義 tttf tttf dc o s)( ds i n)( a r c t g)( 為 f(t)的相角頻譜 . 顯然 , 相角頻譜 ()是 的 奇函數(shù) , 即 ()=().