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1、 xyo )(xfy a b1 2Cxoy )(xfy A Ba b1 2C D xoy )( )(tfY tFX)( 1F )( 2F)(aFA )(bF BC DRolle定 理Lagrange中 值 定 理 Cauchy中 值 定 理 型型 及 00 ),1,0,0( 00 型 xyoa b 最大值最小值 極大值 極小值拐點凹 的 凸 的 單 增單 減)(xfy 單調(diào)性 單 調(diào) 性 的 判 別 法 xyo )( xfy a bA B0)( xf 單 調(diào) 增 加 xyo )(xfy 0)( xfa bBA 單 調(diào) 減 少單 調(diào) 區(qū) 間 的 求 法函數(shù)極值 函 數(shù) 極 值 的 定 義函 數(shù)
2、極 值 的 求 法 o xy 0 x o xy 0 xxyo xyo0 x 0 x xyo xyo0 x 0 x 函數(shù)最值 最 值 存 在 判 別 法 o xy o xyba o xya b a b函 數(shù) 最 值 的 求 法曲線 凹凸性 曲 線 凹 凸 的 定 義曲 線 凹 凸 的 判 定曲 線 的 拐 點 及 其 求 法 xyo )( xfy 1x 2x xyo 1x 2x)( xfy xyo )(xfy a bA B遞 增)( xf 0yxyo )(xfya bBA 遞 減)(xf 0y 0)( 0 xf xyo A B C0 x 0y0 x ,( )0)( xf 0)( xf 型型 及
3、00 ),1,0,0( 00 型 1 2 1 2( ) ( ) . ( )2 2f x f x x xf 證 明 多 項 式 在 上 不 可 能 有 兩 個 零 點 .3( ) 3f x x x a 0,1 2 2( ) 3 3 3( 1) 0f 分 析 : 反 證 法 1 2( ) 0; ( ) 0f x f x 1 20 1x x 1 2( ) ( )f x f x 由 羅 爾 定 理1 20 1x x ( ) 0f 1 矛 盾 1 20 1x x 設(shè) 有 兩 個 零 點 設(shè) ,證 明 多 項 式 在 內(nèi) 至 少 有 一 個零 點 10 02 1naaa n 0 1( ) nnf x a
4、a x a x (0,1) 10 02 1naaa n 0 1( ) 0nnf a a a 分 析 : ,0 1 設(shè) 想 ( ) ( ) 0F f ,0 1 造 輔 助 函 數(shù) ( )F x 適 合 于 中 值 定 理 0 1( ) ( ) nnF x f x a a x a x 2 110( ) 2 1 nnaaF x a x x xn (0) 0,F (1) 0F 設(shè) 在 上 連 續(xù) ,在 內(nèi) 可 導 ,且 ,證 明 存 在 一點 ,使 .( )f x 0, a (0, )a ( ) 0f a (0, )a ( ) ( ) 0f f ( ) ( ) 0f f 分 析 :設(shè) 想 ( ) (
5、) ( ) 0F f f 造 輔 助 函 數(shù) ( )F x 適 合 于 中 值 定 理( ) ( ) ( )F x f x xf x ( ) ( )F x xf x (0) 0, ( ) 0F F a 0 a 0 a 證 明 不 等 式 1 20 ,2x x 2 21 1tgx xtgx x分 析 : 2 21 1tgx xtgx x 2 1 2 1tgx tgxx x1 20 ,2x x 2 1( ) ( )f x f x2 1,x x 單 調(diào) 遞 增 性( ) tgxf x x 單 調(diào) 遞 增 性 2 2 2sec( ) 0 x x tgx x tgxf x x x 例 2 , , , ,
6、 ,1. xy x x 求 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 極 值 凹 凸 區(qū) 間 拐 點 漸 近 線并 作 函 數(shù) 的 圖 形解 :)1( 定 義 域 ,1x ),1()1,1()1,( 即1)( 2 x xxxf ),(xf 奇 函 數(shù)y)2( 222 )1( 11 xx ,)1( )3( 22 22 xxx ,0y令 .3,0,3x得y 22 2 )1( )3(2 xxx ,)1( 1)1( 1 33 xx ,0y令 .0 x得 可 能 拐 點 的 橫 坐 標,lim)3( yx ;沒 有 水 平 漸 近 線,lim01 yx又 ,lim01 yx ;1 的 鉛 直 漸 近 線為 曲 線 yx ,lim01 yx ,lim01 yx ;1 的 鉛 直 漸 近 線為 曲 線 yx xya x lim )1(1lim 2 x xxxx ,1 )(lim axyb x )(lim xyx 1lim 2 x xx ,0.的 斜 漸 近 線為 曲 線直 線 yxy (4) ( 1), ( 3, 0, 3) ,x x x x 以 函 數(shù) 的 不 連 續(xù) 點 駐 點 和 可 能 拐 點 的 橫 坐 標 為 分 點 xyo xy 1 1作 圖x )3,( )1,0()1,3( 3 )0,1(yy y 1 0 極 大值 0拐 點0 0 x 31yy y 極 小 值0 )3,1( ),3(
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