圖形教學(xué)中圖形的本質(zhì)特征初探

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1、圖形教學(xué)中圖形的本質(zhì)特征初探 摘要:圖形教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的本質(zhì)特征來進行課堂學(xué)習(xí)活動的設(shè)計，只有這樣才能促進學(xué)生在學(xué)習(xí)中更深刻地認識圖形，進而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。具體在"圓";這一單元的教學(xué)中應(yīng)把握圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點均勻性以及圓的曲線研究方法，并在此基礎(chǔ)上借助評價題重塑"圓";的教學(xué)。 關(guān)鍵詞:圖形教學(xué);圓;整體把握;空間觀念 圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。無疑，圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征進行課堂學(xué)習(xí)活動的設(shè)計，只有這樣才能促進學(xué)生在學(xué)習(xí)中更深刻地認識圖形，進而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。下面僅以小學(xué)數(shù)學(xué)教材中六年級"

2、圓";這個單元為例，探討如何在單元教學(xué)中重新認識和整體把握圖形的核心本質(zhì)特征，如何通過評價倒逼和撬動圖形教學(xué)的過程性思考，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的高階思維水平。 一、重識：把握圓的本質(zhì)特征 在整體審視單元教學(xué)的前期，教師須思考一個核心問題：在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓，最重要的是什么？筆者認為，應(yīng)該是圓的三個特性和一種研究方法。 1.圓的普遍存在性 在現(xiàn)實世界中，從橋梁、剪紙、中外建筑、著名標(biāo)志設(shè)計到天體、粒子運動等等，圓在生活中的現(xiàn)實模型幾乎是無處不在的。相比其他平面圖形而言，圓的現(xiàn)實模型是所有平面圖形中最普遍存在的一種。而作為思維對象的圓，其思維

3、特征體現(xiàn)為高度與深度的抽象概括，只存在于數(shù)學(xué)世界里，在現(xiàn)實世界中找不到。 2.圓的廣泛對稱性 其一，圓是軸對稱圖形，并且對稱軸有無數(shù)條，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。其二，圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，任意角度旋轉(zhuǎn)并映射到自身上，即旋轉(zhuǎn)任何一個角度都與原來的圖形完全重合，圓具有任意的旋轉(zhuǎn)不變性。圓的這兩種對稱性是廣泛存在的，從這種角度來看，圓在所有平面圖形中是最"和諧";的一種圖形。 3.圓的各點均勻性 圓的各點均勻性是指圓在每一點處的向心程度（即彎曲程度）都一樣，圓上的每一個點都是"平等";的。從圓上任意一點到圓心的距離都相等（即"一中同長";），

4、圓周上各處的向心（彎曲）程度相同。 4.圓的曲線研究方法 圓是學(xué)生在小學(xué)階段數(shù)學(xué)中第一次認識的曲邊平面圖形，用直線逼近曲線、用有限逼近無限、用有限線段來逼近曲線，這種以直代曲、化無窮為有限，用逼近極限（如割圓術(shù)）的方法進行的研究貫穿于整個圓的教學(xué)。而這種極限思想的滲透也是學(xué)生在學(xué)習(xí)中最難理解的。如果說圓心、半徑、直徑等是圓的"外貌"的話，那么圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點均勻性和以直代曲的研究方法就是圓的內(nèi)在"性格";。在實際教學(xué)中，要特別重視讓學(xué)生感受圓作為曲邊圖形的這種內(nèi)在"性格";特征，在學(xué)習(xí)中逐步積累研究圓這種曲邊圖形的方法和經(jīng)驗。在圓的整個單元的后續(xù)學(xué)習(xí)中，

5、學(xué)生還要學(xué)習(xí)圓的周長、圓的面積等內(nèi)容，認識了圓的普遍存在性、廣泛對稱性、各點均勻性和以直代曲這些本質(zhì)特征和研究方法，能夠直接影響和決定圓的周長和面積的推導(dǎo)過程、推導(dǎo)方法，以及解決問題中的實際應(yīng)用。圓的周長和圓的面積的學(xué)習(xí)要特別關(guān)注周長、面積計算公式等的推導(dǎo)過程及過程性的思考。需要說明的是，關(guān)注圓的周長、面積公式的推導(dǎo)過程，不是為了刻意追求過程，而是為了啟發(fā)學(xué)生在推導(dǎo)過程中思考圖形的轉(zhuǎn)化、位置對應(yīng)關(guān)系的變化，這些思考有助于對圓的本質(zhì)特征的再關(guān)注、再認識，并以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。 二、重塑：評價撬動圓的學(xué)習(xí)的過程性思考 為幫助學(xué)生深刻認識圓的上述本質(zhì)特征和研究方

6、法，通過評價來撬動課堂學(xué)習(xí)的過程性思考是非常重要的一條途徑。通過評價題目的設(shè)計來考查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，倒逼課堂教學(xué)行為發(fā)生根本性轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生對圓的學(xué)習(xí)和研究達到最本質(zhì)、最核心的認識與理解是非常必要的。下面舉例說明。比如圖7是兩塊圓形銅鏡邊緣的殘片，對比這兩塊銅鏡殘片，哪塊銅鏡的面積大呢？這是對圓的各點均勻性的測查，學(xué)生可以借助對圓的特征的理解，通過感性思考---空間想象還原圓的整體，也可以通過理性思考--或看弧度，圓越大，彎曲的程度就平緩一些，圓越小，彎曲的程度就越大，或延長外圓，找到半徑，直接判斷半徑的長短來解決。這樣的評價題目是在問題解決的情境中呈現(xiàn)，測評的過程既是調(diào)動學(xué)生知識經(jīng)驗進行思考的

7、過程，也是學(xué)生對圓的特征再思考、再學(xué)習(xí)的過程。如果能將這種思考外化在課堂上，讓不同學(xué)生豐富的思維互相碰撞，將會產(chǎn)生更深入的學(xué)習(xí)效果。比如請從圖8大圓中描出一個或幾個小圓，使描出的小圓和大圓組成的新圖形的對稱軸的數(shù)量分別滿足"有無數(shù)條對稱軸";"只有一條對稱軸";"只有兩條對稱軸";"只有三條對稱軸";，分別應(yīng)該怎樣描？這是對圓的廣泛對稱性的測查，學(xué)生需要思考圓的軸對稱的特性，同時在思考多個大小不同的圓組合在一起時對稱軸的數(shù)量發(fā)生變化的過程中對圓的對稱性產(chǎn)生新的認識。比如圖9中的圓、正方形和等邊三角形，標(biāo)出中心點A，想象將下面各個圖形繞著中心點A轉(zhuǎn)動，每個圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度與原圖形重合？每個圖形

8、旋轉(zhuǎn)一周的過程中與原圖形重合了幾次？這是對圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的測查。學(xué)生通過想象與操作會發(fā)現(xiàn)：正方形至少旋轉(zhuǎn)90°與原圖形重合，等邊三角形至少旋轉(zhuǎn)120°與原圖形重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度都可以與原圖形重合；正方形從起始位置旋轉(zhuǎn)一周會與原圖形重合4次，等邊三角形旋轉(zhuǎn)一周能與原圖形重合3次，而圓旋轉(zhuǎn)一周可與原圖形重合無數(shù)次。對圓的這種廣泛的旋轉(zhuǎn)對稱性的認識需要學(xué)生在平時的課堂中不斷經(jīng)歷這樣操作、想象的學(xué)習(xí)活動，從而積累圓的研究的活動經(jīng)驗，在比較中深刻認識圓的旋轉(zhuǎn)對稱性是區(qū)別于其他圖形的獨有特征。將這幾塊硬紙板分別沿一條直線滾一滾，描出滾動過程中O點留下的痕跡，下面（）痕跡是圓形紙板滾

9、動過程中留下的。這是對圓的"各點均勻性";和"一中同長";核心本質(zhì)的測查。需要學(xué)生想象各個不同圖形中心在運動中高低的不同變化，重點認識和理解圓心的運動痕跡為什么是直線，進而體會圓區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征---圓心到滾動面的距離即圓的半徑，同一個圓半徑是相等的，圓心在運動過程中距離滾動面的高度一直等于半徑，保持不變，所以圓心的運動痕跡是一條直線，這也從數(shù)學(xué)的角度解釋了"車輪為什么是圓的";其中的道理。我們在日常課堂教學(xué)中要讓學(xué)生用硬紙板做各種不同形狀的卡邊，描出中心點O，扎出小孔，固定直尺，滾動圖形，想象并描畫中心點的運動痕跡，在觀察、想象、操作、思考、比較中體會各個平面圖形的不同特征，體會

10、圓區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征。再比如在自制的陀螺上點一個黑點，陀螺在旋轉(zhuǎn)時，黑點可形成一個圓形的痕跡。淘氣也自制了幾個陀螺，并點上了黑點（圖13，ｘ標(biāo)出的是插入火柴棍的地方）。以下哪個陀螺在旋轉(zhuǎn)時黑點可形成一個圓形的痕跡？這個題目也是對圓"一中同長";本質(zhì)特征的測查。我們應(yīng)在日常的課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)這樣的機會，引導(dǎo)學(xué)生按照如上的方式做一做，注意觀察黑點在旋轉(zhuǎn)時的痕跡，讓學(xué)生在動態(tài)操作過程中感悟圓的定點、定長，同時展開數(shù)學(xué)的想象，體會只要給一個定點，那么以一定長度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線就是圓，即圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。再比如用一張正方形紙折疊三次后，沿虛線剪出一個等腰三角形

11、，打開后的圖形接近圓。用一張同樣大的正方形紙這樣折疊四次后，沿虛線剪出一個等腰三角形，打開后的圖形也接近圓。上述哪一種方式剪出的圖形更接近圓呢？這個題目是對圓的曲線研究方法的測查，讓學(xué)生感悟正多邊形邊的條數(shù)越多，圖形更接近圓，體會正多邊形逼近于圓的極限思想。此外，還可以根據(jù)圓的面積推導(dǎo)過程，設(shè)計進階性的評價題目。比如將一個圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份以后剪開，用它們可以拼成一個近似的平行四邊形（圖16）。已知這個平行四邊形的周長是16.56厘米，這個圓形紙片的面積是（）平方厘米。這是對圓的面積推導(dǎo)過程中的深度思考的測查。需要學(xué)生深刻理解圓的面積在推導(dǎo)過程中的圖形轉(zhuǎn)化過程和位置對應(yīng)關(guān)系，根

12、據(jù)平行四邊形相鄰兩條邊的長度分別對應(yīng)圓周長的一半和半徑，反算出圓的半徑，進而計算圓的面積。這樣的評價題目要求教師在教學(xué)過程中將圓等分的份數(shù)盡可能多，同時展開數(shù)學(xué)想象，逐漸將學(xué)生的注意力由"動手";轉(zhuǎn)向"動腦";，啟發(fā)學(xué)生深入思考：為什么要盡可能多地等分？在圖形轉(zhuǎn)化過程中什么變了？什么沒變？如果學(xué)生能夠體會到在這個過程中圓的周長增加、面積守恒、與轉(zhuǎn)化后的規(guī)則圖形形狀趨近，那么學(xué)生對圓的曲線研究方法、極限思想的理解才算真正達到深入?？傊?，只有整體而準(zhǔn)確地把握了圓的學(xué)習(xí)最重要的本質(zhì)特征，并在此基礎(chǔ)上，借助評價題目設(shè)計撬動課堂教學(xué)中圓的學(xué)習(xí)的過程性思考，帶著這樣的視角和思想去思考并實踐教學(xué)，學(xué)生對圓的學(xué)習(xí)、對圖形的理解才能達到一個新的高度、深度和階次，學(xué)生對圖形知識本質(zhì)的認識才能真正地由"學(xué)過";走向"學(xué)會";。