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1、二 、 微 分 運(yùn) 算 法 則三 、 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用四 、 微 分 在 估 計(jì) 誤 差 中 的 應(yīng) 用第 五 節(jié)一 、 微 分 的 概 念 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 函 數(shù) 的 微 分 第 二 章 一 、 微 分 的 概 念 引 例 : 一 塊 正 方 形 金 屬 薄 片 受 溫 度 變 化 的 影 響 ,問 此 薄 片 面 積 改 變 了 多 少 ? 設(shè) 薄 片 邊 長 為 x , 面 積 為 A , 則 ,2xA0 xx面 積 的 增 量 為220 )( xxxA 20 )(2 xxx xx 0 20 xA xx 0 2)( x關(guān) 于 x
2、的線 性 主 部 高 階 無 窮 小0 x 時(shí) 為故 xxA 02 稱 為 函 數(shù) 在 的 微 分0 x 當(dāng) x 在 0 x 取得 增 量 x 時(shí) ,0 x 變 到 ,0 xx 邊 長 由 其 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 的 微 分 ,定 義 : 若 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) 的 增 量 可 表 示 為0 x)()( 00 xfxxfy ( A 為 不 依 賴 于 x 的 常 數(shù) )則 稱 函 數(shù) )(xfy 而 稱 為xA 在)(xf0 x點(diǎn) 記 作 yd ,df或 即xAy d定 理 : 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) 可 微 的 充 要 條 件 是0 x處 可 導(dǎo) ，在
3、 點(diǎn) 0)( xxfy ,)( 0 xfA 且 )( xoxA 即xxfy )(d 0在 點(diǎn) 0 x 可 微 , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 : 函 數(shù)證 : “必 要 性 ” 已 知 )(xfy 在 點(diǎn) 可 微 ,0 x 則 )()( 00 xfxxfy )(limlim 00 xxoAxy xx A故 Axf )( 0 )( xoxA )(xfy 在 點(diǎn) 的 可 導(dǎo) ,0 x 且)(xfy 在 點(diǎn) 可 微 的 充 要 條 件 是0 x)(xfy 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) ,0 x 且 ,)( 0 xfA 即xxfy )(d 0 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回
4、結(jié) 束 定 理 : 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) 可 微 的 充 要 條 件 是0 x)(xfy 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) ,0 x 且 ,)( 0 xfA 即xxfy )(d 0“充 分 性 ” 已 知 )(lim 00 xfxyx )(xfy )( 0 xfxy )0lim( 0 xxxxfy )( 0故 )()( 0 xoxxf 線 性 主 部 即 xxfy )(d 0 在 點(diǎn) 的 可 導(dǎo) ,0 x )0)( 0 時(shí) xf 則 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 說 明 : 0)( 0 xf 時(shí) , xxfy )(d 0 )()( 0 xoxxfy yyx dlim0 xxf yx
5、)(lim 00 xyxf x 00 lim)(1 1所 以 0 x 時(shí) y yd很 小 時(shí) , 有 近 似 公 式 xyy d 與 是 等 價(jià) 無 窮 小 ,當(dāng) 故 當(dāng) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 微 分 的 幾 何 意 義 xxfy )(d 0 xx 0 xyo )(xfy 0 x yydx tan當(dāng) 很 小 時(shí) ,x yy d時(shí) ，當(dāng) xy 則 有 xxfy d)(d 從 而 )(dd xfxy 導(dǎo) 數(shù) 也 叫 作 微 商 切 線 縱 坐 標(biāo) 的 增 量自 變 量 的 微 分 ,為稱 x 記 作 xdxy xd記 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 如
6、 , ,3xy yd 02.0d 2xx 23x xd 02.0d 2xx 24.0,arctan xy yd xx d1 1 2基 本 初 等 函 數(shù) 的 微 分 公 式 (見 P116表 )又 如 , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 微 分 運(yùn) 算 法 則設(shè) u(x) , v(x) 均 可 微 , 則)(d.1 vu )(d.2 uC (C 為 常 數(shù) )(d.3 vu )0()(d.4 vvu分 別 可 微 ,)(,)( xuufy )( xfy 的 微 分 為xyy x dd xxuf d)()( uduufy d)(d 微 分 形 式 不 變5. 復(fù) 合 函
7、數(shù) 的 微 分則 復(fù) 合 函 數(shù) vu dd uCdvuuv dd 2 dd v vuuv 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. ,)1(ln 2xey 求 .dy解 : 21 1d xey )1(d 2xe 21 1 xe )(d 2x xxee xx d21 1 22 xeex xx d12 22 2xe 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2. 設(shè) ,0)cos(sin yxxy 求 .dy解 : 利 用 一 階 微 分 形 式 不 變 性 , 有 0)d(cos()sin(d yxxy xxyyx dcosdsin )sin( yx 0)d(d yx
8、xy d d )sin(cos yxxy xyx sin)sin( 例 3. 在 下 列 括 號 中 填 入 適 當(dāng) 的 函 數(shù) 使 等 式 成 立 :xxd) d()1( tt dcos) d()2( 221 x t sin1說 明 : 上 述 微 分 的 反 問 題 是 不 定 積 分 要 研 究 的 內(nèi) 容 .C C 注 意 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 注 意 : 數(shù) 學(xué) 中 的 反 問 題 往 往 出 現(xiàn) 多 值 性 . )(22 4 4)( 2 2)(4sin 22 )sin( k2 224數(shù) 學(xué) 中 的 反 問 題 往 往 出 現(xiàn) 多 值 性 , 例 如 注 意 目 錄
9、 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 三 、 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用)()( 0 xoxxfy 當(dāng) x 很 小 時(shí) , )()( 00 xfxxfy xxf )( 0 xxfxfxxf )()()( 000 xxx 0令使 用 原 則 : ;)(,)()1 00 好 算xfxf .)2 0 靠 近與 xx )()()( 000 xxxfxfxf 得 近 似 等 式 : 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 特 別 當(dāng) xx ,00 很 小 時(shí) , xffxf )0()0()( 常 用 近 似 公 式 : x1 )1()1( x 很 小 )x( xxx x1xsin)2
10、( xe)3(xtan)4( )1ln()5( x證 明 : 令 )1()( xxf 得 ,1)0( f )0(f,很 小 時(shí)當(dāng) x xx 1)1( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 180d x 29sin 的 近 似 值 .解 : 設(shè) ,sin)( xxf 取 300 x ,6 29x則 1802918029sin 6sin 6cos21 23 )0175.0(485.0 )180( 例 4. 求 29sin 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 4848.029sin 5 245 的 近 似 值 .解 : 24335 5 245 51)2243( 51)24321
11、(3 3 )2432511( 0048.3例 5. 計(jì) 算 xx 1)1( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 6. 有 一 批 半 徑 為 1cm 的 球 , 為 了 提 高 球 面 的 光 潔 度 ,解 : 已 知 球 體 體 積 為 334 RV 鍍 銅 體 積 為 V 在 01.0,1 RR 時(shí) 體 積 的 增 量 ,VVV d 01.01 RR RR 24 01.01 RR)(cm13.0 3因 此 每 只 球 需 用 銅 約 為 16.113.09.8 ( g )用 銅 多 少 克 . )cmg9.8:( 3銅 的 密 度 估 計(jì) 一 下 , 每 只 球 需要 鍍
12、上 一 層 銅 , 厚 度 定 為 0.01cm , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 四 、 微 分 在 估 計(jì) 誤 差 中 的 應(yīng) 用某 量 的 精 確 值 為 A , 其 近 似 值 為 a ,aA 稱 為 a 的 絕 對 誤 差aaA 稱 為 a 的 相 對 誤 差若 AaA A 稱 為 測 量 A 的 絕 對 誤 差 限aA 稱 為 測 量 A 的 相 對 誤 差 限 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 誤 差 傳 遞 公 式 : 已 知 測 量 誤 差 限 為 ,x按 公 式 )(xfy 計(jì) 算 y 值 時(shí) 的 誤 差y yd xxf )( xxf )(故
13、 y 的 絕 對 誤 差 限 約 為 xy xf )(相 對 誤 差 限 約 為 xy xf xfy )( )(若 直 接 測 量 某 量 得 x , 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 7. 設(shè) 測 得 圓 鋼 截 面 的 直 徑 mm,0.60D 測 量 D 的 絕 對 誤 差 限 ,mm05.0D 欲 利 用 公 式 24 DA 圓 鋼 截 面 積 ,解 : 計(jì) 算 A 的 絕 對 誤 差 限 約 為DA A DD 2 05.00.602 715.4 A 的 相 對 誤 差 限 約 為242 DDA DA DD2 0.6005.02 %17.0試 估 計(jì) 面 積 的 誤
14、差 . 計(jì) 算 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 (mm) 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 微 分 概 念 微 分 的 定 義 及 幾 何 意 義 可 導(dǎo) 可 微2. 微 分 運(yùn) 算 法 則微 分 形 式 不 變 性 : uufuf d)()(d ( u 是 自 變 量 或 中 間 變 量 )3. 微 分 的 應(yīng) 用 近 似 計(jì) 算估 計(jì) 誤 差 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1. 設(shè) 函 數(shù) )(xfy 的 圖 形 如 下 , 試 在 圖 中 標(biāo) 出 的 點(diǎn)0 x 處 的 yy ,d 及 ,dyy 并 說 明 其 正 負(fù) .yd 0 xx 00 x xy
15、o y 00yy d 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. xx ee d )d(arctan xe 21 1 xd xxee 21 xxsindtand.3 x3sec xxd2sin) (d.4 Cx 2cos21 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 5. 設(shè) )(xyy 由 方 程 063sin33 yxyx 確 定 ,.d 0 xy解 : 方 程 兩 邊 求 微 分 , 得xx d3 2當(dāng) 0 x 時(shí) ,0y 由 上 式 得 xy x d21d 0 求 yy d3 2 xxd3cos3 0d6 y6. 設(shè) ,0a 且 ,nab 則n n ba 1 nan b
16、a 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 業(yè)P123-124 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 10(1) ; 習(xí) 題 課 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1. 已 知 ,)1sinarcsin( 2 xy 求 .d y解 ： 因 為 y所 以 yd備 用 題 22 )1(sin1 1 x x1sin2 x1cos )1( 2xxy d xxxx d2sin)1(sin1 1 222 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 方 程 兩 邊 求 微 分 , 得已 知 ,yxexy 求 .d y解 ： xyyx dd yd2. )d(d yxe yx xex ey yx yx d 習(xí) 題 課 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束
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