圖形教學(xué)中圖形的本質(zhì)特征初探

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1、圖形教學(xué)中圖形的本質(zhì)特征初探 摘要:圖形教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的本質(zhì)特征來進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，只有這樣才能促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中更深刻地認(rèn)識(shí)圖形，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。具體在"圓";這一單元的教學(xué)中應(yīng)把握?qǐng)A的普遍存在性、廣泛對(duì)稱性、各點(diǎn)均勻性以及圓的曲線研究方法，并在此基礎(chǔ)上借助評(píng)價(jià)題重塑"圓";的教學(xué)。 關(guān)鍵詞:圖形教學(xué);圓;整體把握;空間觀念 圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。無疑，圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，只有這樣才能促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中更深刻地認(rèn)識(shí)圖形，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。下面僅以小學(xué)數(shù)學(xué)教材中六年級(jí)"

2、圓";這個(gè)單元為例，探討如何在單元教學(xué)中重新認(rèn)識(shí)和整體把握?qǐng)D形的核心本質(zhì)特征，如何通過評(píng)價(jià)倒逼和撬動(dòng)圖形教學(xué)的過程性思考，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的高階思維水平。 一、重識(shí)：把握?qǐng)A的本質(zhì)特征 在整體審視單元教學(xué)的前期，教師須思考一個(gè)核心問題：在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓，最重要的是什么？筆者認(rèn)為，應(yīng)該是圓的三個(gè)特性和一種研究方法。 1.圓的普遍存在性 在現(xiàn)實(shí)世界中，從橋梁、剪紙、中外建筑、著名標(biāo)志設(shè)計(jì)到天體、粒子運(yùn)動(dòng)等等，圓在生活中的現(xiàn)實(shí)模型幾乎是無處不在的。相比其他平面圖形而言，圓的現(xiàn)實(shí)模型是所有平面圖形中最普遍存在的一種。而作為思維對(duì)象的圓，其思維

3、特征體現(xiàn)為高度與深度的抽象概括，只存在于數(shù)學(xué)世界里，在現(xiàn)實(shí)世界中找不到。 2.圓的廣泛對(duì)稱性 其一，圓是軸對(duì)稱圖形，并且對(duì)稱軸有無數(shù)條，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸。其二，圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，任意角度旋轉(zhuǎn)并映射到自身上，即旋轉(zhuǎn)任何一個(gè)角度都與原來的圖形完全重合，圓具有任意的旋轉(zhuǎn)不變性。圓的這兩種對(duì)稱性是廣泛存在的，從這種角度來看，圓在所有平面圖形中是最"和諧";的一種圖形。 3.圓的各點(diǎn)均勻性 圓的各點(diǎn)均勻性是指圓在每一點(diǎn)處的向心程度（即彎曲程度）都一樣，圓上的每一個(gè)點(diǎn)都是"平等";的。從圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等（即"一中同長(zhǎng)";），

4、圓周上各處的向心（彎曲）程度相同。 4.圓的曲線研究方法 圓是學(xué)生在小學(xué)階段數(shù)學(xué)中第一次認(rèn)識(shí)的曲邊平面圖形，用直線逼近曲線、用有限逼近無限、用有限線段來逼近曲線，這種以直代曲、化無窮為有限，用逼近極限（如割圓術(shù)）的方法進(jìn)行的研究貫穿于整個(gè)圓的教學(xué)。而這種極限思想的滲透也是學(xué)生在學(xué)習(xí)中最難理解的。如果說圓心、半徑、直徑等是圓的"外貌"的話，那么圓的普遍存在性、廣泛對(duì)稱性、各點(diǎn)均勻性和以直代曲的研究方法就是圓的內(nèi)在"性格";。在實(shí)際教學(xué)中，要特別重視讓學(xué)生感受圓作為曲邊圖形的這種內(nèi)在"性格";特征，在學(xué)習(xí)中逐步積累研究圓這種曲邊圖形的方法和經(jīng)驗(yàn)。在圓的整個(gè)單元的后續(xù)學(xué)習(xí)中，

5、學(xué)生還要學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積等內(nèi)容，認(rèn)識(shí)了圓的普遍存在性、廣泛對(duì)稱性、各點(diǎn)均勻性和以直代曲這些本質(zhì)特征和研究方法，能夠直接影響和決定圓的周長(zhǎng)和面積的推導(dǎo)過程、推導(dǎo)方法，以及解決問題中的實(shí)際應(yīng)用。圓的周長(zhǎng)和圓的面積的學(xué)習(xí)要特別關(guān)注周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式等的推導(dǎo)過程及過程性的思考。需要說明的是，關(guān)注圓的周長(zhǎng)、面積公式的推導(dǎo)過程，不是為了刻意追求過程，而是為了啟發(fā)學(xué)生在推導(dǎo)過程中思考圖形的轉(zhuǎn)化、位置對(duì)應(yīng)關(guān)系的變化，這些思考有助于對(duì)圓的本質(zhì)特征的再關(guān)注、再認(rèn)識(shí)，并以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念和高階思維。 二、重塑：評(píng)價(jià)撬動(dòng)圓的學(xué)習(xí)的過程性思考 為幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)圓的上述本質(zhì)特征和研究方

6、法，通過評(píng)價(jià)來撬動(dòng)課堂學(xué)習(xí)的過程性思考是非常重要的一條途徑。通過評(píng)價(jià)題目的設(shè)計(jì)來考查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，倒逼課堂教學(xué)行為發(fā)生根本性轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生對(duì)圓的學(xué)習(xí)和研究達(dá)到最本質(zhì)、最核心的認(rèn)識(shí)與理解是非常必要的。下面舉例說明。比如圖7是兩塊圓形銅鏡邊緣的殘片，對(duì)比這兩塊銅鏡殘片，哪塊銅鏡的面積大呢？這是對(duì)圓的各點(diǎn)均勻性的測(cè)查，學(xué)生可以借助對(duì)圓的特征的理解，通過感性思考---空間想象還原圓的整體，也可以通過理性思考--或看弧度，圓越大，彎曲的程度就平緩一些，圓越小，彎曲的程度就越大，或延長(zhǎng)外圓，找到半徑，直接判斷半徑的長(zhǎng)短來解決。這樣的評(píng)價(jià)題目是在問題解決的情境中呈現(xiàn)，測(cè)評(píng)的過程既是調(diào)動(dòng)學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考的

7、過程，也是學(xué)生對(duì)圓的特征再思考、再學(xué)習(xí)的過程。如果能將這種思考外化在課堂上，讓不同學(xué)生豐富的思維互相碰撞，將會(huì)產(chǎn)生更深入的學(xué)習(xí)效果。比如請(qǐng)從圖8大圓中描出一個(gè)或幾個(gè)小圓，使描出的小圓和大圓組成的新圖形的對(duì)稱軸的數(shù)量分別滿足"有無數(shù)條對(duì)稱軸";"只有一條對(duì)稱軸";"只有兩條對(duì)稱軸";"只有三條對(duì)稱軸";，分別應(yīng)該怎樣描？這是對(duì)圓的廣泛對(duì)稱性的測(cè)查，學(xué)生需要思考圓的軸對(duì)稱的特性，同時(shí)在思考多個(gè)大小不同的圓組合在一起時(shí)對(duì)稱軸的數(shù)量發(fā)生變化的過程中對(duì)圓的對(duì)稱性產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。比如圖9中的圓、正方形和等邊三角形，標(biāo)出中心點(diǎn)A，想象將下面各個(gè)圖形繞著中心點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度與原圖形重合？每個(gè)圖形

8、旋轉(zhuǎn)一周的過程中與原圖形重合了幾次？這是對(duì)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的測(cè)查。學(xué)生通過想象與操作會(huì)發(fā)現(xiàn)：正方形至少旋轉(zhuǎn)90°與原圖形重合，等邊三角形至少旋轉(zhuǎn)120°與原圖形重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都可以與原圖形重合；正方形從起始位置旋轉(zhuǎn)一周會(huì)與原圖形重合4次，等邊三角形旋轉(zhuǎn)一周能與原圖形重合3次，而圓旋轉(zhuǎn)一周可與原圖形重合無數(shù)次。對(duì)圓的這種廣泛的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)需要學(xué)生在平時(shí)的課堂中不斷經(jīng)歷這樣操作、想象的學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而積累圓的研究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在比較中深刻認(rèn)識(shí)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性是區(qū)別于其他圖形的獨(dú)有特征。將這幾塊硬紙板分別沿一條直線滾一滾，描出滾動(dòng)過程中O點(diǎn)留下的痕跡，下面（）痕跡是圓形紙板滾

9、動(dòng)過程中留下的。這是對(duì)圓的"各點(diǎn)均勻性";和"一中同長(zhǎng)";核心本質(zhì)的測(cè)查。需要學(xué)生想象各個(gè)不同圖形中心在運(yùn)動(dòng)中高低的不同變化，重點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解圓心的運(yùn)動(dòng)痕跡為什么是直線，進(jìn)而體會(huì)圓區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征---圓心到滾動(dòng)面的距離即圓的半徑，同一個(gè)圓半徑是相等的，圓心在運(yùn)動(dòng)過程中距離滾動(dòng)面的高度一直等于半徑，保持不變，所以圓心的運(yùn)動(dòng)痕跡是一條直線，這也從數(shù)學(xué)的角度解釋了"車輪為什么是圓的";其中的道理。我們?cè)谌粘Ｕn堂教學(xué)中要讓學(xué)生用硬紙板做各種不同形狀的卡邊，描出中心點(diǎn)O，扎出小孔，固定直尺，滾動(dòng)圖形，想象并描畫中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)痕跡，在觀察、想象、操作、思考、比較中體會(huì)各個(gè)平面圖形的不同特征，體會(huì)

10、圓區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征。再比如在自制的陀螺上點(diǎn)一個(gè)黑點(diǎn)，陀螺在旋轉(zhuǎn)時(shí)，黑點(diǎn)可形成一個(gè)圓形的痕跡。淘氣也自制了幾個(gè)陀螺，并點(diǎn)上了黑點(diǎn)（圖13，ｘ標(biāo)出的是插入火柴棍的地方）。以下哪個(gè)陀螺在旋轉(zhuǎn)時(shí)黑點(diǎn)可形成一個(gè)圓形的痕跡？這個(gè)題目也是對(duì)圓"一中同長(zhǎng)";本質(zhì)特征的測(cè)查。我們應(yīng)在日常的課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)這樣的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生按照如上的方式做一做，注意觀察黑點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)時(shí)的痕跡，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)操作過程中感悟圓的定點(diǎn)、定長(zhǎng)，同時(shí)展開數(shù)學(xué)的想象，體會(huì)只要給一個(gè)定點(diǎn)，那么以一定長(zhǎng)度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線就是圓，即圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合。再比如用一張正方形紙折疊三次后，沿虛線剪出一個(gè)等腰三角形

11、，打開后的圖形接近圓。用一張同樣大的正方形紙這樣折疊四次后，沿虛線剪出一個(gè)等腰三角形，打開后的圖形也接近圓。上述哪一種方式剪出的圖形更接近圓呢？這個(gè)題目是對(duì)圓的曲線研究方法的測(cè)查，讓學(xué)生感悟正多邊形邊的條數(shù)越多，圖形更接近圓，體會(huì)正多邊形逼近于圓的極限思想。此外，還可以根據(jù)圓的面積推導(dǎo)過程，設(shè)計(jì)進(jìn)階性的評(píng)價(jià)題目。比如將一個(gè)圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份以后剪開，用它們可以拼成一個(gè)近似的平行四邊形（圖16）。已知這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)是16.56厘米，這個(gè)圓形紙片的面積是（）平方厘米。這是對(duì)圓的面積推導(dǎo)過程中的深度思考的測(cè)查。需要學(xué)生深刻理解圓的面積在推導(dǎo)過程中的圖形轉(zhuǎn)化過程和位置對(duì)應(yīng)關(guān)系，根

12、據(jù)平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度分別對(duì)應(yīng)圓周長(zhǎng)的一半和半徑，反算出圓的半徑，進(jìn)而計(jì)算圓的面積。這樣的評(píng)價(jià)題目要求教師在教學(xué)過程中將圓等分的份數(shù)盡可能多，同時(shí)展開數(shù)學(xué)想象，逐漸將學(xué)生的注意力由"動(dòng)手";轉(zhuǎn)向"動(dòng)腦";，啟發(fā)學(xué)生深入思考：為什么要盡可能多地等分？在圖形轉(zhuǎn)化過程中什么變了？什么沒變？如果學(xué)生能夠體會(huì)到在這個(gè)過程中圓的周長(zhǎng)增加、面積守恒、與轉(zhuǎn)化后的規(guī)則圖形形狀趨近，那么學(xué)生對(duì)圓的曲線研究方法、極限思想的理解才算真正達(dá)到深入?？傊挥姓w而準(zhǔn)確地把握了圓的學(xué)習(xí)最重要的本質(zhì)特征，并在此基礎(chǔ)上，借助評(píng)價(jià)題目設(shè)計(jì)撬動(dòng)課堂教學(xué)中圓的學(xué)習(xí)的過程性思考，帶著這樣的視角和思想去思考并實(shí)踐教學(xué)，學(xué)生對(duì)圓的學(xué)習(xí)、對(duì)圖形的理解才能達(dá)到一個(gè)新的高度、深度和階次，學(xué)生對(duì)圖形知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)才能真正地由"學(xué)過";走向"學(xué)會(huì)";。